vectores
10. Del plano al espacio
Objetivo de la página
- Comprender cómo se representan vectores en 3D mediante tres componentes y relacionarlos con vectores en 2D.
Del plano al espacio
En 2D, un vector se representa mediante dos componentes:
\[ \vec{v}=(a,b) \]
La primera componente indica el desplazamiento en el eje \(x\), y la segunda componente indica el desplazamiento en el eje \(y\).
En 3D aparece una tercera dirección, asociada al eje \(z\). Por eso, un vector en el espacio se representa mediante tres componentes:
\[ \vec{v}=(a,b,c) \]
Componentes de un vector en 3D
Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:
- \(a\) representa el desplazamiento en el eje \(x\).
- \(b\) representa el desplazamiento en el eje \(y\).
- \(c\) representa el desplazamiento en el eje \(z\).
La lógica es la misma que en 2D, pero ahora se incorpora una tercera componente.
Ejemplo 1: interpretar el vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\)
Consideremos el vector:
\[ \overrightarrow{OP}=(4,2,3) \]
Este vector representa un desplazamiento desde el origen \(O=(0,0,0)\) hasta el punto \(P=(4,2,3)\).
El vector \(\overrightarrow{OP}=(4,2,3)\) indica que, desde el origen, se avanza:
- 4 unidades en la dirección del eje \(x\),
- 2 unidades en la dirección del eje \(y\),
- 3 unidades en la dirección del eje \(z\).
Por lo tanto, el punto final del desplazamiento es:
\[ P=(4,2,3) \]
Idea clave
Un vector en 3D conserva la misma idea de desplazamiento que un vector en 2D.
La diferencia es que ahora el desplazamiento puede ocurrir en tres direcciones independientes: \(x\), \(y\) y \(z\).
Ejemplo 2: comparación entre 2D y 3D
| Tipo de vector | Forma | Interpretación |
|---|---|---|
| Vector en 2D | \((3,5)\) | 3 unidades en \(x\) y 5 unidades en \(y\). |
| Vector en 3D | \((3,5,2)\) | 3 unidades en \(x\), 5 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\). |
El vector en 3D necesita una tercera componente porque describe desplazamientos en el espacio, no solo en el plano.
Ejemplo 3: vector entre dos puntos en 3D
Sean los puntos:
\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,4,8) \]
Para calcular \(\overrightarrow{AB}\), restamos punto final menos punto inicial, componente a componente:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;4-2,\;8-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4,2,5) \]
Esto significa que para ir desde \(A\) hasta \(B\), el desplazamiento cambia 4 unidades en \(x\), 2 unidades en \(y\) y 5 unidades en \(z\).
Vector entre dos puntos en 3D
Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]
Es la misma regla usada en 2D, pero agregando la resta de la tercera componente.
Error frecuente
No olvides la tercera componente al trabajar en 3D.
Por ejemplo, si \(A=(1,2,3)\) y \(B=(5,4,8)\), no basta con calcular:
\[ (5-1,\;4-2) \]
También se debe considerar:
\[ 8-3 \]
Ejercicio 1
Interpreta con palabras cada vector en 3D:
- \(\vec{u}=(3,2,5)\)
- \(\vec{v}=(-4,1,6)\)
- \(\vec{w}=(2,-3,-1)\)
- \(\vec{z}=(-5,-2,4)\)
Interpretamos cada componente según el eje correspondiente.
- \(\vec{u}=(3,2,5)\): 3 unidades en \(x\), 2 en \(y\) y 5 en \(z\).
- \(\vec{v}=(-4,1,6)\): 4 unidades en sentido negativo de \(x\), 1 en \(y\) y 6 en \(z\).
- \(\vec{w}=(2,-3,-1)\): 2 unidades en \(x\), 3 en sentido negativo de \(y\) y 1 en sentido negativo de \(z\).
- \(\vec{z}=(-5,-2,4)\): 5 unidades en sentido negativo de \(x\), 2 en sentido negativo de \(y\) y 4 en \(z\).
Cada vector se interpreta leyendo sus componentes en el orden \((x,y,z)\).
Ejercicio 2
Escribe el vector en 3D que representa cada desplazamiento:
- Avanzar 4 unidades en \(x\), 3 unidades en \(y\) y 2 unidades en \(z\).
- Avanzar 5 unidades en sentido negativo de \(x\), 1 unidad en \(y\) y 6 unidades en \(z\).
- Avanzar 2 unidades en \(x\), 4 unidades en sentido negativo de \(y\) y 3 unidades en sentido negativo de \(z\).
- Avanzar 1 unidad en sentido negativo de \(x\), 2 unidades en sentido negativo de \(y\) y 5 unidades en \(z\).
Escribimos las componentes en el orden \(x,y,z\).
- \((4,3,2)\)
- \((-5,1,6)\)
- \((2,-4,-3)\)
- \((-1,-2,5)\)
Los vectores son \((4,3,2)\), \((-5,1,6)\), \((2,-4,-3)\) y \((-1,-2,5)\).
Ejercicio 3
Calcula las coordenadas de cada vector en 3D:
- \(A=(1,2,3)\), \(B=(4,6,8)\). Calcula \(\overrightarrow{AB}\).
- \(C=(-2,1,5)\), \(D=(3,4,2)\). Calcula \(\overrightarrow{CD}\).
- \(E=(5,-1,0)\), \(F=(2,3,-4)\). Calcula \(\overrightarrow{EF}\).
- \(G=(-3,-2,6)\), \(H=(-7,1,10)\). Calcula \(\overrightarrow{GH}\).
Usamos:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]
- \(\overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2,\;8-3)=(3,4,5)\)
- \(\overrightarrow{CD}=(3-(-2),\;4-1,\;2-5)=(5,3,-3)\)
- \(\overrightarrow{EF}=(2-5,\;3-(-1),\;-4-0)=(-3,4,-4)\)
- \(\overrightarrow{GH}=(-7-(-3),\;1-(-2),\;10-6)=(-4,3,4)\)
Los vectores son \((3,4,5)\), \((5,3,-3)\), \((-3,4,-4)\) y \((-4,3,4)\).
Ejercicio 4
Un estudiante afirma que para calcular un vector en 3D basta con restar las coordenadas \(x\) e \(y\), porque el eje \(z\) solo sirve para dibujar profundidad.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta. En 3D, la tercera componente también forma parte del vector.
Un vector en el espacio tiene la forma:
\[ (x,y,z) \]
Por ejemplo, si \(A=(1,2,3)\) y \(B=(4,6,8)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(4-1,\;6-2,\;8-3)=(3,4,5) \]
La componente \(5\) en \(z\) es parte del desplazamiento.
La afirmación es falsa: en 3D se deben considerar las tres componentes.