1__ Estadistica
9. Experimento de Galton: una representación visual del modelo binomial
Objetivos
- Reconocer la máquina de Galton como un experimento formado por ensayos repetidos de dos resultados posibles.
- Relacionar los desvíos izquierda/derecha con las ideas de éxito, fracaso, \(n\), \(p\) y \(X\).
- Interpretar las columnas finales como frecuencias de una variable aleatoria binomial.
- Comprender por qué distintas trayectorias pueden llegar a una misma columna final.
Conexión con lo trabajado
En las páginas anteriores estudiamos situaciones con dos resultados posibles, ensayos repetidos e independencia. También vimos que, en el modelo binomial, no interesa tanto el orden exacto en que ocurren los éxitos, sino cuántos éxitos se obtienen en total.
El experimento de Galton permite observar esta idea de manera visual. Cada bolita realiza varios desvíos sucesivos: en cada obstáculo puede ir hacia la izquierda o hacia la derecha. Al final, la columna donde cae depende de cuántas veces se desvió hacia uno de esos lados.
Observación inicial de la máquina de Galton
Observa la imagen de la máquina de Galton.
La máquina de Galton muestra cómo muchas bolitas atraviesan obstáculos y terminan acumuladas en distintas columnas.
Una bolita cae desde la parte superior. Cada vez que choca con un obstáculo, puede desviarse hacia la izquierda o hacia la derecha.
Después de varios desvíos, la bolita llega a una columna final. Esa columna representa el resultado del recorrido completo.
Interpretación binomial del experimento
En una máquina ideal, cada choque con un obstáculo puede interpretarse como un ensayo con dos resultados posibles:
\[ \text{izquierda} \qquad \text{o} \qquad \text{derecha} \]
Si definimos como éxito que la bolita se desvíe hacia la derecha, entonces:
\[ p=P(\text{derecha}) \]
y la probabilidad de fracaso corresponde a:
\[ 1-p=P(\text{izquierda}) \]
Si la máquina tiene \(n\) niveles de obstáculos, podemos definir la variable aleatoria:
\[ X=\text{número de desvíos hacia la derecha} \]
Entonces, bajo condiciones ideales, se puede modelar mediante:
\[ X\sim B(n,p) \]
| Elemento de la máquina de Galton | Interpretación en el modelo binomial |
|---|---|
| Cada obstáculo | Un ensayo |
| Desviarse hacia la derecha | Éxito |
| Desviarse hacia la izquierda | Fracaso |
| Número de niveles | \(n\), número de ensayos |
| Probabilidad de ir a la derecha | \(p\), probabilidad de éxito |
| Columna final | Cantidad total de éxitos obtenidos |
Idea clave
En la máquina de Galton no nos interesa predecir con certeza el camino exacto de una bolita. Lo importante es contar cuántas veces ocurre un resultado elegido, por ejemplo, cuántas veces la bolita se desvía hacia la derecha.
Por eso, este experimento representa visualmente una idea central del modelo binomial:
\[ X=\text{número de éxitos en } n \text{ ensayos} \]
Ejemplo 1: una máquina con 4 niveles
Supongamos que una máquina ideal tiene 4 niveles de obstáculos. En cada nivel, la bolita puede desviarse hacia la derecha o hacia la izquierda.
Definimos:
\[ X=\text{número de desvíos hacia la derecha} \]
Como hay 4 niveles, los valores posibles de \(X\) son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
Por ejemplo:
- \(X=0\): la bolita nunca se desvió hacia la derecha.
- \(X=2\): la bolita se desvió 2 veces hacia la derecha.
- \(X=4\): la bolita siempre se desvió hacia la derecha.
Ejemplo 2: distintas trayectorias llegan a la misma columna
En una máquina con 4 niveles, consideremos la columna asociada a \(X=2\), es decir, exactamente 2 desvíos hacia la derecha.
Algunas trayectorias posibles son:
- derecha, derecha, izquierda, izquierda;
- derecha, izquierda, derecha, izquierda;
- izquierda, derecha, derecha, izquierda;
- izquierda, izquierda, derecha, derecha.
Todas esas trayectorias tienen algo en común: en total hay 2 desvíos hacia la derecha.
Por eso llegan a la misma columna final, aunque el orden de los desvíos no sea el mismo.
Relación con el coeficiente binomial
El número de formas en que una bolita puede obtener exactamente \(k\) desvíos hacia la derecha en \(n\) niveles se calcula con:
\[ \binom{n}{k} \]
Este número cuenta cuántas trayectorias distintas tienen la misma cantidad de éxitos.
Por ejemplo, si \(n=4\) y queremos exactamente \(k=2\) desvíos hacia la derecha:
\[ \binom{4}{2}=6 \]
Esto significa que hay 6 trayectorias distintas que terminan en la columna asociada a \(X=2\).
Ejemplo 3: cálculo de una probabilidad en la máquina ideal
Supongamos una máquina ideal con 4 niveles, donde la probabilidad de desviarse hacia la derecha es:
\[ p=\frac{1}{2} \]
Entonces:
\[ X\sim B\left(4,\frac{1}{2}\right) \]
Calculemos la probabilidad de que una bolita se desvíe exactamente 2 veces hacia la derecha:
\[ P(X=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{4-2} \]
\[ P(X=2)=6\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4} \]
\[ P(X=2)=6\cdot \frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \]
Esto significa que, en una máquina ideal de 4 niveles, la columna correspondiente a 2 desvíos hacia la derecha tiene mayor probabilidad que una columna extrema.
Error frecuente
No se debe pensar que todas las columnas tienen la misma probabilidad.
Aunque cada camino individual puede tener la misma probabilidad en una máquina simétrica, algunas columnas reciben más caminos posibles que otras.
