Probabilidad básica
7. Problemas de unión e intersección
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas de probabilidad que involucran unión e intersección de eventos, usando tablas, diagramas y relaciones entre cantidades.
Unión e intersección en problemas
En muchos problemas aparecen dos eventos relacionados. Para resolverlos correctamente, es necesario distinguir entre:
- \(A\cup B\): ocurre \(A\), ocurre \(B\), o ocurren ambos.
- \(A\cap B\): ocurren \(A\) y \(B\) simultáneamente.
La dificultad principal está en no contar dos veces los casos que pertenecen a ambos eventos.
Relaciones útiles
Si \(A\) y \(B\) son eventos de un mismo espacio muestral \(S\), entonces:
\[ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B| \]
De esta relación también se obtiene:
\[ |A\cap B|=|A|+|B|-|A\cup B| \]
Además:
\[ \text{solo }A=|A|-|A\cap B| \]
\[ \text{solo }B=|B|-|A\cap B| \]
\[ \text{ninguno}=|S|-|A\cup B| \]
Cómo interpretar frases frecuentes
| Frase del problema | Interpretación |
|---|---|
| “\(A\) o \(B\)” | \(A\cup B\) |
| “\(A\) y \(B\)” | \(A\cap B\) |
| “Al menos uno de los dos” | \(A\cup B\) |
| “Ninguno de los dos” | \((A\cup B)^c\) |
| “Solo \(A\)” | \(A\setminus B\) |
| “Solo \(B\)” | \(B\setminus A\) |
Ejemplo 1: organización en un diagrama
En una muestra de \(60\) estudiantes, \(28\) leen noticias científicas, \(24\) escuchan pódcast de divulgación y \(10\) hacen ambas actividades.
Si se elige un estudiante al azar, calculemos la probabilidad de que realice al menos una de esas dos actividades.
Sea:
- \(A\): leer noticias científicas.
- \(B\): escuchar pódcast de divulgación.
La intersección ya está dada:
\[ |A\cap B|=10 \]
Entonces:
\[ |A\cup B|=28+24-10=42 \]
Por lo tanto:
\[ P(A\cup B)=\frac{42}{60}=\frac{7}{10} \]
La probabilidad de que realice al menos una de las dos actividades es \(\frac{7}{10}\).
Ejemplo 2: encontrar la intersección desde la unión
En un centro cultural hay \(85\) inscripciones. \(37\) personas se inscribieron en cerámica, \(29\) en grabado y \(51\) en cerámica o grabado.
¿Cuántas personas se inscribieron en ambas actividades?
Sea:
- \(C\): inscripción en cerámica.
- \(G\): inscripción en grabado.
Se sabe que:
\[ |C|=37,\qquad |G|=29,\qquad |C\cup G|=51 \]
Usamos:
\[ |C\cap G|=|C|+|G|-|C\cup G| \]
\[ |C\cap G|=37+29-51=15 \]
Por lo tanto, \(15\) personas se inscribieron en ambas actividades.
Ejemplo 3: usar una tabla de doble entrada
La siguiente tabla clasifica \(100\) piezas arqueológicas según si fueron catalogadas digitalmente y si requieren restauración.
| Requiere restauración | No requiere restauración | Total | |
|---|---|---|---|
| Catalogada digitalmente | 18 | 42 | 60 |
| No catalogada digitalmente | 12 | 28 | 40 |
| Total | 30 | 70 | 100 |
Si se elige una pieza al azar, calculemos la probabilidad de que esté catalogada digitalmente o requiera restauración.
Sea:
- \(A\): estar catalogada digitalmente.
- \(B\): requerir restauración.
De la tabla:
\[ |A|=60,\qquad |B|=30,\qquad |A\cap B|=18 \]
Entonces:
\[ |A\cup B|=60+30-18=72 \]
Por lo tanto:
\[ P(A\cup B)=\frac{72}{100}=\frac{18}{25} \]
Ejemplo 4: “ninguno” como complemento de la unión
En una revisión de \(140\) archivos históricos, \(58\) tienen registro fotográfico, \(46\) tienen transcripción completa y \(22\) tienen ambos elementos.
