Probabilidad básica
4. Complemento de un evento
Objetivo de aprendizaje
- Comprender el complemento de un evento y usarlo estratégicamente para calcular probabilidades de manera directa o indirecta.
¿Qué es el complemento de un evento?
Si \(A\) es un evento dentro de un espacio muestral \(S\), el complemento de \(A\) es el evento formado por todos los resultados de \(S\) que no pertenecen a \(A\).
Se representa como \(A^c\) y se lee “complemento de \(A\)” o “no ocurre \(A\)”.
Definición
Si \(A\subseteq S\), entonces:
\[ A^c=\{x\in S: x\notin A\} \]
En palabras: \(A^c\) contiene todos los resultados del espacio muestral que quedan fuera del evento \(A\).
Probabilidad del complemento
Como un evento y su complemento cubren todo el espacio muestral sin repetirse, se cumple:
\[ P(A)+P(A^c)=1 \]
Por lo tanto:
\[ P(A^c)=1-P(A) \]
Atención
El complemento siempre depende del espacio muestral. No basta con decir “lo contrario” de manera informal: hay que mirar cuáles resultados posibles quedan fuera de \(A\).
Ejemplo 1: seleccionar una etiqueta
Una impresora genera etiquetas numeradas del \(1\) al \(15\). Se selecciona una etiqueta al azar.
Sea \(A\) el evento “obtener un número menor que \(6\)”.
El espacio muestral es:
\[ S=\{1,2,3,\ldots,15\} \]
El evento \(A\) es:
\[ A=\{1,2,3,4,5\} \]
Entonces, el complemento de \(A\) está formado por los números que no son menores que \(6\):
\[ A^c=\{6,7,8,9,10,11,12,13,14,15\} \]
En este caso:
\[ P(A)=\frac{5}{15}=\frac{1}{3} \]
Por lo tanto:
\[ P(A^c)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} \]
Ejemplo 2: usar el complemento para evitar contar muchos casos
En una bandeja hay \(32\) sensores. De ellos, \(5\) presentan falla. Se escoge un sensor al azar.
¿Cuál es la probabilidad de escoger un sensor que no presente falla?
Sea \(F\) el evento “el sensor presenta falla”. Entonces:
\[ P(F)=\frac{5}{32} \]
El evento “el sensor no presenta falla” es \(F^c\).
Usamos el complemento:
\[ P(F^c)=1-P(F) \]
\[ P(F^c)=1-\frac{5}{32}=\frac{27}{32} \]
La probabilidad de escoger un sensor sin falla es \(\frac{27}{32}\).
Ejemplo 3: evento “al menos uno”
En una revisión de \(20\) formularios, se sabe que \(3\) tienen al menos un dato incompleto. Se elige un formulario al azar.
Sea \(A\) el evento “el formulario tiene al menos un dato incompleto”.
Entonces:
\[ P(A)=\frac{3}{20} \]
El complemento de “tener al menos un dato incompleto” es “no tener ningún dato incompleto”.
Por lo tanto:
\[ P(A^c)=1-\frac{3}{20}=\frac{17}{20} \]
La probabilidad de escoger un formulario completo es \(\frac{17}{20}\).
Ejemplo 4: complemento en un conjunto definido por condiciones
Se elige al azar un número del conjunto:
\[ S=\{14,15,18,20,21,24,25,27,30,32\} \]
Sea \(M\) el evento “obtener un múltiplo de \(3\)”.
Los múltiplos de \(3\) en \(S\) son:
\[ M=\{15,18,21,24,27,30\} \]
Entonces, el complemento es:
\[ M^c=\{14,20,25,32\} \]
Así:
\[ P(M^c)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
También se podía calcular usando:
\[ P(M^c)=1-P(M)=1-\frac{6}{10}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
Uso estratégico del complemento
Conviene usar el complemento cuando el evento pedido es más difícil de contar que su contrario.
Algunas frases que suelen indicar uso del complemento son:
- “no ocurre”,
- “ninguno”,
- “al menos uno”,
- “distinto de”,
- “que no sea”.
Error común
El complemento de “al menos uno” no es “al menos dos”.
El complemento de “al menos uno” es “ninguno”.
Por ejemplo, si \(A\) es “recibir al menos una notificación”, entonces \(A^c\) es “no recibir ninguna notificación”.
