Probabilidad básica
2. Eventos y tipos de eventos
Eventos y tipos de eventos
Objetivo de aprendizaje
- Identificar eventos asociados a un experimento aleatorio y clasificarlos como simples, compuestos, seguros o imposibles según su relación con el espacio muestral.
Evento
Un evento es un conjunto de resultados del espacio muestral que cumplen una determinada condición.
Si \(S\) es el espacio muestral, entonces un evento \(A\) debe estar formado solo por resultados que pertenezcan a \(S\). Es decir:
\[ A\subseteq S \]
Tipos de eventos
| Tipo de evento | Característica | Forma general |
|---|---|---|
| Evento simple | Tiene exactamente un resultado. | \(|A|=1\) |
| Evento compuesto | Tiene dos o más resultados, pero no necesariamente todos. | \(|A|\geq 2\) |
| Evento seguro | Contiene todos los resultados del espacio muestral. | \(A=S\) |
| Evento imposible | No contiene resultados del espacio muestral. | \(A=\varnothing\) |
Atención
La clasificación de un evento depende del espacio muestral. Una misma frase puede representar eventos distintos si cambia lo que se está observando.
Por eso, antes de clasificar un evento, siempre conviene escribir o reconocer primero el espacio muestral \(S\).
Ejemplo 1: elegir una ficha numerada
Una caja contiene fichas numeradas con los siguientes valores:
\[ S=\{2,5,7,11,14,18,21,25\} \]
Se extrae una ficha al azar y se observa su número.
Consideremos los eventos:
- \(A\): obtener un número primo.
- \(B\): obtener un múltiplo de \(7\).
- \(C\): obtener un número positivo.
- \(D\): obtener un número menor que \(0\).
Entonces:
\[ A=\{2,5,7,11\} \]
\[ B=\{7,14,21\} \]
\[ C=\{2,5,7,11,14,18,21,25\}=S \]
\[ D=\varnothing \]
Por lo tanto, \(A\) y \(B\) son eventos compuestos, \(C\) es un evento seguro y \(D\) es un evento imposible.
Ejemplo 2: una ruleta de colores
Una ruleta tiene sectores de colores distintos. Al girarla se observa el color donde se detiene la flecha.
El espacio muestral es:
\[ S=\{\text{rojo},\text{azul},\text{verde},\text{amarillo},\text{morado}\} \]
Sea \(A\) el evento “obtener un color que contenga la letra \(r\) en su nombre”.
Revisamos los colores:
- rojo contiene \(r\),
- verde contiene \(r\),
- amarillo contiene \(r\),
- morado contiene \(r\),
- azul no contiene \(r\).
Entonces:
\[ A=\{\text{rojo},\text{verde},\text{amarillo},\text{morado}\} \]
Como \(A\) tiene cuatro resultados, es un evento compuesto.
Ejemplo 3: elegir una colación
En un kiosco se elige al azar una colación de la siguiente lista:
\[ S=\{\text{yogur},\text{barra de cereal},\text{fruta},\text{sándwich},\text{jugo},\text{galleta}\} \]
Sea \(B\) el evento “elegir una bebida”. En esta lista, la única bebida es el jugo.
Por lo tanto:
\[ B=\{\text{jugo}\} \]
Como contiene exactamente un resultado, \(B\) es un evento simple.
Ejemplo 4: evento definido en un espacio muestral de pares
Un estudiante debe escoger una actividad y un horario. Las actividades disponibles son teatro \(T\), robótica \(R\) y debate \(D\). Los horarios disponibles son mañana \(M\) y tarde \(T_a\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{(T,M),(T,T_a),(R,M),(R,T_a),(D,M),(D,T_a)\} \]
Sea \(E\) el evento “escoger robótica o escoger horario de tarde”.
Los resultados que cumplen la condición son:
\[ E=\{(R,M),(R,T_a),(T,T_a),(D,T_a)\} \]
El resultado \((R,T_a)\) no se repite, aunque cumple ambas condiciones.
Como \(E\) tiene cuatro resultados, es un evento compuesto.
Estrategia para clasificar eventos
- Identifica el espacio muestral \(S\).
- Traduce la condición del evento a resultados concretos.
- Escribe el evento como conjunto.
- Compara el evento con \(S\): si es vacío, es imposible; si coincide con \(S\), es seguro.
- Si no es seguro ni imposible, cuenta sus resultados: uno significa simple; dos o más significa compuesto.
Error común
No basta con mirar cuántas palabras tiene la condición del evento. Lo importante es cuántos resultados del espacio muestral cumplen esa condición.
Por ejemplo, “obtener una figura geométrica con cuatro lados” puede sonar como una sola condición, pero podría incluir varios resultados: cuadrado, rectángulo, rombo o trapecio, dependiendo del espacio muestral.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se elige al azar un número del conjunto:
\[ S=\{4,6,9,10,12,15,20,27\} \]
Determina cada evento y clasifícalo como simple, compuesto, seguro o imposible.
- \(A\): obtener un múltiplo de \(5\).
- \(B\): obtener un número cuadrado perfecto.
