Superficies
3. 30 abril
Ejercicios inversos de superficie de cuerpos geométricos
Objetivos
- Resolver ejercicios inversos de superficie total en cubos, ortoedros, prismas rectos y cilindros.
- Determinar medidas faltantes a partir de la superficie total y otros datos conocidos.
- Aplicar fórmulas de superficie junto con ecuaciones simples.
Recuerdo general
En un ejercicio inverso no se pide calcular directamente la superficie, sino encontrar una medida desconocida a partir de la superficie total.
La estrategia general es:
- Identificar la fórmula correspondiente.
- Reemplazar los datos conocidos.
- Plantear una ecuación.
- Resolver la ecuación para encontrar la medida faltante.
Error común
No basta con reemplazar datos: en estos ejercicios aparece una incógnita. Por eso, después de usar la fórmula, hay que resolver una ecuación.
Cubos
Recuerdo de fórmula: cubo
Si un cubo tiene arista \(a\), su superficie total es:
\[ S_T=6a^2 \]
Si se conoce \(S_T\), se puede encontrar la arista resolviendo:
\[ 6a^2=S_T \]
Ejercicio 1: encontrar la arista de un cubo
Un cubo tiene una superficie total de \(216\text{ cm}^2\). ¿Cuánto mide su arista?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=6a^2 \]
Como la superficie total es \(216\text{ cm}^2\), reemplazamos:
\[ 216=6a^2 \]
Dividimos por 6:
\[ a^2=\frac{216}{6}=36 \]
Buscamos el número positivo cuyo cuadrado es 36:
\[ a=6 \]
La arista del cubo mide \(6\text{ cm}\).
Ejercicio 2: superficie conocida de un cubo
La superficie total de un cubo es \(486\text{ m}^2\). Calcula la medida de su arista.
Para un cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
Reemplazamos \(S_T=486\):
\[ 486=6a^2 \]
Dividimos por 6:
\[ a^2=\frac{486}{6}=81 \]
Entonces:
\[ a=9 \]
La arista del cubo mide \(9\text{ m}\).
Ejercicio 3: cubo con superficie total dada
Un dado gigante tiene forma de cubo y su superficie total es \(864\text{ cm}^2\). ¿Cuánto mide cada arista?
Como el dado tiene forma de cubo, usamos:
\[ S_T=6a^2 \]
Reemplazamos:
\[ 864=6a^2 \]
Dividimos ambos lados por 6:
\[ a^2=144 \]
Por lo tanto:
\[ a=12 \]
Cada arista mide \(12\text{ cm}\).
Ortoedros
Recuerdo de fórmula: ortoedro
Un ortoedro tiene largo \(l\), ancho \(w\) y alto \(h\). Su superficie total es:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
En ejercicios inversos, una de las dimensiones puede ser desconocida.
Ejercicio 4: encontrar la altura de un ortoedro
Un ortoedro tiene largo \(10\text{ cm}\), ancho \(4\text{ cm}\) y superficie total \(248\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=248\), \(l=10\) y \(w=4\):
\[ 248=2(10\cdot4+10h+4h) \]
Calculamos y reducimos:
\[ 248=2(40+14h) \]
\[ 248=80+28h \]
Restamos 80:
\[ 168=28h \]
Dividimos por 28:
\[ h=6 \]
La altura del ortoedro es \(6\text{ cm}\).
Ejercicio 5: encontrar el ancho de una caja rectangular
Una caja rectangular tiene largo \(12\text{ cm}\), alto \(5\text{ cm}\) y superficie total \(376\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su ancho?
Usamos:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=376\), \(l=12\) y \(h=5\):
\[ 376=2(12w+12\cdot5+5w) \]
\[ 376=2(12w+60+5w) \]
\[ 376=2(17w+60) \]
\[ 376=34w+120 \]
Restamos 120:
\[ 256=34w \]
Dividimos por 34:
\[ w=\frac{256}{34}=\frac{128}{17} \]
El ancho de la caja es \(\frac{128}{17}\text{ cm}\), aproximadamente \(7{,}53\text{ cm}\).