Por ejemplo, en 4 niveles hay solo una trayectoria para obtener \(X=0\), pero hay 6 trayectorias para obtener \(X=2\).
¿Por qué se acumulan más bolitas en algunas columnas?
Las columnas centrales suelen acumular más bolitas porque hay más formas distintas de llegar a ellas.
En cambio, llegar a un extremo exige que la bolita se desvíe siempre hacia el mismo lado. Eso puede ocurrir, pero hay menos trayectorias que lo producen.
Así, la altura de las columnas no depende solo de una trayectoria, sino de cuántas trayectorias distintas terminan en la misma posición.
Ejercicio 1
En una máquina de Galton ideal, cada bolita atraviesa 5 niveles de obstáculos. Se define como éxito que la bolita se desvíe hacia la derecha.
Indica el valor de \(n\), describe qué representa \(p\) y escribe la variable aleatoria \(X\).
Como la bolita atraviesa 5 niveles, el número de ensayos es:
\[ n=5 \]
La probabilidad \(p\) representa la probabilidad de éxito, es decir:
\[ p=P(\text{desviarse hacia la derecha}) \]
La variable aleatoria puede definirse como:
\[ X=\text{número de desvíos hacia la derecha en 5 niveles} \]
Ejercicio 2
Una máquina de Galton ideal tiene 4 niveles. Se define:
\[ X=\text{número de desvíos hacia la derecha} \]
Escribe todos los valores posibles de \(X\) e interpreta el valor \(X=3\).
Como hay 4 niveles, la bolita puede desviarse hacia la derecha desde 0 hasta 4 veces.
Por lo tanto, los valores posibles son:
\[ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]
El valor \(X=3\) significa que la bolita se desvió 3 veces hacia la derecha y, como hay 4 niveles en total, 1 vez hacia la izquierda.
Ejercicio 3
En una máquina ideal con 3 niveles, se define éxito como desviarse hacia la derecha.
Enumera todas las trayectorias que permiten obtener exactamente \(X=2\) éxitos.
Queremos trayectorias de 3 niveles con exactamente 2 desvíos hacia la derecha.
Usamos D para derecha e I para izquierda.
Las trayectorias posibles son:
- D, D, I;
- D, I, D;
- I, D, D.
Hay 3 trayectorias posibles. Esto coincide con:
\[ \binom{3}{2}=3 \]
Ejercicio 4
En una máquina ideal con 4 niveles y \(p=\frac{1}{2}\), calcula la probabilidad de que una bolita tenga exactamente 1 desvío hacia la derecha.
Tenemos:
\[ n=4,\qquad p=\frac{1}{2},\qquad k=1 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=1)=\binom{4}{1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1} \]
\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \]
\[ P(X=1)=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{8} \]
\[ P(X=1)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4} \]
Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 1 desvío hacia la derecha es \(\frac{1}{4}\).
Ejercicio 5
En una máquina ideal con 5 niveles y \(p=\frac{1}{2}\), calcula cuántas trayectorias distintas permiten terminar en la columna asociada a \(X=3\).
Queremos contar cuántas trayectorias tienen exactamente 3 desvíos hacia la derecha en 5 niveles.
Usamos el coeficiente binomial:
\[ \binom{5}{3} \]
Calculamos:
\[ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!(5-3)!} \]
\[ \binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!} \]
\[ \binom{5}{3}=\frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=10 \]
Por lo tanto, hay 10 trayectorias distintas que permiten terminar en la columna asociada a \(X=3\).
Ejercicio 6
En una máquina ideal con 5 niveles, se define éxito como desviarse hacia la derecha. Supón que \(p=\frac{1}{2}\).
Calcula \(P(X=3)\).
Tenemos:
\[ n=5,\qquad p=\frac{1}{2},\qquad k=3 \]
Aplicamos la fórmula binomial:
\[ P(X=3)=\binom{5}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{5-3} \]
\[ P(X=3)=10\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^2 \]
\[ P(X=3)=10\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 \]
\[ P(X=3)=10\cdot \frac{1}{32}=\frac{10}{32}=\frac{5}{16} \]
Por lo tanto:
\[ P(X=3)=\frac{5}{16} \]
Ejercicio 7
Explica por qué, en una máquina de Galton simétrica, las columnas centrales suelen recibir más bolitas que las columnas extremas.
Las columnas centrales suelen recibir más bolitas porque hay más trayectorias distintas que llegan a ellas.
Por ejemplo, en una máquina con varios niveles, llegar a un extremo exige desviarse siempre hacia el mismo lado. Eso corresponde a muy pocas trayectorias.
En cambio, llegar a una columna central puede ocurrir con distintos órdenes de desvíos hacia la izquierda y hacia la derecha.
Por eso, aunque cada trayectoria individual tenga la misma probabilidad en una máquina simétrica, las columnas centrales acumulan mayor frecuencia.
Aplicación en el mundo real
El experimento de Galton ayuda a comprender cómo una gran cantidad de decisiones binarias pequeñas puede producir una distribución de resultados.
Esta idea aparece en situaciones donde se repite muchas veces un mismo proceso bajo condiciones similares, como controles de calidad, respuestas de encuestas, lanzamientos, simulaciones y experimentos aleatorios.
Para recordar
- La máquina de Galton representa ensayos repetidos de dos resultados posibles.
- Si definimos éxito como desviarse hacia la derecha, entonces \(X\) cuenta el número de éxitos.
- El número de niveles corresponde a \(n\).
- La probabilidad de desviarse hacia la derecha corresponde a \(p\).
- Distintas trayectorias pueden llegar a la misma columna final.
- El coeficiente \(\binom{n}{k}\) cuenta cuántas trayectorias tienen exactamente \(k\) éxitos.