- \(C\): obtener un número menor que \(30\).
- \(D\): obtener un número primo.
Trabajamos con el espacio muestral:
\[ S=\{4,6,9,10,12,15,20,27\} \]
Para \(A\), los múltiplos de \(5\) son:
\[ A=\{10,15,20\} \]
Como tiene tres resultados, \(A\) es un evento compuesto.
Para \(B\), los cuadrados perfectos del conjunto son \(4=2^2\) y \(9=3^2\):
\[ B=\{4,9\} \]
Por lo tanto, \(B\) es un evento compuesto.
Para \(C\), todos los elementos de \(S\) son menores que \(30\):
\[ C=S \]
Entonces \(C\) es un evento seguro.
Para \(D\), ningún número del conjunto es primo:
\[ D=\varnothing \]
Entonces \(D\) es un evento imposible.
Ejercicio 2
En una aplicación de música se selecciona al azar una lista de reproducción entre las siguientes:
\[ S=\{\text{rock},\text{pop},\text{jazz},\text{clásica},\text{cueca},\text{reguetón},\text{electrónica}\} \]
Sea \(M\) el evento “seleccionar una lista cuyo nombre tiene exactamente cuatro letras”. Determina \(M\) y clasifícalo.
Buscamos los nombres con exactamente cuatro letras:
- rock tiene \(4\) letras;
- pop tiene \(3\) letras;
- jazz tiene \(4\) letras;
- clásica tiene más de \(4\) letras;
- cueca tiene \(5\) letras;
- reguetón tiene más de \(4\) letras;
- electrónica tiene más de \(4\) letras.
Por lo tanto:
\[ M=\{\text{rock},\text{jazz}\} \]
Como \(M\) tiene dos resultados, es un evento compuesto.
Ejercicio 3
Una persona elige al azar un medio de transporte para llegar a una actividad. Las opciones son:
\[ S=\{\text{metro},\text{bus},\text{bicicleta},\text{auto},\text{caminata}\} \]
Determina y clasifica los eventos:
- \(A\): elegir un medio motorizado.
- \(B\): elegir caminata.
- \(C\): elegir un medio disponible.
- \(D\): elegir avión.
Según el espacio muestral, los medios motorizados son metro, bus y auto:
\[ A=\{\text{metro},\text{bus},\text{auto}\} \]
Entonces \(A\) es un evento compuesto.
El evento \(B\), elegir caminata, es:
\[ B=\{\text{caminata}\} \]
Entonces \(B\) es un evento simple.
El evento \(C\), elegir un medio disponible, incluye todas las opciones del espacio muestral:
\[ C=S \]
Entonces \(C\) es un evento seguro.
El evento \(D\), elegir avión, no tiene resultados en \(S\):
\[ D=\varnothing \]
Entonces \(D\) es un evento imposible.
Ejercicio 4
Se escoge al azar una pieza de un set de figuras. El espacio muestral según forma y color es:
\[ S=\{(\text{círculo},\text{rojo}),(\text{círculo},\text{azul}),(\text{triángulo},\text{rojo}),(\text{cuadrado},\text{verde}),(\text{hexágono},\text{azul})\} \]
Sea \(A\) el evento “la pieza es azul o tiene cuatro lados”. Determina \(A\) y clasifícalo.
Primero identificamos las piezas azules:
\[ (\text{círculo},\text{azul}),\;(\text{hexágono},\text{azul}) \]
Luego identificamos las piezas con cuatro lados. En el espacio muestral, esa condición la cumple:
\[ (\text{cuadrado},\text{verde}) \]
Juntamos los resultados sin repetir:
\[ A=\{(\text{círculo},\text{azul}),(\text{hexágono},\text{azul}),(\text{cuadrado},\text{verde})\} \]
Como \(A\) tiene tres resultados, es un evento compuesto.
Ejercicio 5
Un restaurante ofrece al azar una promoción formada por un plato principal y una bebida. Los platos son pasta \(P\), ensalada \(E\) y sopa \(S\). Las bebidas son agua \(A\) y limonada \(L\).
El espacio muestral es:
\[ S=\{(P,A),(P,L),(E,A),(E,L),(S,A),(S,L)\} \]
Sea \(B\) el evento “la promoción incluye agua y no incluye sopa”. Determina \(B\) y clasifícalo.
Buscamos promociones que incluyan agua:
\[ (P,A),(E,A),(S,A) \]
Además, no deben incluir sopa, por lo que descartamos \((S,A)\).
Entonces:
\[ B=\{(P,A),(E,A)\} \]
Como \(B\) tiene dos resultados, es un evento compuesto.
Ejercicio 6
Una estudiante afirma: “Si un evento está descrito con una sola condición, entonces siempre es simple”. Analiza si la afirmación es correcta usando el siguiente espacio muestral:
\[ S=\{12,16,18,21,24,30,35\} \]
Considera el evento \(A\): “obtener un número divisible por \(6\)”.
La afirmación no es correcta. Un evento no es simple por estar escrito con una sola condición, sino por contener exactamente un resultado.