Ejercicios
Ejercicio 1
Se elige al azar un número del conjunto:
\[ S=\{31,32,33,34,35,36,37,38,39,40\} \]
Sea \(A\) el evento “obtener un número mayor que \(36\)”. Determina \(A\), \(A^c\), \(P(A)\) y \(P(A^c)\).
Los números mayores que \(36\) en el conjunto son:
\[ A=\{37,38,39,40\} \]
Los números que no son mayores que \(36\) forman el complemento:
\[ A^c=\{31,32,33,34,35,36\} \]
Como \(|S|=10\), tenemos:
\[ P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} \]
y:
\[ P(A^c)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} \]
También se verifica que:
\[ P(A)+P(A^c)=\frac{2}{5}+\frac{3}{5}=1 \]
Ejercicio 2
Una bolsa contiene \(11\) fichas blancas, \(8\) fichas negras y \(6\) fichas grises. Se extrae una ficha al azar. Calcula la probabilidad de que la ficha no sea negra.
El total de fichas es:
\[ 11+8+6=25 \]
Sea \(N\) el evento “extraer una ficha negra”. Entonces:
\[ P(N)=\frac{8}{25} \]
El evento “extraer una ficha que no sea negra” es \(N^c\).
Usamos el complemento:
\[ P(N^c)=1-P(N) \]
\[ P(N^c)=1-\frac{8}{25}=\frac{17}{25} \]
La probabilidad de que la ficha no sea negra es \(\frac{17}{25}\).
Ejercicio 3
En una plataforma educativa hay \(48\) actividades publicadas. De ellas, \(9\) están marcadas como pendientes de revisión. Se selecciona una actividad al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no esté pendiente de revisión?
Sea \(R\) el evento “la actividad está pendiente de revisión”.
Hay \(9\) actividades pendientes de revisión de un total de \(48\), entonces:
\[ P(R)=\frac{9}{48}=\frac{3}{16} \]
El evento “no estar pendiente de revisión” es \(R^c\).
Por lo tanto:
\[ P(R^c)=1-P(R) \]
\[ P(R^c)=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16} \]
La probabilidad de que la actividad no esté pendiente de revisión es \(\frac{13}{16}\).
Ejercicio 4
Se elige al azar una clave de dos caracteres. El primer carácter puede ser \(L\), \(M\), \(N\) o \(P\), y el segundo puede ser \(4\), \(5\) o \(6\). Todas las claves son igualmente probables. Calcula la probabilidad de que la clave no comience con \(M\).
Hay \(4\) opciones para el primer carácter y \(3\) opciones para el segundo, entonces:
\[ |S|=4\cdot 3=12 \]
Sea \(A\) el evento “la clave comienza con \(M\)”.
Si comienza con \(M\), el segundo carácter puede ser \(4\), \(5\) o \(6\), por lo que hay \(3\) casos favorables para \(A\).
\[ P(A)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4} \]
Se pide que la clave no comience con \(M\), es decir, \(A^c\).
\[ P(A^c)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
La probabilidad de que la clave no comience con \(M\) es \(\frac{3}{4}\).
Ejercicio 5
Una revisión técnica clasifica \(60\) dispositivos. Se sabe que \(44\) aprobaron todas las pruebas. Se elige un dispositivo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya fallado al menos una prueba?
Sea \(A\) el evento “aprobar todas las pruebas”.
Entonces:
\[ P(A)=\frac{44}{60}=\frac{11}{15} \]
El evento “fallar al menos una prueba” es el complemento de aprobar todas las pruebas.
Por lo tanto:
\[ P(A^c)=1-P(A) \]
\[ P(A^c)=1-\frac{11}{15}=\frac{4}{15} \]
La probabilidad de que el dispositivo haya fallado al menos una prueba es \(\frac{4}{15}\).
Ejercicio 6
En una base de datos hay \(90\) registros. Al seleccionar uno al azar, la probabilidad de que tenga un error de formato es \(\frac{2}{15}\). ¿Cuál es la probabilidad de que el registro no tenga error de formato? ¿Cuántos registros no tienen ese error?
Sea \(E\) el evento “el registro tiene error de formato”.
