Probabilidad básica
6. Intersección de eventos: el “y”
Objetivo de aprendizaje
- Comprender la intersección de eventos y calcular probabilidades asociadas a resultados que cumplen dos condiciones simultáneamente.
Intersección de eventos
La intersección de dos eventos \(A\) y \(B\) está formada por los resultados que pertenecen a \(A\) y también pertenecen a \(B\).
Se representa como:
\[ A\cap B \]
y se lee “\(A\) intersección \(B\)”.
Definición
Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:
\[ A\cap B=\{x\in S: x\in A \text{ y } x\in B\} \]
La palabra “y” indica que ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo.
Atención
No confundas unión con intersección.
La unión \(A\cup B\) contiene los resultados que cumplen al menos una de las condiciones. En cambio, la intersección \(A\cap B\) contiene solo los resultados que cumplen ambas condiciones simultáneamente.
Ejemplo 1: control de envases
En una revisión se selecciona al azar un envase del conjunto:
\[ S=\{E1,E2,E3,E4,E5,E6,E7,E8,E9,E10,E11,E12\} \]
Se definen los eventos:
- \(A\): el envase tiene tapa dañada.
- \(B\): el envase tiene etiqueta borrosa.
Los eventos son:
\[ A=\{E2,E4,E7,E10,E11\} \]
\[ B=\{E1,E4,E8,E10,E12\} \]
La intersección \(A\cap B\) contiene los envases que tienen tapa dañada y etiqueta borrosa:
\[ A\cap B=\{E4,E10\} \]
Como hay \(2\) casos favorables de un total de \(12\), entonces:
\[ P(A\cap B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} \]
Probabilidad de una intersección
Cuando todos los resultados del espacio muestral son equiprobables:
\[ P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|S|} \]
Es decir, se cuentan los resultados que cumplen ambas condiciones y se divide por el total de resultados posibles.
Ejemplo 2: asistencia a dos instancias
En una capacitación participaron \(96\) personas. De ellas, \(41\) asistieron al módulo de comunicación, \(38\) asistieron al módulo de liderazgo y \(17\) asistieron a ambos módulos.
Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya asistido al módulo de comunicación y al módulo de liderazgo?
Sea:
- \(C\): asistir al módulo de comunicación.
- \(L\): asistir al módulo de liderazgo.
La frase “comunicación y liderazgo” corresponde a la intersección \(C\cap L\).
Como \(17\) personas asistieron a ambos módulos:
\[ P(C\cap L)=\frac{17}{96} \]
Ejemplo 3: intersección vacía
En una exposición se elige al azar una obra. Las obras están clasificadas por técnica única: grabado, acuarela, óleo o collage.
Sea:
- \(A\): la obra es acuarela.
- \(B\): la obra es óleo.
Como cada obra tiene una sola técnica en esta clasificación, una obra no puede ser acuarela y óleo al mismo tiempo.
Por lo tanto:
\[ A\cap B=\varnothing \]
La intersección es vacía y su probabilidad es:
\[ P(A\cap B)=0 \]
Ejemplo 4: calcular la intersección desde la unión
En un proceso de postulación hay \(120\) formularios. \(54\) tienen certificado adjunto, \(49\) tienen carta de respaldo y \(78\) tienen certificado adjunto o carta de respaldo.
¿Cuántos formularios tienen ambos documentos?
Sea:
- \(A\): tener certificado adjunto.
- \(B\): tener carta de respaldo.
Usamos la relación:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
Reemplazamos los datos:
\[ 78=54+49-|A\cap B| \]
\[ 78=103-|A\cap B| \]
\[ |A\cap B|=103-78=25 \]
Por lo tanto, \(25\) formularios tienen ambos documentos.
Estrategia para resolver problemas de intersección
- Identifica los eventos \(A\) y \(B\).
- Traduce la palabra “y” como cumplimiento simultáneo de ambas condiciones.
- Cuenta solo los resultados que pertenecen a ambos eventos.
- Si se entrega la unión, usa la relación \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).
- Calcula la probabilidad dividiendo los casos de la intersección por el total de casos posibles.
Error común
Al calcular \(A\cap B\), no se deben sumar los elementos de \(A\) y de \(B\). Eso corresponde a una unión si se corrige el doble conteo.
