vectores
2. Vectores para comprender la Geometría 3D
Objetivo de la página
- Distinguir entre punto y vector, reconociendo que un punto representa una ubicación y un vector representa un desplazamiento.
Puntos y vectores no son lo mismo
En geometría analítica usamos coordenadas para ubicar puntos y también para describir vectores. Esto puede producir una confusión inicial, porque ambos pueden escribirse con pares ordenados.
Por ejemplo, \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) se parecen en la escritura, pero no significan lo mismo.
Diferencia fundamental
| Objeto | Qué representa | Ejemplo |
|---|---|---|
| Punto | Una ubicación fija en el plano o en el espacio. | \(A=(3,2)\) |
| Vector | Un desplazamiento con módulo, dirección y sentido. | \(\vec{v}=(3,2)\) |
Ejemplo 1: el punto \(A=(3,2)\)
El punto \(A=(3,2)\) indica una posición: desde el origen \(O=(0,0)\), se avanza 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(A\).
Cuando un vector comienza en el origen y termina en un punto, se llama vector posición de ese punto.
En este caso:
\[ \overrightarrow{OA}=(3,2) \]
El vector \(\overrightarrow{OA}\) ayuda a describir la posición de \(A\), pero el punto \(A\) y el vector \(\overrightarrow{OA}\) no son exactamente el mismo objeto matemático.
Ejemplo 2: el vector \(\vec{v}=(3,2)\)
El vector \(\vec{v}=(3,2)\) no describe necesariamente una ubicación fija. Describe un desplazamiento: avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Por eso, el mismo desplazamiento puede comenzar en distintos puntos.
Por ejemplo, si \(C=(1,0)\) y \(D=(4,2)\), el desplazamiento desde \(C\) hasta \(D\) también consiste en avanzar 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
Entonces:
\[ \overrightarrow{CD}=(3,2) \]
Así, \(\overrightarrow{OA}\) y \(\overrightarrow{CD}\) representan el mismo desplazamiento, aunque estén dibujados en lugares distintos.
Idea clave
Un punto responde a la pregunta: ¿dónde está?
Un vector responde a la pregunta: ¿cuánto y hacia dónde se desplaza?
Error frecuente
No conviene decir que \(A=(3,2)\) y \(\vec{v}=(3,2)\) son lo mismo solo porque tienen los mismos números.
El punto \(A\) es una ubicación. El vector \(\vec{v}\) es un desplazamiento.
Ejercicio 1
Indica si cada expresión representa un punto o un vector:
- \(P=(5,1)\)
- \(\vec{u}=(-2,4)\)
- \(B=(0,-3)\)
- \(\overrightarrow{MN}\)
Analizamos cada expresión:
- \(P=(5,1)\) representa un punto, porque se nombra con una letra mayúscula y se interpreta como una ubicación.
- \(\vec{u}=(-2,4)\) representa un vector, porque aparece una flecha sobre la letra y describe un desplazamiento.
- \(B=(0,-3)\) representa un punto, porque indica una posición en el plano.
- \(\overrightarrow{MN}\) representa un vector, porque indica el desplazamiento desde \(M\) hasta \(N\).
Las respuestas son: punto, vector, punto y vector.
Ejercicio 2
Explica la diferencia entre \(A=(4,2)\) y \(\vec{v}=(4,2)\).
La expresión \(A=(4,2)\) representa un punto. Esto significa que \(A\) está ubicado 4 unidades a la derecha del origen y 2 unidades hacia arriba.
En cambio, \(\vec{v}=(4,2)\) representa un vector. Esto significa que el desplazamiento asociado a \(\vec{v}\) avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba.
La diferencia principal es que el punto indica una posición, mientras que el vector indica un desplazamiento.
Aunque ambos usan los números \(4\) y \(2\), no representan el mismo tipo de objeto matemático.
Ejercicio 3
Un vector indica avanzar 2 unidades hacia la derecha y 3 unidades hacia arriba. Da dos ejemplos distintos de desplazamientos que representen ese mismo vector.
El vector descrito es:
\[ \vec{v}=(2,3) \]
Un primer ejemplo puede ser partir desde \(A=(0,0)\). Si se avanza 2 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba, se llega a \(B=(2,3)\). Entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(2,3) \]
Un segundo ejemplo puede ser partir desde \(C=(1,1)\). Si se avanza 2 unidades hacia la derecha y 3 hacia arriba, se llega a \(D=(3,4)\). Entonces:
\[ \overrightarrow{CD}=(2,3) \]
Dos desplazamientos posibles son \(\overrightarrow{AB}\), con \(A=(0,0)\) y \(B=(2,3)\), y \(\overrightarrow{CD}\), con \(C=(1,1)\) y \(D=(3,4)\).