Ejercicio 6: ortoedro con medida faltante
Un ortoedro tiene ancho \(3\text{ m}\), alto \(7\text{ m}\) y superficie total \(122\text{ m}^2\). ¿Cuál es su largo?
La fórmula es:
\[ S_T=2(lw+lh+wh) \]
Reemplazamos \(S_T=122\), \(w=3\) y \(h=7\):
\[ 122=2(3l+7l+3\cdot7) \]
\[ 122=2(10l+21) \]
\[ 122=20l+42 \]
Restamos 42:
\[ 80=20l \]
Dividimos por 20:
\[ l=4 \]
El largo del ortoedro es \(4\text{ m}\).
Prismas rectos con base triangular
Recuerdo de fórmula: prisma recto
Para un prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
donde \(A_b\) es el área basal, \(P_b\) es el perímetro de la base y \(h\) es la altura del prisma.
Si se conoce la superficie total y se pide la altura del prisma, se despeja \(h\).
Ejercicio 7: encontrar la altura de un prisma triangular
Un prisma recto tiene base triangular. El área basal es \(6\text{ cm}^2\), el perímetro de la base es \(12\text{ cm}\) y la superficie total es \(132\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=132\), \(A_b=6\) y \(P_b=12\):
\[ 132=2\cdot6+12h \]
\[ 132=12+12h \]
Restamos 12:
\[ 120=12h \]
Dividimos por 12:
\[ h=10 \]
La altura del prisma es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 8: encontrar el perímetro basal
Un prisma recto de base triangular tiene área basal \(20\text{ cm}^2\), altura \(12\text{ cm}\) y superficie total \(280\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de la base?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=280\), \(A_b=20\) y \(h=12\):
\[ 280=2\cdot20+P_b\cdot12 \]
\[ 280=40+12P_b \]
Restamos 40:
\[ 240=12P_b \]
Dividimos por 12:
\[ P_b=20 \]
El perímetro de la base es \(20\text{ cm}\).
Ejercicio 9: encontrar el área basal
Un prisma recto de base triangular tiene perímetro basal \(16\text{ m}\), altura \(9\text{ m}\) y superficie total \(168\text{ m}^2\). ¿Cuál es el área basal?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=168\), \(P_b=16\) y \(h=9\):
\[ 168=2A_b+16\cdot9 \]
\[ 168=2A_b+144 \]
Restamos 144:
\[ 24=2A_b \]
Dividimos por 2:
\[ A_b=12 \]
El área basal es \(12\text{ m}^2\).
Prismas rectos con base rectangular o cuadrada
Recuerdo de fórmula: prismas con bases cuadriláteras
Para un prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Si la base es rectangular:
\[ A_b=l\cdot w \qquad P_b=2l+2w \]
Si la base es cuadrada:
\[ A_b=a^2 \qquad P_b=4a \]
Ejercicio 10: encontrar la altura de un prisma rectangular
Un prisma recto tiene base rectangular de \(6\text{ cm}\) por \(4\text{ cm}\). Su superficie total es \(188\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Primero calculamos el área basal:
\[ A_b=6\cdot4=24 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot6+2\cdot4=12+8=20 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 188=2\cdot24+20h \]
\[ 188=48+20h \]
Restamos 48:
\[ 140=20h \]
Dividimos por 20:
\[ h=7 \]
La altura del prisma es \(7\text{ cm}\).
Ejercicio 11: encontrar la altura de un prisma de base cuadrada
Un prisma recto tiene base cuadrada de lado \(5\text{ cm}\) y superficie total \(250\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Como la base es cuadrada:
\[ A_b=5^2=25 \]
\[ P_b=4\cdot5=20 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 250=2\cdot25+20h \]
\[ 250=50+20h \]
Restamos 50:
\[ 200=20h \]
Dividimos por 20:
\[ h=10 \]
La altura del prisma es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 12: encontrar el perímetro de la base rectangular
Un prisma recto tiene área basal \(32\text{ cm}^2\), altura \(9\text{ cm}\) y superficie total \(244\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de su base?
