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11. Distancia y desplazamiento en el espacio
Objetivo de la página
- Calcular e interpretar la distancia y el desplazamiento entre puntos del espacio usando vectores en 3D.
Distancia y desplazamiento en el espacio
En 3D, un vector puede representar el desplazamiento desde un punto inicial hasta un punto final.
Si el vector es:
\[ \vec{v}=(a,b,c) \]
entonces sus componentes indican cuánto cambia la posición en los ejes \(x\), \(y\) y \(z\).
La distancia recorrida en línea recta corresponde al módulo de ese vector.
Módulo de un vector en 3D
Si \(\vec{v}=(a,b,c)\), entonces:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
Esta fórmula extiende la idea del módulo en 2D, agregando la tercera componente.
Ejemplo 1: desplazamiento en una caja 3D
La siguiente figura representa un desplazamiento en el espacio. El vector \(\overrightarrow{OP}\) tiene componentes:
\[ \overrightarrow{OP}=(4,4,2) \]
Para calcular la distancia real en el espacio usamos las componentes del vector:
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{4^2+4^2+2^2} \]
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{16+16+4} \]
\[ |\overrightarrow{OP}|=\sqrt{36}=6 \]
Por lo tanto, la distancia desde \(O\) hasta \(P\) es \(6\) unidades.
Distancia entre dos puntos en 3D
Si \(A=(x_A,y_A,z_A)\) y \(B=(x_B,y_B,z_B)\), entonces:
\[ \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\;y_B-y_A,\;z_B-z_A) \]
La distancia entre \(A\) y \(B\) es el módulo de ese vector:
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2} \]
Ejemplo 2: distancia entre dos puntos del espacio
Sean los puntos:
\[ A=(1,2,3) \qquad B=(5,5,15) \]
Primero calculamos el vector:
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;15-3) \]
\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]
Luego calculamos su módulo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2+3^2+12^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{16+9+144} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]
Por lo tanto, la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.
Idea clave
El vector \(\overrightarrow{AB}\) describe el desplazamiento desde \(A\) hasta \(B\).
La distancia entre \(A\) y \(B\) corresponde a la longitud de ese desplazamiento:
\[ d(A,B)=|\overrightarrow{AB}| \]
Error frecuente
No confundas desplazamiento con distancia.
El desplazamiento es un vector, por ejemplo:
\[ \overrightarrow{AB}=(4,3,12) \]
La distancia es un número positivo:
\[ |\overrightarrow{AB}|=13 \]
Ejercicio 1
Calcula el módulo de cada vector en 3D:
- \(\vec{u}=(2,3,6)\)
- \(\vec{v}=(-4,0,3)\)
- \(\vec{w}=(1,-2,2)\)
- \(\vec{z}=(-6,-2,-3)\)
Usamos:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{a^2+b^2+c^2} \]
-
\[ |\vec{u}|=\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7 \]
-
\[ |\vec{v}|=\sqrt{(-4)^2+0^2+3^2}=\sqrt{16+0+9}=\sqrt{25}=5 \]
-
\[ |\vec{w}|=\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3 \]
-
\[ |\vec{z}|=\sqrt{(-6)^2+(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7 \]
Los módulos son \(7\), \(5\), \(3\) y \(7\), respectivamente.
Ejercicio 2
Calcula \(\overrightarrow{AB}\) y luego la distancia entre los puntos:
- \(A=(1,2,0)\), \(B=(5,5,0)\)
- \(A=(-1,2,1)\), \(B=(2,6,13)\)
- \(A=(4,-2,5)\), \(B=(0,1,5)\)
- \(A=(-3,-1,2)\), \(B=(-1,1,4)\)
Calculamos primero el vector \(\overrightarrow{AB}\) y luego su módulo.
-
\[ \overrightarrow{AB}=(5-1,\;5-2,\;0-0)=(4,3,0) \]
\[ d(A,B)=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5 \]
-
\[ \overrightarrow{AB}=(2-(-1),\;6-2,\;13-1)=(3,4,12) \]
\[ d(A,B)=\sqrt{3^2+4^2+12^2}=\sqrt{169}=13 \]
-
\[ \overrightarrow{AB}=(0-4,\;1-(-2),\;5-5)=(-4,3,0) \]
\[ d(A,B)=\sqrt{(-4)^2+3^2+0^2}=5 \]
-
\[ \overrightarrow{AB}=(-1-(-3),\;1-(-1),\;4-2)=(2,2,2) \]
\[ d(A,B)=\sqrt{2^2+2^2+2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3} \]
Las distancias son \(5\), \(13\), \(5\) y \(2\sqrt{3}\), respectivamente.
Ejercicio 3
Un desplazamiento en el espacio tiene componentes \(6\) en \(x\), \(2\) en \(y\) y \(3\) en \(z\).
- Escribe el vector que representa el desplazamiento.
- Calcula la distancia recorrida en línea recta.
El vector se escribe respetando el orden de las componentes:
\[ \vec{v}=(6,2,3) \]
La distancia recorrida en línea recta es el módulo del vector:
\[ |\vec{v}|=\sqrt{6^2+2^2+3^2} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{36+4+9} \]
\[ |\vec{v}|=\sqrt{49}=7 \]
El vector es \((6,2,3)\) y la distancia recorrida es \(7\) unidades.
Ejercicio 4
Un estudiante afirma que si \(\overrightarrow{AB}=(-3,4,-12)\), entonces la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(-13\), porque una de las componentes es negativa.
¿Es correcta su afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta. La distancia siempre es un número mayor o igual que cero.
Calculamos el módulo del vector:
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-12)^2} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{9+16+144} \]
\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{169}=13 \]
Las componentes negativas indican sentido en ciertos ejes, pero no hacen que la distancia sea negativa.
La afirmación es falsa: la distancia entre \(A\) y \(B\) es \(13\) unidades.