Probabilidad básica
3. Probabilidad clásica: regla de Laplace
Objetivo de aprendizaje
- Calcular probabilidades en experimentos con resultados equiprobables usando la regla de Laplace, identificando correctamente los casos favorables y los casos posibles.
Probabilidad clásica
La probabilidad clásica se usa cuando todos los resultados del espacio muestral tienen la misma posibilidad de ocurrir.
Por ejemplo, si se escoge al azar un número de una lista y todos los números tienen la misma posibilidad de ser elegidos, se puede aplicar la regla de Laplace.
Regla de Laplace
Si todos los resultados del espacio muestral son equiprobables, entonces la probabilidad de un evento \(A\) se calcula como:
\[ P(A)=\frac{\text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}} \]
También se puede escribir como:
\[ P(A)=\frac{|A|}{|S|} \]
donde \(|A|\) es la cantidad de resultados del evento y \(|S|\) es la cantidad de resultados del espacio muestral.
Atención
La regla de Laplace solo se aplica directamente cuando los casos posibles son igualmente probables.
No basta con contar resultados: primero hay que verificar que cada resultado tenga la misma posibilidad de ocurrir.
Ejemplo 1: credenciales numeradas
En una actividad se entrega al azar una credencial numerada del \(1\) al \(18\). ¿Cuál es la probabilidad de recibir una credencial con número múltiplo de \(6\)?
El espacio muestral tiene \(18\) resultados posibles:
\[ S=\{1,2,3,\ldots,18\} \]
Los múltiplos de \(6\) entre \(1\) y \(18\) son:
\[ 6,\;12,\;18 \]
Entonces, hay \(3\) casos favorables y \(18\) casos posibles.
Aplicando la regla de Laplace:
\[ P=\frac{3}{18}=\frac{1}{6} \]
La probabilidad de recibir una credencial con número múltiplo de \(6\) es \(\frac{1}{6}\).
Ejemplo 2: selección de una entrada
Para una presentación se imprimen \(40\) entradas numeradas del \(1\) al \(40\). Se escoge una entrada al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número termine en \(0\)?
Hay \(40\) casos posibles.
Los números del \(1\) al \(40\) que terminan en \(0\) son:
\[ 10,\;20,\;30,\;40 \]
Por lo tanto, hay \(4\) casos favorables.
\[ P=\frac{4}{40}=\frac{1}{10} \]
La probabilidad pedida es \(\frac{1}{10}\), es decir, \(0{,}1\) o \(10\%\).
Ejemplo 3: elegir una persona de un grupo
En un taller hay \(28\) participantes. De ellos, \(9\) eligieron fotografía, \(7\) eligieron programación, \(5\) eligieron ilustración y \(7\) eligieron edición de video. Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya elegido programación?
Como se elige una persona entre \(28\), hay \(28\) casos posibles.
Los casos favorables son las \(7\) personas que eligieron programación.
Entonces:
\[ P(\text{programación})=\frac{7}{28}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{4}\), equivalente a \(25\%\).
Ejemplo 4: combinaciones equiprobables
Una plataforma permite crear una insignia eligiendo un fondo y un símbolo. Hay \(4\) fondos posibles y \(3\) símbolos posibles. Todas las combinaciones son igualmente probables.
¿Cuál es la probabilidad de obtener una insignia con fondo azul y cualquier símbolo?
La cantidad total de combinaciones es:
\[ 4\cdot 3=12 \]
Si el fondo debe ser azul, el símbolo puede ser cualquiera de los \(3\) disponibles. Entonces hay \(3\) casos favorables.
\[ P=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
La probabilidad de obtener una insignia con fondo azul es \(\frac{1}{4}\).
Estrategia para aplicar la regla de Laplace
- Verifica que los resultados sean equiprobables.
- Determina la cantidad total de casos posibles.
- Determina cuántos casos cumplen la condición del evento.
- Forma la fracción \(\frac{\text{favorables}}{\text{posibles}}\).
- Simplifica la fracción si es posible.
- Interpreta el resultado en el contexto del problema.
Error común
No confundas casos favorables con casos posibles.
Los casos posibles son todos los resultados que pueden ocurrir. Los casos favorables son solo los que cumplen la condición preguntada.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una tómbola hay \(30\) boletos numerados del \(1\) al \(30\). Se extrae un boleto al azar. Calcula la probabilidad de que el número sea múltiplo de \(4\).
Hay \(30\) casos posibles, porque los boletos están numerados del \(1\) al \(30\).
Los múltiplos de \(4\) entre \(1\) y \(30\) son:
\[ 4,\;8,\;12,\;16,\;20,\;24,\;28 \]
Hay \(7\) casos favorables.
Por la regla de Laplace:
\[ P=\frac{7}{30} \]
La probabilidad de extraer un boleto con número múltiplo de \(4\) es \(\frac{7}{30}\).
Ejercicio 2
En un concurso se elige al azar una pregunta de un banco con \(50\) preguntas. De ellas, \(18\) son de álgebra, \(12\) de geometría, \(10\) de estadística y \(10\) de probabilidad. ¿Cuál es la probabilidad de que la pregunta elegida sea de estadística?
El total de preguntas es \(50\), por lo tanto hay \(50\) casos posibles.
Las preguntas de estadística son \(10\), por lo tanto hay \(10\) casos favorables.
Aplicamos la regla de Laplace:
\[ P(\text{estadística})=\frac{10}{50}=\frac{1}{5} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{5}\), equivalente a \(20\%\).
Ejercicio 3
Se elige al azar un número entero entre \(20\) y \(45\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un número divisible por \(5\)?
Primero contamos cuántos enteros hay desde \(20\) hasta \(45\), incluyendo ambos extremos:
\[ 45-20+1=26 \]
Entonces hay \(26\) casos posibles.