Usamos la fórmula:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos los datos:
\[ 244=2\cdot32+P_b\cdot9 \]
\[ 244=64+9P_b \]
Restamos 64:
\[ 180=9P_b \]
Dividimos por 9:
\[ P_b=20 \]
El perímetro de la base es \(20\text{ cm}\).
Prismas rectos con base de más de 4 lados
Recuerdo de fórmula: bases de más de 4 lados
Cuando la base tiene más de 4 lados, y el área basal está dada, se usa directamente:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
En estos ejercicios se puede despejar \(A_b\), \(P_b\) o \(h\), según la medida que falte.
Ejercicio 13: encontrar la altura de un prisma pentagonal
Un prisma recto tiene base pentagonal. Su área basal es \(35\text{ cm}^2\), su perímetro basal es \(30\text{ cm}\) y su superficie total es \(310\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 310=2\cdot35+30h \]
\[ 310=70+30h \]
Restamos 70:
\[ 240=30h \]
Dividimos por 30:
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 14: encontrar el perímetro basal de un prisma hexagonal
Un prisma recto tiene base hexagonal. Su área basal es \(54\text{ cm}^2\), su altura es \(11\text{ cm}\) y su superficie total es \(504\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro basal?
La fórmula es:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=504\), \(A_b=54\) y \(h=11\):
\[ 504=2\cdot54+11P_b \]
\[ 504=108+11P_b \]
Restamos 108:
\[ 396=11P_b \]
Dividimos por 11:
\[ P_b=36 \]
El perímetro basal es \(36\text{ cm}\).
Ejercicio 15: encontrar el área basal de un prisma octagonal
Un prisma recto tiene base octagonal. Su perímetro basal es \(48\text{ m}\), su altura es \(6\text{ m}\) y su superficie total es \(528\text{ m}^2\). ¿Cuál es el área basal?
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos:
\[ 528=2A_b+48\cdot6 \]
\[ 528=2A_b+288 \]
Restamos 288:
\[ 240=2A_b \]
Dividimos por 2:
\[ A_b=120 \]
El área basal es \(120\text{ m}^2\).
Cilindros
Recuerdo de fórmula: cilindro
La superficie total de un cilindro es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
También puede escribirse como:
\[ S_T=2\pi r(r+h) \]
En ejercicios inversos, si se conoce el radio y la superficie total, se puede encontrar la altura.
Ejercicio 16: encontrar la altura de un cilindro
Un cilindro tiene radio \(4\text{ cm}\) y superficie total \(112\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=112\pi\) y \(r=4\):
\[ 112\pi=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4h \]
\[ 112\pi=32\pi+8\pi h \]
Restamos \(32\pi\):
\[ 80\pi=8\pi h \]
Dividimos por \(8\pi\):
\[ h=10 \]
La altura del cilindro es \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 17: cilindro con superficie total dada
Un cilindro tiene radio \(3\text{ m}\) y superficie total \(60\pi\text{ m}^2\). ¿Cuál es su altura?
La fórmula es:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos:
\[ 60\pi=2\pi\cdot3^2+2\pi\cdot3h \]
\[ 60\pi=18\pi+6\pi h \]
Restamos \(18\pi\):
\[ 42\pi=6\pi h \]
Dividimos por \(6\pi\):
\[ h=7 \]
La altura del cilindro es \(7\text{ m}\).
Ejercicio 18: encontrar altura con diámetro dado
Un cilindro tiene diámetro \(12\text{ cm}\) y superficie total \(180\pi\text{ cm}^2\). ¿Cuál es su altura?
Primero encontramos el radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6 \]
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=180\pi\) y \(r=6\):
\[ 180\pi=2\pi\cdot6^2+2\pi\cdot6h \]
\[ 180\pi=72\pi+12\pi h \]
Restamos \(72\pi\):
\[ 108\pi=12\pi h \]
Dividimos por \(12\pi\):
\[ h=9 \]
La altura del cilindro es \(9\text{ cm}\).
Ejercicio 19: encontrar altura usando aproximación decimal
Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y superficie total aproximada \(408{,}2\text{ cm}^2\). Usando \(\pi\approx3{,}14\), calcula su altura.