Para la intersección, se cuentan solamente los resultados comunes a ambos eventos.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una revisión de equipos se tiene:
\[ S=\{Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8,Q9,Q10,Q11,Q12,Q13,Q14\} \]
Sea \(A=\{Q2,Q5,Q6,Q9,Q13\}\) el evento “requiere mantención” y \(B=\{Q1,Q5,Q7,Q9,Q10,Q13\}\) el evento “requiere calibración”.
Determina \(A\cap B\) y calcula \(P(A\cap B)\).
La intersección contiene los equipos que están en \(A\) y también en \(B\).
Los elementos comunes son:
\[ Q5,\;Q9,\;Q13 \]
Entonces:
\[ A\cap B=\{Q5,Q9,Q13\} \]
Como \(|A\cap B|=3\) y \(|S|=14\), se tiene:
\[ P(A\cap B)=\frac{3}{14} \]
Ejercicio 2
En una competencia de debate participaron \(68\) estudiantes. \(26\) defendieron postura afirmativa, \(31\) usaron evidencia estadística y \(14\) defendieron postura afirmativa usando evidencia estadística.
Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya defendido postura afirmativa y usado evidencia estadística?
Sea:
- \(A\): defender postura afirmativa.
- \(E\): usar evidencia estadística.
La frase “postura afirmativa y evidencia estadística” corresponde a \(A\cap E\).
El enunciado indica que \(14\) estudiantes cumplen ambas condiciones.
Como el total es \(68\), entonces:
\[ P(A\cap E)=\frac{14}{68}=\frac{7}{34} \]
La probabilidad es \(\frac{7}{34}\).
Ejercicio 3
La siguiente tabla muestra la clasificación de \(80\) solicitudes según si llegaron completas o incompletas y si fueron enviadas dentro o fuera de plazo.
| Dentro de plazo | Fuera de plazo | Total | |
|---|---|---|---|
| Completas | 34 | 11 | 45 |
| Incompletas | 18 | 17 | 35 |
| Total | 52 | 28 | 80 |
Si se selecciona una solicitud al azar, calcula la probabilidad de que esté completa y haya sido enviada dentro de plazo.
La condición pide que la solicitud cumpla dos condiciones simultáneamente:
- estar completa;
- haber sido enviada dentro de plazo.
En la tabla, esa intersección corresponde a la celda “Completas” y “Dentro de plazo”, que tiene \(34\) solicitudes.
Como el total es \(80\), la probabilidad es:
\[ P=\frac{34}{80}=\frac{17}{40} \]
Ejercicio 4
En una colección de \(58\) piezas gráficas, \(22\) usan tipografía serif, \(27\) usan una paleta monocromática y \(13\) usan ambas características.
Una persona afirma que la probabilidad de escoger una pieza que use tipografía serif y paleta monocromática es \(\frac{22+27}{58}\). ¿Es correcta la afirmación? Justifica.
La afirmación no es correcta.
La palabra “y” indica intersección, no unión. Por lo tanto, se deben contar solo las piezas que cumplen ambas condiciones.
El enunciado indica que \(13\) piezas usan tipografía serif y paleta monocromática.
Entonces:
\[ P=\frac{13}{58} \]
El cálculo \(\frac{22+27}{58}\) mezcla todos los casos de ambos eventos y no representa la intersección.
Ejercicio 5
En un registro de \(75\) becas, \(32\) postulantes cumplen el requisito académico, \(41\) cumplen el requisito socioeconómico y \(55\) cumplen al menos uno de esos dos requisitos.
¿Cuántos postulantes cumplen ambos requisitos? ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un postulante que cumpla ambos requisitos?
Sea:
- \(A\): cumplir el requisito académico.
- \(B\): cumplir el requisito socioeconómico.
El dato “cumplen al menos uno” corresponde a la unión:
\[ |A\cup B|=55 \]
Usamos:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
Reemplazamos:
\[ 55=32+41-|A\cap B| \]
\[ 55=73-|A\cap B| \]
\[ |A\cap B|=18 \]
Por lo tanto, \(18\) postulantes cumplen ambos requisitos.
La probabilidad es:
\[ P(A\cap B)=\frac{18}{75}=\frac{6}{25} \]
Ejercicio 6
En una lista de \(64\) proyectos, \(29\) tienen presupuesto aprobado, \(24\) tienen equipo asignado y \(19\) no tienen presupuesto aprobado ni equipo asignado.
Calcula cuántos proyectos tienen presupuesto aprobado y equipo asignado.
Sea:
- \(A\): tener presupuesto aprobado.
- \(B\): tener equipo asignado.
