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4. Vector entre dos puntos
Vector entre dos puntos
Objetivo de la página
- Calcular las coordenadas de un vector a partir de su punto inicial y su punto final en el plano cartesiano.
Vector entre dos puntos
Cuando un vector comienza en un punto \(A\) y termina en un punto \(B\), se escribe:
\[ \overrightarrow{AB} \]
El orden de las letras es importante: la primera letra indica el punto inicial y la segunda letra indica el punto final.
Fórmula del vector entre dos puntos
Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Es decir, se resta:
\[ \text{punto final}-\text{punto inicial} \]
Ejemplo 1: calcular \(\overrightarrow{AB}\)
Sean los puntos:
\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]
El vector \(\overrightarrow{AB}\) comienza en \(A\) y termina en \(B\).
Aplicamos la fórmula:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Reemplazamos:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]
Por lo tanto:
\[ \overrightarrow{AB}=(4,2) \]
Esto significa que, desde \(A\), se avanza 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba para llegar a \(B\).
Ejemplo 2: comparar \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\)
Usando los mismos puntos:
\[ A=(1,2) \qquad B=(5,4) \]
Ya calculamos que:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2)=(4,2) \]
Ahora calculemos el vector contrario:
\[ \overrightarrow{BA}=(1-5,\;2-4)=(-4,-2) \]
Entonces:
\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]
Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos opuestos.
Error frecuente
No se debe calcular \(\overrightarrow{AB}\) como \(A-B\).
Lo correcto es:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
porque el vector comienza en \(A\) y termina en \(B\).
Idea clave
Para calcular un vector entre dos puntos, piensa en el cambio que ocurre desde el punto inicial hasta el punto final.
Primero compara las coordenadas \(x\), luego compara las coordenadas \(y\).
En resumen:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
Ejercicio 1: calcular vectores entre puntos
Calcula las coordenadas de cada vector:
- \(A=(2,1)\), \(B=(6,4)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
- \(C=(-3,2)\), \(D=(1,5)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
- \(E=(4,-1)\), \(F=(7,-5)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
Usamos la regla:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P) \]
- \[ \overrightarrow{AB}=(6-2,\;4-1)=(4,3) \]
- \[ \overrightarrow{CD}=(1-(-3),\;5-2)=(4,3) \]
- \[ \overrightarrow{EF}=(7-4,\;-5-(-1))=(3,-4) \]
Las coordenadas son \((4,3)\), \((4,3)\) y \((3,-4)\).
Ejercicio 2: leer vectores desde un gráfico
Observa los vectores dibujados. Determina las coordenadas de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\), \(\overrightarrow{EF}\) y \(\overrightarrow{GH}\).
Leemos los puntos desde la imagen y usamos:
\[ \overrightarrow{PQ}=(x_Q-x_P,\;y_Q-y_P) \]
- \(A=(-4,1)\), \(B=(2,4)\), entonces: \[ \overrightarrow{AB}=(2-(-4),\;4-1)=(6,3) \]
- \(C=(5,3)\), \(D=(1,-2)\), entonces: \[ \overrightarrow{CD}=(1-5,\;-2-3)=(-4,-5) \]
- \(E=(-5,-3)\), \(F=(-1,-1)\), entonces: \[ \overrightarrow{EF}=(-1-(-5),\;-1-(-3))=(4,2) \]
- \(G=(3,-4)\), \(H=(-2,2)\), entonces: \[ \overrightarrow{GH}=(-2-3,\;2-(-4))=(-5,6) \]
Las coordenadas son \(\overrightarrow{AB}=(6,3)\), \(\overrightarrow{CD}=(-4,-5)\), \(\overrightarrow{EF}=(4,2)\) y \(\overrightarrow{GH}=(-5,6)\).
Ejercicio 3: comparar un vector con su opuesto
Sean los puntos:
\[ A=(-2,3) \qquad B=(2,-1) \]
- Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
- Calcula \(\overrightarrow{BA}\).
- Explica qué relación hay entre ambos vectores.
Calculamos primero \(\overrightarrow{AB}\):
\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-2),\;-1-3)=(4,-4) \]
Ahora calculamos \(\overrightarrow{BA}\):
\[ \overrightarrow{BA}=(-2-2,\;3-(-1))=(-4,4) \]
Observamos que:
\[ \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} \]
Tienen igual módulo e igual dirección, pero sentidos opuestos.
Ejercicio 4: hallar el punto final
Un vector comienza en el punto \(P=(2,-1)\) y tiene coordenadas:
\[ \overrightarrow{PQ}=(5,4) \]
Halla las coordenadas del punto final \(Q\).
El vector \(\overrightarrow{PQ}=(5,4)\) indica que desde \(P\) se avanza 5 unidades hacia la derecha y 4 unidades hacia arriba.
Como:
\[ P=(2,-1) \]
entonces:
\[ Q=(2+5,\;-1+4) \]
\[ Q=(7,3) \]
Por lo tanto, el punto final es \(Q=(7,3)\).
Ejercicio 5: hallar el punto inicial
Se sabe que:
\[ \overrightarrow{AB}=(-3,4) \]
y que el punto final es:
\[ B=(1,6) \]
Halla las coordenadas del punto inicial \(A\).
Sabemos que:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
También podemos pensar que:
\[ B=A+\overrightarrow{AB} \]
Como conocemos \(B\) y el vector, despejamos \(A\):
\[ A=B-\overrightarrow{AB} \]
Reemplazamos:
\[ A=(1,6)-(-3,4) \]
\[ A=(1-(-3),\;6-4) \]
\[ A=(4,2) \]
Verificamos:
\[ \overrightarrow{AB}=(1-4,\;6-2)=(-3,4) \]
Por lo tanto, el punto inicial es \(A=(4,2)\).
Ejercicio 6: coordenadas desconocidas
Sean los puntos:
\[ A=(a,2) \qquad B=(5,b) \]
Si:
\[ \overrightarrow{AB}=(3,-4) \]
halla los valores de \(a\) y \(b\). Luego calcula:
\[ a+b \]
Usamos la fórmula:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Reemplazamos los datos:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-a,\;b-2) \]
Como \(\overrightarrow{AB}=(3,-4)\), entonces:
\[ (5-a,\;b-2)=(3,-4) \]
Igualamos componente a componente:
\[ 5-a=3 \]
\[ a=2 \]
y
\[ b-2=-4 \]
\[ b=-2 \]
Finalmente:
\[ a+b=2+(-2)=0 \]
Por lo tanto, \(a=2\), \(b=-2\) y \(a+b=0\).
Ejercicio 7: corregir un error frecuente
Un estudiante calcula el vector desde \(A=(3,2)\) hasta \(B=(8,6)\) de la siguiente manera:
\[ \overrightarrow{AB}=(3-8,\;2-6)=(-5,-4) \]
¿El procedimiento es correcto? Justifica y corrige si es necesario.
El procedimiento no es correcto, porque el estudiante restó punto inicial menos punto final.
Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), se debe hacer:
\[ \overrightarrow{AB}=B-A \]
Entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(8-3,\;6-2)=(5,4) \]
El resultado \((-5,-4)\) corresponde al vector contrario, es decir, a \(\overrightarrow{BA}\).
La respuesta correcta es \(\overrightarrow{AB}=(5,4)\).
Para continuar
Ahora que sabemos calcular vectores entre dos puntos, podemos estudiar su longitud o módulo, es decir, cuánto mide el desplazamiento.