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5. Módulo de un vector
Módulo de un vector
Objetivo de la página
- Calcular e interpretar el módulo de un vector en el plano cartesiano, usando sus componentes y el teorema de Pitágoras.
¿Qué es el módulo de un vector?
El módulo de un vector corresponde a su longitud.
Si un vector representa un desplazamiento, entonces su módulo indica cuántas unidades mide ese desplazamiento.
El módulo de un vector \(\vec{v}\) se escribe:
\[ |\vec{v}| \]
Fórmula del módulo en 2D
Si un vector tiene coordenadas:
\[ \vec{v}=(a,b) \]
entonces su módulo se calcula mediante:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]
Esta fórmula se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por las componentes horizontal y vertical del vector.
Ejemplo 1: módulo de \(\overrightarrow{OA}\)
Observa el vector \(\overrightarrow{OA}\), donde \(O=(0,0)\) y \(A=(4,3)\).
Como \(\overrightarrow{OA}=(4,3)\), su módulo es:
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{16+9} \]
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{25}=5 \]
Por lo tanto, el vector mide \(5\) unidades.
Idea clave
El módulo no depende del sentido del vector, sino de su longitud.
Por ejemplo, \((4,3)\) y \((-4,-3)\) tienen el mismo módulo, porque ambos forman un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(4\) y \(3\).
Ejemplo 2: módulo de un vector entre dos puntos
Sean los puntos:
\[ A=(1,1) \qquad B=(5,4) \]
Primero calculamos el vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-1)=(4,3) \]
Luego calculamos su módulo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
Entonces, la distancia desde \(A\) hasta \(B\) es \(5\) unidades.
Módulo de un vector entre dos puntos
Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Por lo tanto:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
Error frecuente
No se calcula el módulo sumando directamente las componentes.
Por ejemplo, si \(\vec{v}=(4,3)\), no corresponde hacer:
\[ |\vec{v}|=4+3=7 \]
Lo correcto es usar:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]
Ejercicio 1: calcular módulos
Calcula el módulo de cada vector:
- \(\vec{u}=(6,8)\)
- \(\vec{v}=(5,12)\)
- \(\vec{w}=(-3,4)\)
Usamos la fórmula:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]
- \[ |\vec{u}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
- \[ |\vec{v}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]
- \[ |\vec{w}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(10\), \(13\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 2: leer desde un gráfico
Observa los vectores dibujados desde el origen. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).
Leemos las coordenadas de cada punto final:
- \(\overrightarrow{OA}=(3,4)\)
- \(\overrightarrow{OB}=(-5,0)\)
- \(\overrightarrow{OC}=(2,-2)\)
- \(\overrightarrow{OD}=(-4,-3)\)
Calculamos los módulos:
- \[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
- \[ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-5)^2+0^2}=\sqrt{25}=5 \]
- \[ |\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \]
- \[ |\overrightarrow{OD}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(5\), \(5\), \(2\sqrt{2}\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 3: módulo de un vector entre dos puntos
Calcula el módulo de cada vector entre dos puntos:
- \(A=(1,2)\), \(B=(4,6)\). Calcula \(|\overrightarrow{AB}|\).
- \(C=(-2,1)\), \(D=(4,9)\). Calcula \(|\overrightarrow{CD}|\).
- \(E=(3,-1)\), \(F=(-1,2)\). Calcula \(|\overrightarrow{EF}|\).
Primero calculamos cada vector y luego su módulo.
- \[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2)=(3,4) \] \[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
- \[ \overrightarrow{CD}=(4-(-2),\;9-1)=(6,8) \] \[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 \]
- \[ \overrightarrow{EF}=(-1-3,\;2-(-1))=(-4,3) \] \[ |\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(5\), \(10\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 4: hallar una componente desconocida
Sea el vector:
\[ \vec{v}=(x,3) \]
Si su módulo es \(5\), halla los posibles valores de \(x\).
Usamos la fórmula del módulo:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{x^2+3^2} \]
Como el módulo es \(5\):
\[ \sqrt{x^2+9}=5 \]
Elevamos al cuadrado:
\[ x^2+9=25 \]
\[ x^2=16 \]
Por lo tanto:
\[ x=4 \quad \text{o} \quad x=-4 \]
Los posibles valores son \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 5: hallar un punto usando el módulo
Sean los puntos:
\[ A=(1,2) \qquad B=(a,6) \]
Si:
\[ |\overrightarrow{AB}|=5 \]
halla los posibles valores de \(a\).
Primero calculamos el vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(a-1,\;6-2) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(a-1,\;4) \]
Ahora usamos el módulo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(a-1)^2+4^2} \]
Como el módulo es \(5\):
\[ \sqrt{(a-1)^2+16}=5 \]
Elevamos al cuadrado:
\[ (a-1)^2+16=25 \]
\[ (a-1)^2=9 \]
Entonces:
\[ a-1=3 \quad \text{o} \quad a-1=-3 \]
Por lo tanto:
\[ a=4 \quad \text{o} \quad a=-2 \]
Los posibles valores de \(a\) son \(4\) y \(-2\).
Ejercicio 6: comparar módulos
Sin dibujar, determina cuáles de los siguientes vectores tienen el mismo módulo que \(\vec{u}=(6,8)\):
- \(\vec{a}=(-6,-8)\)
- \(\vec{b}=(8,6)\)
- \(\vec{c}=(-8,6)\)
- \(\vec{d}=(10,0)\)
Primero calculamos el módulo de \(\vec{u}\):
\[ |\vec{u}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Ahora revisamos cada vector:
- \[ |\vec{a}|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=10 \]
- \[ |\vec{b}|=\sqrt{8^2+6^2}=10 \]
- \[ |\vec{c}|=\sqrt{(-8)^2+6^2}=10 \]
- \[ |\vec{d}|=\sqrt{10^2+0^2}=10 \]
Todos tienen el mismo módulo que \(\vec{u}\), aunque no todos tienen la misma dirección ni el mismo sentido.
Ejercicio 7: corregir un error frecuente
Un estudiante afirma:
“El módulo de \(\vec{v}=(4,3)\) es \(7\), porque \(4+3=7\)”.
¿Es correcta su afirmación? Justifica y corrige el procedimiento.
La afirmación no es correcta.
El módulo no se obtiene sumando directamente las componentes. Se calcula usando el teorema de Pitágoras:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{16+9} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{25}=5 \]
Por lo tanto, el módulo correcto es \(5\), no \(7\).
Para continuar
Ahora que sabemos calcular la longitud de un vector, podemos estudiar su dirección, es decir, el ángulo o inclinación que forma respecto del eje horizontal.