Se sabe que:
\[ P(E)=\frac{2}{15} \]
Entonces, la probabilidad de que no tenga error de formato es:
\[ P(E^c)=1-P(E) \]
\[ P(E^c)=1-\frac{2}{15}=\frac{13}{15} \]
Como hay \(90\) registros en total, la cantidad de registros sin ese error es:
\[ 90\cdot \frac{13}{15}=6\cdot 13=78 \]
La probabilidad es \(\frac{13}{15}\) y hay \(78\) registros sin error de formato.
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una caja hay \(18\) tarjetas de contenido, \(7\) tarjetas de portada y \(5\) tarjetas de instrucciones. Se extrae una tarjeta al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la tarjeta extraída no sea de portada?
A) \(\frac{7}{30}\)
B) \(\frac{18}{30}\)
C) \(\frac{23}{30}\)
D) \(\frac{25}{30}\)
El total de tarjetas es:
\[ 18+7+5=30 \]
Sea \(P\) el evento “extraer una tarjeta de portada”. Entonces:
\[ P(P)=\frac{7}{30} \]
Se pide que no sea de portada, es decir, \(P^c\).
\[ P(P^c)=1-\frac{7}{30}=\frac{23}{30} \]
La alternativa correcta es C.
Problema 2
Se elige al azar un número entero desde \(200\) hasta \(230\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número no sea múltiplo de \(5\)?
A) \(\frac{6}{31}\)
B) \(\frac{7}{31}\)
C) \(\frac{24}{31}\)
D) \(\frac{25}{31}\)
Primero contamos los enteros desde \(200\) hasta \(230\):
\[ 230-200+1=31 \]
Hay \(31\) casos posibles.
Los múltiplos de \(5\) en ese intervalo son:
\[ 200,\;205,\;210,\;215,\;220,\;225,\;230 \]
Hay \(7\) múltiplos de \(5\).
Entonces, la cantidad de números que no son múltiplos de \(5\) es:
\[ 31-7=24 \]
La probabilidad pedida es:
\[ \frac{24}{31} \]
La alternativa correcta es C.
Problema 3
En un sistema de turnos, la probabilidad de que una solicitud sea respondida en menos de \(24\) horas es \(\frac{17}{20}\). ¿Cuál es la probabilidad de que una solicitud no sea respondida en menos de \(24\) horas?
A) \(\frac{3}{20}\)
B) \(\frac{17}{20}\)
C) \(\frac{20}{17}\)
D) \(\frac{37}{20}\)
Sea \(A\) el evento “la solicitud es respondida en menos de \(24\) horas”.
Se sabe que:
\[ P(A)=\frac{17}{20} \]
El evento pedido es \(A^c\): “la solicitud no es respondida en menos de \(24\) horas”.
Entonces:
\[ P(A^c)=1-P(A) \]
\[ P(A^c)=1-\frac{17}{20}=\frac{3}{20} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 4
Una contraseña temporal se forma con una letra de \(\{R,S,T,U,V\}\) seguida de un número de \(\{1,2,3,4\}\). Todas las contraseñas son igualmente probables. ¿Cuál es la probabilidad de que la contraseña no termine en \(4\)?
A) \(\frac{1}{4}\)
B) \(\frac{3}{4}\)
C) \(\frac{4}{5}\)
D) \(\frac{19}{20}\)
Hay \(5\) opciones para la letra y \(4\) opciones para el número:
\[ |S|=5\cdot 4=20 \]
Sea \(A\) el evento “la contraseña termina en \(4\)”.
Si termina en \(4\), la letra puede ser cualquiera de las \(5\), por lo que hay \(5\) casos favorables:
\[ P(A)=\frac{5}{20}=\frac{1}{4} \]
Se pide que no termine en \(4\), es decir, \(A^c\):
\[ P(A^c)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En una revisión de \(72\) archivos, \(63\) no presentan inconsistencias. Se selecciona un archivo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que presente al menos una inconsistencia?
A) \(\frac{1}{8}\)
B) \(\frac{7}{8}\)
C) \(\frac{8}{9}\)
D) \(\frac{9}{63}\)
Sea \(A\) el evento “el archivo no presenta inconsistencias”.
Entonces:
\[ P(A)=\frac{63}{72}=\frac{7}{8} \]
El evento “presentar al menos una inconsistencia” es el complemento de no presentar inconsistencias.
Por lo tanto:
\[ P(A^c)=1-\frac{7}{8}=\frac{1}{8} \]
La alternativa correcta es A.