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5. Módulo de un vector
Objetivo de la página
- Calcular e interpretar el módulo de un vector en el plano cartesiano, usando sus componentes y el teorema de Pitágoras.
Módulo de un vector
El módulo de un vector corresponde a su longitud.
Si un vector representa un desplazamiento, entonces su módulo indica cuántas unidades mide ese desplazamiento.
El módulo de un vector \(\vec{v}\) se escribe:
\[ |\vec{v}| \]
Fórmula del módulo en 2D
Si un vector tiene coordenadas:
\[ \vec{v}=(a,b) \]
entonces su módulo se calcula mediante:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]
Esta fórmula se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por las componentes horizontal y vertical del vector.
Ejemplo 1: módulo de \(\overrightarrow{OA}\)
Observa el vector \(\overrightarrow{OA}\), donde \(O=(0,0)\) y \(A=(4,3)\).
Como \(\overrightarrow{OA}=(4,3)\), su módulo es:
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{16+9} \]
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{25}=5 \]
Por lo tanto, el vector mide \(5\) unidades.
Idea clave
El módulo no depende del sentido del vector, sino de su longitud.
Por ejemplo, \((4,3)\) y \((-4,-3)\) tienen el mismo módulo, porque ambos forman un triángulo rectángulo con catetos de longitudes \(4\) y \(3\).
Ejemplo 2: módulo de un vector entre dos puntos
Sean los puntos:
\[ A=(1,1) \qquad B=(5,4) \]
Primero calculamos el vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-1)=(4,3) \]
Luego calculamos su módulo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 \]
Entonces, la distancia desde \(A\) hasta \(B\) es \(5\) unidades.
Módulo de un vector entre dos puntos
Si \(A=(x_A,y_A)\) y \(B=(x_B,y_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A) \]
Por lo tanto:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} \]
Error frecuente
No se calcula el módulo sumando directamente las componentes.
Por ejemplo, si \(\vec{v}=(4,3)\), no corresponde hacer:
\[ |\vec{v}|=4+3=7 \]
Lo correcto es usar:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{4^2+3^2}=5 \]
Ejercicio 1
Calcula el módulo de cada vector:
- \(\vec{u}=(6,8)\)
- \(\vec{v}=(5,12)\)
- \(\vec{w}=(-3,4)\)
- \(\vec{z}=(-8,-6)\)
Usamos la fórmula:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2} \]
-
\[ |\vec{u}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
-
\[ |\vec{v}|=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13 \]
-
\[ |\vec{w}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ |\vec{z}|=\sqrt{(-8)^2+(-6)^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10 \]
Los módulos son \(10\), \(13\), \(5\) y \(10\), respectivamente.
Ejercicio 2
Observa los vectores dibujados desde el origen. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB}\), \(\overrightarrow{OC}\) y \(\overrightarrow{OD}\).
Leemos las coordenadas de cada punto final:
- \(\overrightarrow{OA}=(3,4)\)
- \(\overrightarrow{OB}=(-5,0)\)
- \(\overrightarrow{OC}=(2,-2)\)
- \(\overrightarrow{OD}=(-4,-3)\)
Calculamos los módulos:
-
\[ |\overrightarrow{OA}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ |\overrightarrow{OB}|=\sqrt{(-5)^2+0^2}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ |\overrightarrow{OC}|=\sqrt{2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \]
-
\[ |\overrightarrow{OD}|=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(5\), \(5\), \(2\sqrt{2}\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 3
Calcula el módulo de cada vector entre dos puntos:
- \(A=(1,2)\), \(B=(4,6)\). Calcula \(|\overrightarrow{AB}|\).
- \(C=(-2,1)\), \(D=(4,9)\). Calcula \(|\overrightarrow{CD}|\).
- \(E=(3,-1)\), \(F=(-1,2)\). Calcula \(|\overrightarrow{EF}|\).
- \(G=(-5,-2)\), \(H=(-1,-5)\). Calcula \(|\overrightarrow{GH}|\).
Primero calculamos cada vector y luego su módulo.
-
\[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2)=(3,4) \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ \overrightarrow{CD}=(4-(-2),\;9-1)=(6,8) \]
\[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10 \]
-
\[ \overrightarrow{EF}=(-1-3,\;2-(-1))=(-4,3) \]
\[ |\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ \overrightarrow{GH}=(-1-(-5),\;-5-(-2))=(4,-3) \]
\[ |\overrightarrow{GH}|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(5\), \(10\), \(5\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 4
Observa los vectores del plano cartesiano. Calcula el módulo de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) y \(\overrightarrow{EF}\).
Calculamos primero las coordenadas de cada vector.
-
\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-4),\;2-(-1))=(6,3) \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5} \]
-
\[ \overrightarrow{CD}=(1-4,\;1-5)=(-3,-4) \]
\[ |\overrightarrow{CD}|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ \overrightarrow{EF}=(-5-(-2),\;0-4)=(-3,-4) \]
\[ |\overrightarrow{EF}|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5 \]
Los módulos son \(3\sqrt{5}\), \(5\) y \(5\), respectivamente.
Ejercicio 5
Un estudiante afirma que los vectores \(\vec{u}=(6,8)\) y \(\vec{v}=(-6,-8)\) tienen distinto módulo porque apuntan en sentidos opuestos.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta. El módulo mide la longitud del vector, no su sentido.
Calculamos ambos módulos:
\[ |\vec{u}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{(-6)^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10 \]
Ambos vectores tienen el mismo módulo, aunque apuntan en sentidos opuestos.
La afirmación es falsa: los dos vectores tienen módulo \(10\).