Usamos:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=408{,}2\), \(r=5\) y \(\pi\approx3{,}14\):
\[ 408{,}2=2\cdot3{,}14\cdot5^2+2\cdot3{,}14\cdot5h \]
\[ 408{,}2=157+31{,}4h \]
Restamos 157:
\[ 251{,}2=31{,}4h \]
Dividimos por \(31{,}4\):
\[ h=8 \]
La altura del cilindro es \(8\text{ cm}\).
Ejercicios mixtos
Estrategia para ejercicios mixtos
Antes de resolver, identifica el cuerpo geométrico y escribe su fórmula. Luego decide qué dato falta y despeja esa incógnita.
Ejercicio 20: elegir la fórmula correcta
Un cuerpo tiene forma de prisma recto con base rectangular de \(8\text{ cm}\) por \(3\text{ cm}\). Su superficie total es \(224\text{ cm}^2\). ¿Cuál es la altura del prisma?
Como es un prisma recto, usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Calculamos el área basal:
\[ A_b=8\cdot3=24 \]
Calculamos el perímetro basal:
\[ P_b=2\cdot8+2\cdot3=16+6=22 \]
Reemplazamos:
\[ 224=2\cdot24+22h \]
\[ 224=48+22h \]
Restamos 48:
\[ 176=22h \]
Dividimos por 22:
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 21: comparar medidas faltantes
Un cubo tiene superficie total \(600\text{ cm}^2\). Un cilindro tiene radio \(5\text{ cm}\) y superficie total \(150\pi\text{ cm}^2\). Calcula la arista del cubo y la altura del cilindro.
Primero calculamos la arista del cubo:
\[ S_T=6a^2 \]
\[ 600=6a^2 \]
\[ a^2=100 \]
\[ a=10 \]
La arista del cubo mide \(10\text{ cm}\).
Ahora calculamos la altura del cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
Reemplazamos \(S_T=150\pi\) y \(r=5\):
\[ 150\pi=2\pi\cdot5^2+2\pi\cdot5h \]
\[ 150\pi=50\pi+10\pi h \]
Restamos \(50\pi\):
\[ 100\pi=10\pi h \]
Dividimos por \(10\pi\):
\[ h=10 \]
La arista del cubo mide \(10\text{ cm}\) y la altura del cilindro mide \(10\text{ cm}\).
Ejercicio 22: problema inverso con prisma y cilindro
Un prisma recto de base cuadrada tiene lado basal \(4\text{ cm}\) y superficie total \(160\text{ cm}^2\). Un cilindro tiene radio \(4\text{ cm}\) y superficie total \(96\pi\text{ cm}^2\). Calcula la altura de cada cuerpo.
Para el prisma de base cuadrada:
\[ A_b=4^2=16 \]
\[ P_b=4\cdot4=16 \]
Usamos:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
\[ 160=2\cdot16+16h \]
\[ 160=32+16h \]
\[ 128=16h \]
\[ h=8 \]
La altura del prisma es \(8\text{ cm}\).
Para el cilindro:
\[ S_T=2\pi r^2+2\pi rh \]
\[ 96\pi=2\pi\cdot4^2+2\pi\cdot4h \]
\[ 96\pi=32\pi+8\pi h \]
\[ 64\pi=8\pi h \]
\[ h=8 \]
Ambos cuerpos tienen altura \(8\text{ cm}\).
Ejercicio 23: desafío de cierre
Un prisma recto tiene área basal \(45\text{ cm}^2\), altura \(10\text{ cm}\) y superficie total \(390\text{ cm}^2\). ¿Cuál es el perímetro de su base?
Usamos la fórmula general del prisma recto:
\[ S_T=2A_b+P_b\cdot h \]
Reemplazamos \(S_T=390\), \(A_b=45\) y \(h=10\):
\[ 390=2\cdot45+10P_b \]
\[ 390=90+10P_b \]
Restamos 90:
\[ 300=10P_b \]
Dividimos por 10:
\[ P_b=30 \]
El perímetro de la base es \(30\text{ cm}\).