vectores
2. Vectores para comprender la Geometría 3D
Puntos y vectores: ubicación y desplazamiento
Objetivo de la página
- Distinguir entre punto y vector, reconociendo que un punto representa una ubicación y un vector representa un desplazamiento.
Puntos y vectores no son lo mismo
En geometría analítica usamos coordenadas para ubicar puntos y también para describir vectores. Esto puede producir una confusión inicial, porque ambos pueden escribirse con pares ordenados.
Por ejemplo, \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) se parecen en la escritura, pero no significan lo mismo.
Diferencia fundamental
| Objeto | Qué representa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Punto | Una ubicación fija en el plano o en el espacio. | \(A=(3,2)\) |
| Vector | Un desplazamiento con módulo, dirección y sentido. | \(\vec{v}=(3,2)\) |
Ejemplo 1: el punto \(A=(3,2)\)
El punto \(A=(3,2)\) indica una posición: desde el origen \(O=(0,0)\), se avanza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(A\).
Cuando un vector comienza en el origen y termina en un punto, se llama vector posición de ese punto.
En este caso:
\[ \overrightarrow{OA}=(3,2) \]
El vector \(\overrightarrow{OA}\) ayuda a describir la posición de \(A\), pero el punto \(A\) y el vector \(\overrightarrow{OA}\) no son exactamente el mismo objeto matemático.
Ejemplo 2: el vector \(\vec{v}=(3,2)\)
El vector \(\vec{v}=(3,2)\) no describe necesariamente una ubicación fija. Describe un desplazamiento: avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Por eso, el mismo desplazamiento puede comenzar en distintos puntos.
Por ejemplo, si \(C=(1,0)\) y \(D=(4,2)\), el desplazamiento desde \(C\) hasta \(D\) también consiste en avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Entonces:
\[ \overrightarrow{CD}=(3,2) \]
Así, \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{CD}\) representan el mismo desplazamiento, aunque estén dibujados en lugares distintos.
Idea clave
Un punto responde a la pregunta:
\[ \text{¿dónde está?} \]
Un vector responde a la pregunta:
\[ \text{¿cuánto y hacia dónde se desplaza?} \]
Error frecuente
No conviene decir que \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) son lo mismo solo porque tienen los mismos números.
El punto \(A\) es una ubicación. El vector \(\vec{v}\) es un desplazamiento.
Ejercicio 1: reconocer punto o vector
Indica si cada expresión representa un punto o un vector:
- \(P=(5,1)\)
- \(\vec{u}=(-2,4)\)
- \(B=(0,-3)\)
- \(\overrightarrow{MN}\)
Analizamos cada expresión:
- \(P=(5,1)\) representa un punto, porque indica una ubicación.
- \(\vec{u}=(-2,4)\) representa un vector, porque describe un desplazamiento.
- \(B=(0,-3)\) representa un punto, porque indica una posición en el plano.
- \(\overrightarrow{MN}\) representa un vector, porque indica el desplazamiento desde \(M\) hasta \(N\).
Las respuestas son: punto, vector, punto y vector.
Ejercicio 2: interpretar el mismo par ordenado
Explica la diferencia entre \(A=(4,2)\) y \(\vec{v}=(4,2)\).
La expresión \(A=(4,2)\) representa un punto. Esto significa que \(A\) está ubicado 4 unidades a la derecha del origen y 2 unidades hacia arriba.
En cambio, \(\vec{v}=(4,2)\) representa un vector. Esto significa que el desplazamiento asociado a \(\vec{v}\) avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Aunque ambos usan los números \(4\) y \(2\), no representan el mismo tipo de objeto matemático.
Ejercicio 3: completar el extremo de un desplazamiento
El vector \(\vec{v}=(2,3)\) comienza en el punto \(C=(1,1)\). Si al aplicar el desplazamiento se llega al punto \(D\), ¿cuáles son las coordenadas de \(D\)?
El vector \(\vec{v}=(2,3)\) indica avanzar 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Como el punto inicial es:
\[ C=(1,1) \]
sumamos el desplazamiento:
\[ D=(1+2,\ 1+3) \]
\[ D=(3,4) \]
Por lo tanto, el punto final es \(D=(3,4)\).
Ejercicio 4: encontrar un punto inicial
Un vector \(\vec{w}=(3,-2)\) lleva desde un punto \(P\) hasta el punto \(Q=(7,1)\).
Halla las coordenadas del punto inicial \(P\).
El vector \(\vec{w}=(3,-2)\) significa que desde \(P\) se avanza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo para llegar a \(Q\).
Entonces, si \(Q=(7,1)\), debemos retroceder ese desplazamiento:
\[ P=(7-3,\ 1-(-2)) \]
\[ P=(4,3) \]
Verificamos:
\[ (4,3)+(3,-2)=(7,1) \]
Por lo tanto, el punto inicial es \(P=(4,3)\).
Ejercicio 5: construir dos desplazamientos equivalentes
Un vector indica avanzar 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Da dos ejemplos distintos de desplazamientos que representen ese mismo vector.
El vector descrito es:
\[ \vec{v}=(2,3) \]
Un primer ejemplo puede ser partir desde \(A=(0,0)\). Si se avanza 2 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba, se llega a \(B=(2,3)\). Entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(2,3) \]
Un segundo ejemplo puede ser partir desde \(C=(1,1)\). Si se avanza 2 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba, se llega a \(D=(3,4)\). Entonces:
\[ \overrightarrow{CD}=(2,3) \]
Dos desplazamientos posibles son \(\overrightarrow{AB}\), con \(A=(0,0)\) y \(B=(2,3)\), y \(\overrightarrow{CD}\), con \(C=(1,1)\) y \(D=(3,4)\).
Ejercicio 6: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma:
“Como \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) tienen los mismos números, entonces son exactamente lo mismo”.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
El punto \(A=(3,2)\) representa una ubicación en el plano.
El vector \(\vec{v}=(3,2)\) representa un desplazamiento: avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Además, ese mismo vector puede comenzar en muchos puntos distintos. Por ejemplo:
\[ \overrightarrow{OA}=(3,2) \]
pero también:
\[ \overrightarrow{CD}=(3,2) \]
con \(C=(1,0)\) y \(D=(4,2)\).
Por lo tanto, un punto y un vector pueden escribirse con los mismos números, pero no significan lo mismo.
Ejercicio 7: completar una igualdad
Completa los valores de \(a\) y \(b\) para que el desplazamiento desde \(M=(2,1)\) hasta \(N=(a,b)\) sea equivalente al vector \(\vec{v}=(4,3)\).
Luego calcula:
\[ a+b \]
El vector \(\vec{v}=(4,3)\) indica avanzar 4 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba.
Como el punto inicial es:
\[ M=(2,1) \]
entonces el punto final es:
\[ N=(2+4,\ 1+3) \]
\[ N=(6,4) \]
Por lo tanto:
\[ a=6,\qquad b=4 \]
Finalmente:
\[ a+b=6+4=10 \]
El valor de \(a+b\) es \(10\).