En este caso, los números divisibles por \(6\) en el espacio muestral son:
\[ 12,\;18,\;24,\;30 \]
Entonces:
\[ A=\{12,18,24,30\} \]
Como \(A\) tiene cuatro resultados, es un evento compuesto.
Por lo tanto, la afirmación de la estudiante es falsa.
Problemas tipo PAES
Problema 1
Se elige al azar una comuna de la lista:
\[ S=\{\text{Concepción},\text{Temuco},\text{Valdivia},\text{Osorno},\text{Talca},\text{Curicó}\} \]
Sea \(A\) el evento “elegir una comuna cuyo nombre termina en vocal”. ¿Cuál es \(A\) y qué tipo de evento es?
A) \(A=\{\text{Temuco},\text{Valdivia},\text{Osorno},\text{Talca},\text{Curicó}\}\), evento compuesto.
B) \(A=\{\text{Concepción},\text{Curicó}\}\), evento compuesto.
C) \(A=\{\text{Talca}\}\), evento simple.
D) \(A=S\), evento seguro.
Revisamos cada nombre:
- Concepción termina en \(n\), no en vocal.
- Temuco termina en \(o\).
- Valdivia termina en \(a\).
- Osorno termina en \(o\).
- Talca termina en \(a\).
- Curicó termina en vocal.
Entonces:
\[ A=\{\text{Temuco},\text{Valdivia},\text{Osorno},\text{Talca},\text{Curicó}\} \]
Como \(A\) tiene cinco resultados, es un evento compuesto.
La alternativa correcta es A.
Problema 2
Se escoge al azar un número del conjunto:
\[ S=\{8,13,17,22,26,31,34\} \]
¿Cuál de los siguientes eventos es imposible?
A) Obtener un número impar.
B) Obtener un número mayor que \(30\).
C) Obtener un múltiplo de \(3\).
D) Obtener un número par menor que \(10\).
Un evento imposible no tiene resultados dentro del espacio muestral.
Revisemos las opciones:
- Hay números impares: \(13,17,31\).
- Hay números mayores que \(30\): \(31,34\).
- No hay múltiplos de \(3\) en \(S\).
- Hay un número par menor que \(10\): \(8\).
Por lo tanto, el evento imposible es “obtener un múltiplo de \(3\)”.
La alternativa correcta es C.
Problema 3
Una biblioteca selecciona al azar un libro de una repisa con las siguientes categorías:
\[ S=\{\text{novela},\text{poesía},\text{ensayo},\text{cuento},\text{crónica},\text{biografía}\} \]
¿Cuál de los siguientes eventos es seguro?
A) Seleccionar un texto escrito en prosa.
B) Seleccionar una categoría literaria o informativa de la repisa.
C) Seleccionar poesía.
D) Seleccionar una categoría cuyo nombre tenga más de ocho letras.
Un evento seguro debe incluir todos los resultados de \(S\).
La opción “seleccionar una categoría literaria o informativa de la repisa” describe cualquiera de las categorías disponibles, por lo que incluye todo el espacio muestral.
Entonces ese evento coincide con:
\[ S=\{\text{novela},\text{poesía},\text{ensayo},\text{cuento},\text{crónica},\text{biografía}\} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
Se elige al azar un par \((x,y)\) del siguiente espacio muestral:
\[ S=\{(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(3,2),(3,5)\} \]
Sea \(E\) el evento “la suma de las coordenadas es \(7\)”. ¿Cuál es \(E\) y qué tipo de evento es?
A) \(E=\{(2,5)\}\), evento simple.
B) \(E=\{(1,5),(2,5),(3,5)\}\), evento compuesto.
C) \(E=\{(2,5),(3,5)\}\), evento compuesto.
D) \(E=\varnothing\), evento imposible.
Calculamos la suma de las coordenadas en los pares que podrían servir:
\[ 1+5=6 \]
\[ 2+5=7 \]
\[ 3+5=8 \]
El único par cuya suma es \(7\) es \((2,5)\).
Por lo tanto:
\[ E=\{(2,5)\} \]
Como tiene un solo resultado, es un evento simple.
La alternativa correcta es A.
Problema 5
En una actividad se elige al azar una tarjeta con una de las siguientes instrucciones:
\[ S=\{\text{dibujar},\text{explicar},\text{comparar},\text{calcular},\text{argumentar}\} \]
Sea \(A\) el evento “la instrucción contiene la letra \(a\)”. ¿Qué tipo de evento es \(A\)?
A) Simple, porque la condición es una sola.
B) Compuesto, porque varios resultados cumplen la condición.
C) Seguro, porque todas las instrucciones contienen la letra \(a\).
D) Imposible, porque ninguna instrucción contiene la letra \(a\).
Revisamos las instrucciones:
- dibujar contiene \(a\);
- explicar contiene \(a\);
- comparar contiene \(a\);
- calcular contiene \(a\);
- argumentar contiene \(a\).
Todos los resultados del espacio muestral cumplen la condición.
Por lo tanto:
\[ A=S \]
El evento es seguro.
La alternativa correcta es C.