Si \(19\) proyectos no tienen ninguna de las dos condiciones, entonces los que tienen al menos una son:
\[ |A\cup B|=64-19=45 \]
Usamos la fórmula:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
Reemplazamos:
\[ 45=29+24-|A\cap B| \]
\[ 45=53-|A\cap B| \]
\[ |A\cap B|=8 \]
Por lo tanto, \(8\) proyectos tienen presupuesto aprobado y equipo asignado.
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una revisión de \(84\) informes, \(33\) incluyen gráficos, \(28\) incluyen conclusiones cuantitativas y \(15\) incluyen ambas características. Si se elige un informe al azar, ¿cuál es la probabilidad de que incluya gráficos y conclusiones cuantitativas?
A) \(\frac{15}{84}\)
B) \(\frac{46}{84}\)
C) \(\frac{61}{84}\)
D) \(\frac{33}{84}\)
La palabra “y” indica intersección.
El enunciado dice que \(15\) informes incluyen ambas características.
Por lo tanto:
\[ P=\frac{15}{84} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 2
Se elige al azar un producto del siguiente espacio muestral:
\[ S=\{(P,1),(P,2),(P,3),(Q,1),(Q,2),(Q,3),(R,1),(R,2),(R,3)\} \]
Sea \(A\) el evento “la letra es \(Q\)” y \(B\) el evento “el número es mayor que \(1\)”. ¿Cuál es \(A\cap B\)?
A) \(\{(Q,1),(Q,2),(Q,3)\}\)
B) \(\{(P,2),(P,3),(Q,2),(Q,3),(R,2),(R,3)\}\)
C) \(\{(Q,2),(Q,3)\}\)
D) \(\{(Q,1)\}\)
El evento \(A\) contiene los resultados cuya letra es \(Q\):
\[ A=\{(Q,1),(Q,2),(Q,3)\} \]
El evento \(B\) contiene los resultados cuyo número es mayor que \(1\):
\[ B=\{(P,2),(P,3),(Q,2),(Q,3),(R,2),(R,3)\} \]
La intersección contiene los resultados que cumplen ambas condiciones:
\[ A\cap B=\{(Q,2),(Q,3)\} \]
La alternativa correcta es C.
Problema 3
En una encuesta a \(110\) personas, \(46\) usan bicicleta al menos una vez por semana, \(39\) usan transporte público al menos una vez por semana y \(62\) usan bicicleta o transporte público al menos una vez por semana. ¿Cuántas personas usan ambos medios al menos una vez por semana?
A) \(15\)
B) \(23\)
C) \(31\)
D) \(85\)
Sea:
- \(A\): usar bicicleta al menos una vez por semana.
- \(B\): usar transporte público al menos una vez por semana.
Se entrega:
\[ |A|=46,\qquad |B|=39,\qquad |A\cup B|=62 \]
Usamos:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
\[ 62=46+39-|A\cap B| \]
\[ 62=85-|A\cap B| \]
\[ |A\cap B|=23 \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
En un registro de \(100\) cursos inscritos, \(44\) tienen cupos completos, \(36\) tienen lista de espera y \(57\) tienen cupos completos o lista de espera. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un curso que tenga cupos completos y lista de espera?
A) \(\frac{21}{100}\)
B) \(\frac{23}{100}\)
C) \(\frac{57}{100}\)
D) \(\frac{80}{100}\)
Sea:
- \(A\): tener cupos completos.
- \(B\): tener lista de espera.
Se sabe que:
\[ |A|=44,\qquad |B|=36,\qquad |A\cup B|=57 \]
Usamos:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
\[ 57=44+36-|A\cap B| \]
\[ 57=80-|A\cap B| \]
\[ |A\cap B|=23 \]
Como hay \(100\) cursos en total:
\[ P(A\cap B)=\frac{23}{100} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 5
En una revisión de \(88\) carpetas, \(11\) tienen firma del apoderado y comprobante adjunto. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una carpeta que no tenga ambas condiciones simultáneamente?
A) \(\frac{11}{88}\)
B) \(\frac{22}{88}\)
C) \(\frac{77}{88}\)
D) \(\frac{88}{77}\)
Sea \(A\cap B\) el evento “tener firma del apoderado y comprobante adjunto”.
Se sabe que:
\[ P(A\cap B)=\frac{11}{88} \]
Se pide la probabilidad de no tener ambas condiciones simultáneamente, es decir, el complemento de \(A\cap B\).
Entonces:
\[ 1-\frac{11}{88}=\frac{77}{88} \]
La alternativa correcta es C.