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4. Vector entre dos puntos
Objetivo de la página
- Calcular las coordenadas de un vector a partir de su punto inicial y su punto final en el plano cartesiano.
Vector entre dos puntos
Cuando un vector comienza en un punto \(A\) y termina en un punto \(B\), se escribe:
\[ \overrightarrow{AB} \]
El orden de las letras es importante: la primera letra indica el punto inicial y la segunda letra indica el punto final.
Fórmula del vector entre dos puntos
Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Es decir, se resta:
\[ \text{punto final}-\text{punto inicial} \]
Ejemplo 1: calcular \(\overrightarrow{AB}\)
Sean los puntos:
\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]
El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\).
Aplicamos la fórmula:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Reemplazamos:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]
Por lo tanto:
\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]
Esto significa que, desde \(A\), se avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(B\).
Ejemplo 2: comparar \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)
Usando los mismos puntos:
\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]
Ya calculamos que:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]
Ahora calculemos el vector contrario:
\[ \overrightarrow{BA}=(1-5,\;2-4)=(-4,-2) \]
Entonces:
\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]
Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Error frecuente
No se debe calcular \(\overrightarrow{AB}\) como \(A-B\).
Lo correcto es:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
porque el vector comienza en \(A\) y termina en \(B\).
Idea clave
Para calcular un vector entre dos puntos, piensa en el cambio que ocurre desde el punto inicial hasta el punto final.
Primero compara las coordenadas \(x\), luego compara las coordenadas \(y\).
Ejercicio 1
Calcula las coordenadas de cada vector:
- \(A=(2,1)\), \(B=(6,4)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
- \(C=(-3,2)\), \(D=(1,5)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
- \(E=(4,-1)\), \(F=(7,-5)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
- \(G=(-2,-4)\), \(H=(-6,3)\). Calcula \(\overrightarrow{GH}\).
Usamos la regla:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P) \]
- \(\overrightarrow{AB}=(6-2,\;4-1)=(4,3)\)
- \(\overrightarrow{CD}=(1-(-3),\;5-2)=(4,3)\)
- \(\overrightarrow{EF}=(7-4,\;-5-(-1))=(3,-4)\)
- \(\overrightarrow{GH}=(-6-(-2),\;3-(-4))=(-4,7)\)
Las coordenadas son \((4,3)\), \((4,3)\), \((3,-4)\) y \((-4,7)\).
Ejercicio 2
Observa los vectores dibujados. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\) y \(\overrightarrow{GH}\).
Leemos los puntos desde la imagen y usamos:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P) \]
- \(A=(-4,1)\), \(B=(2,4)\), entonces \(\overrightarrow{AB}=(2-(-4),\;4-1)=(6,3)\).
- \(C=(5,3)\), \(D=(1,-2)\), entonces \(\overrightarrow{CD}=(1-5,\;-2-3)=(-4,-5)\).
- \(E=(-5,-3)\), \(F=(-1,-1)\), entonces \(\overrightarrow{EF}=(-1-(-5),\;-1-(-3))=(4,2)\).
- \(G=(3,-4)\), \(H=(-2,2)\), entonces \(\overrightarrow{GH}=(-2-3,\;2-(-4))=(-5,6)\).
Las coordenadas son \(\overrightarrow{AB}=(6,3)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4,-5)\), \(\overrightarrow{EF}=(4,2)\) y \(\overrightarrow{GH}=(-5,6)\).
Ejercicio 3
Para cada par de puntos, calcula ambos vectores: \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\).
- \(A=(1,1)\), \(B=(4,5)\)
- \(A=(-2,3)\), \(B=(2,-1)\)
- \(A=(5,-4)\), \(B=(-1,-2)\)
Recordemos que invertir el orden cambia el sentido del vector.
-
\[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;5-1)=(3,4) \]
\[ \overrightarrow{BA}=(1-4,\;1-5)=(-3,-4) \]
-
\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-2),\;-1-3)=(4,-4) \]
\[ \overrightarrow{BA}=(-2-2,\;3-(-1))=(-4,4) \]
-
\[ \overrightarrow{AB}=(-1-5,\;-2-(-4))=(-6,2) \]
\[ \overrightarrow{BA}=(5-(-1),\;-4-(-2))=(6,-2) \]
En cada caso, \(\overrightarrow{BA}\) es el vector opuesto de \(\overrightarrow{AB}\).
Ejercicio 4
Un vector comienza en el punto \(P=(2,-1)\) y termina en el punto \(Q=(7,3)\).
- Calcula \(\overrightarrow{PQ}\).
- Explica qué significa el resultado obtenido.
Aplicamos la fórmula:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P) \]
Reemplazamos:
\[ \overrightarrow{PQ}=(7-2,\;3-(-1))=(5,4) \]
Esto significa que para ir desde \(P\) hasta \(Q\), se avanza 5 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba.
Por lo tanto, \(\overrightarrow{PQ}=(5,4)\).
Ejercicio 5
Un estudiante calcula el vector desde \(A=(3,2)\) hasta \(B=(8,6)\) de la siguiente manera:
\[ \overrightarrow{AB}=(3-8,\;2-6)=(-5,-4) \]
¿El procedimiento es correcto? Justifica y corrige si es necesario.
El procedimiento no es correcto, porque el estudiante restó punto inicial menos punto final.
Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), se debe hacer:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
Entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(8-3,\;6-2)=(5,4) \]
El resultado \((-5,-4)\) corresponde al vector contrario, es decir, a \(\overrightarrow{BA}\).
La respuesta correcta es \(\overrightarrow{AB}=(5,4)\).