¿Cuál es la probabilidad de seleccionar un archivo que no tenga registro fotográfico ni transcripción completa?
Sea:
- \(F\): tener registro fotográfico.
- \(T\): tener transcripción completa.
Primero calculamos la unión:
\[ |F\cup T|=58+46-22=82 \]
Los archivos que no tienen ninguno de los dos elementos son:
\[ 140-82=58 \]
Por lo tanto:
\[ P((F\cup T)^c)=\frac{58}{140}=\frac{29}{70} \]
Error común
Cuando un problema pregunta por “ninguno de los dos”, no se calcula \(A\cap B\).
“Ninguno de los dos” significa estar fuera de \(A\cup B\), es decir, corresponde al complemento de la unión.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una observación de \(75\) aves, \(32\) fueron vistas cerca del río, \(27\) fueron vistas en árboles altos y \(11\) fueron vistas en ambas zonas. Si se elige una observación al azar, calcula:
- la cantidad de aves vistas cerca del río o en árboles altos;
- la probabilidad de que haya sido vista cerca del río o en árboles altos;
- la cantidad de aves que no fueron vistas en ninguna de esas dos zonas.
Sea:
- \(R\): vista cerca del río.
- \(A\): vista en árboles altos.
La unión se calcula como:
\[ |R\cup A|=|R|+|A|-|R\cap A| \]
\[ |R\cup A|=32+27-11=48 \]
Entonces, \(48\) aves fueron vistas cerca del río o en árboles altos.
La probabilidad pedida es:
\[ P(R\cup A)=\frac{48}{75}=\frac{16}{25} \]
Las aves que no fueron vistas en ninguna de esas dos zonas son:
\[ 75-48=27 \]
Ejercicio 2
En un registro de \(92\) recetas saludables, \(39\) incluyen legumbres, \(34\) incluyen frutos secos y \(57\) incluyen legumbres o frutos secos. ¿Cuántas recetas incluyen ambos ingredientes? ¿Cuál es la probabilidad de elegir una receta que incluya ambos?
Sea:
- \(L\): incluir legumbres.
- \(F\): incluir frutos secos.
Se sabe que:
\[ |L|=39,\qquad |F|=34,\qquad |L\cup F|=57 \]
Usamos:
\[ |L\cap F|=|L|+|F|-|L\cup F| \]
\[ |L\cap F|=39+34-57=16 \]
Entonces, \(16\) recetas incluyen ambos ingredientes.
La probabilidad de elegir una receta con ambos ingredientes es:
\[ P(L\cap F)=\frac{16}{92}=\frac{4}{23} \]
Ejercicio 3
La siguiente tabla clasifica \(120\) envíos según si llegaron con seguimiento activo y si llegaron antes de la fecha estimada.
| Antes de la fecha estimada | No antes de la fecha estimada | Total | |
|---|---|---|---|
| Con seguimiento activo | 44 | 26 | 70 |
| Sin seguimiento activo | 18 | 32 | 50 |
| Total | 62 | 58 | 120 |
Si se selecciona un envío al azar, calcula la probabilidad de que tenga seguimiento activo o haya llegado antes de la fecha estimada.
Sea:
- \(S\): tener seguimiento activo.
- \(A\): llegar antes de la fecha estimada.
De la tabla:
\[ |S|=70,\qquad |A|=62,\qquad |S\cap A|=44 \]
Entonces:
\[ |S\cup A|=70+62-44=88 \]
La probabilidad es:
\[ P(S\cup A)=\frac{88}{120}=\frac{11}{15} \]
Ejercicio 4
En una colección de \(110\) fotografías antiguas, \(47\) están restauradas, \(36\) están fechadas correctamente y \(15\) están restauradas y fechadas correctamente. Calcula:
- la cantidad de fotografías que están restauradas o fechadas correctamente;
- la cantidad de fotografías que solo están restauradas;
- la cantidad de fotografías que solo están fechadas correctamente;
- la probabilidad de elegir una fotografía que no cumpla ninguna de esas condiciones.