Los números divisibles por \(5\) en ese intervalo son:
\[ 20,\;25,\;30,\;35,\;40,\;45 \]
Hay \(6\) casos favorables.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{6}{26}=\frac{3}{13} \]
La probabilidad de elegir un número divisible por \(5\) es \(\frac{3}{13}\).
Ejercicio 4
Una caja contiene \(6\) lápices negros, \(5\) lápices azules, \(4\) lápices rojos y \(3\) lápices verdes. Se extrae un lápiz al azar. Calcula la probabilidad de extraer un lápiz que no sea verde.
El total de lápices es:
\[ 6+5+4+3=18 \]
Hay \(18\) casos posibles.
Los lápices que no son verdes son los negros, azules y rojos:
\[ 6+5+4=15 \]
Hay \(15\) casos favorables.
Entonces:
\[ P(\text{no verde})=\frac{15}{18}=\frac{5}{6} \]
La probabilidad de extraer un lápiz que no sea verde es \(\frac{5}{6}\).
Ejercicio 5
Para armar una credencial digital se elige un marco entre \(5\) opciones y un ícono entre \(4\) opciones. Todas las combinaciones son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que la credencial tenga un marco específico y un ícono específico?
La cantidad total de combinaciones posibles es:
\[ 5\cdot 4=20 \]
Si se pide un marco específico y un ícono específico, hay solo \(1\) combinación favorable.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{1}{20} \]
La probabilidad pedida es \(\frac{1}{20}\), equivalente a \(5\%\).
Ejercicio 6
En una fila de asientos numerados del \(101\) al \(128\), se asigna un asiento al azar. Calcula la probabilidad de que el número asignado sea impar y mayor que \(115\).
Primero contamos los asientos desde \(101\) hasta \(128\), incluyendo ambos extremos:
\[ 128-101+1=28 \]
Hay \(28\) casos posibles.
Los números impares mayores que \(115\) son:
\[ 117,\;119,\;121,\;123,\;125,\;127 \]
Hay \(6\) casos favorables.
Entonces:
\[ P=\frac{6}{28}=\frac{3}{14} \]
La probabilidad de recibir un asiento impar mayor que \(115\) es \(\frac{3}{14}\).
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una lista hay \(36\) códigos numerados del \(1\) al \(36\). Se selecciona uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un código que sea múltiplo de \(6\) o múltiplo de \(9\)?
A) \(\frac{5}{36}\)
B) \(\frac{8}{36}\)
C) \(\frac{9}{36}\)
D) \(\frac{10}{36}\)
Los múltiplos de \(6\) entre \(1\) y \(36\) son:
\[ 6,\;12,\;18,\;24,\;30,\;36 \]
Los múltiplos de \(9\) entre \(1\) y \(36\) son:
\[ 9,\;18,\;27,\;36 \]
Juntamos los resultados sin repetir:
\[ \{6,9,12,18,24,27,30,36\} \]
Hay \(8\) casos favorables y \(36\) posibles.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{8}{36} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 2
Una tienda sortea un cupón entre \(24\) compras del día. De esas compras, \(9\) fueron pagadas en efectivo, \(8\) con tarjeta de débito, \(5\) con tarjeta de crédito y \(2\) con transferencia. Si todas las compras tienen la misma posibilidad de ser sorteadas, ¿cuál es la probabilidad de que el cupón corresponda a una compra pagada con tarjeta?
A) \(\frac{8}{24}\)
B) \(\frac{13}{24}\)
C) \(\frac{15}{24}\)
D) \(\frac{16}{24}\)
Las compras pagadas con tarjeta incluyen débito y crédito.
Entonces, los casos favorables son:
\[ 8+5=13 \]
El total de compras es \(24\), por lo tanto hay \(24\) casos posibles.
Así:
\[ P=\frac{13}{24} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 3
Para diseñar una portada se elige al azar una plantilla entre \(6\) opciones y una tipografía entre \(5\) opciones. Todas las combinaciones son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una plantilla específica, sin importar la tipografía?
A) \(\frac{1}{30}\)
B) \(\frac{5}{30}\)
C) \(\frac{6}{30}\)
D) \(\frac{11}{30}\)
El total de combinaciones posibles es:
\[ 6\cdot 5=30 \]
Se pide una plantilla específica, pero la tipografía puede ser cualquiera de las \(5\) opciones.
Por lo tanto, hay \(5\) casos favorables.
Entonces:
\[ P=\frac{5}{30}=\frac{1}{6} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
Se elige al azar un número entero desde \(50\) hasta \(80\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de elegir un número que termine en \(2\) o en \(7\)?
A) \(\frac{5}{31}\)
B) \(\frac{6}{31}\)
C) \(\frac{7}{31}\)
D) \(\frac{8}{31}\)
Primero contamos los números enteros desde \(50\) hasta \(80\):
\[ 80-50+1=31 \]
Hay \(31\) casos posibles.
Los números que terminan en \(2\) o en \(7\) son:
\[ 52,\;57,\;62,\;67,\;72,\;77 \]
Hay \(6\) casos favorables.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{6}{31} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En una caja hay \(7\) conectores USB-C, \(4\) conectores HDMI, \(6\) adaptadores de audio y \(3\) cables de red. Se extrae un objeto al azar. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un conector, considerando como conectores solo los USB-C y HDMI?
A) \(\frac{7}{20}\)
B) \(\frac{11}{20}\)
C) \(\frac{13}{20}\)
D) \(\frac{17}{20}\)
El total de objetos es:
\[ 7+4+6+3=20 \]
Los conectores considerados son USB-C y HDMI:
\[ 7+4=11 \]
Entonces hay \(11\) casos favorables y \(20\) casos posibles.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{11}{20} \]
La alternativa correcta es B.