Sea:
- \(R\): estar restaurada.
- \(F\): estar fechada correctamente.
La cantidad que está restaurada o fechada correctamente es:
\[ |R\cup F|=47+36-15=68 \]
Las fotografías que solo están restauradas son:
\[ |R|-|R\cap F|=47-15=32 \]
Las fotografías que solo están fechadas correctamente son:
\[ |F|-|R\cap F|=36-15=21 \]
Las fotografías que no cumplen ninguna de las dos condiciones son:
\[ 110-68=42 \]
Por lo tanto, la probabilidad de elegir una fotografía que no cumpla ninguna de esas condiciones es:
\[ \frac{42}{110}=\frac{21}{55} \]
Ejercicio 5
En un banco de \(150\) preguntas, \(64\) requieren interpretar un gráfico, \(53\) requieren realizar un cálculo algebraico y \(41\) no requieren ninguna de esas dos habilidades. ¿Cuántas preguntas requieren ambas habilidades?
Sea:
- \(G\): requerir interpretar un gráfico.
- \(A\): requerir cálculo algebraico.
Si \(41\) preguntas no requieren ninguna de las dos habilidades, entonces las que requieren al menos una son:
\[ |G\cup A|=150-41=109 \]
Usamos:
\[ |G\cup A|=|G|+|A|-|G\cap A| \]
Reemplazamos:
\[ 109=64+53-|G\cap A| \]
\[ 109=117-|G\cap A| \]
\[ |G\cap A|=8 \]
Por lo tanto, \(8\) preguntas requieren ambas habilidades.
Ejercicio 6
En una muestra de \(96\) semillas, \(40\) germinaron antes de una semana, \(35\) alcanzaron más de \(12\) cm al finalizar el experimento y \(18\) cumplieron ambas condiciones.
Una persona afirma que \(40+35=75\) semillas germinaron antes de una semana o alcanzaron más de \(12\) cm. ¿Es correcta su afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.
La afirmación no es correcta, porque las \(18\) semillas que cumplieron ambas condiciones fueron contadas dos veces al sumar \(40+35\).
La cantidad correcta de semillas que germinaron antes de una semana o alcanzaron más de \(12\) cm es:
\[ 40+35-18=57 \]
Por lo tanto, la probabilidad correcta es:
\[ \frac{57}{96}=\frac{19}{32} \]
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una muestra de \(180\) viviendas, \(82\) tienen paneles solares, \(76\) tienen sistema de recolección de agua lluvia y \(48\) tienen ambos sistemas. Si se elige una vivienda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga paneles solares o sistema de recolección de agua lluvia?
A) \(\frac{110}{180}\)
B) \(\frac{158}{180}\)
C) \(\frac{206}{180}\)
D) \(\frac{48}{180}\)
Sea:
- \(S\): tener paneles solares.
- \(R\): tener sistema de recolección de agua lluvia.
Se pide la unión:
\[ |S\cup R|=82+76-48=110 \]
Entonces:
\[ P(S\cup R)=\frac{110}{180} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 2
En una muestra de \(135\) pacientes, \(58\) recibieron atención kinésica, \(49\) recibieron orientación nutricional y \(78\) recibieron al menos una de esas dos atenciones. ¿Cuántos pacientes recibieron ambas atenciones?
A) \(21\)
B) \(29\)
C) \(51\)
D) \(107\)
Sea:
- \(K\): recibir atención kinésica.
- \(N\): recibir orientación nutricional.
Se sabe que:
\[ |K|=58,\qquad |N|=49,\qquad |K\cup N|=78 \]
Calculamos la intersección:
\[ |K\cap N|=58+49-78=29 \]
La alternativa correcta es B.
Problema 3
La siguiente tabla resume \(200\) postulaciones a un fondo de investigación.
| Con carta institucional | Sin carta institucional | Total | |
|---|---|---|---|
| Con presupuesto detallado | 74 | 36 | 110 |
| Sin presupuesto detallado | 28 | 62 | 90 |
| Total | 102 | 98 | 200 |
Si se elige una postulación al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga presupuesto detallado o carta institucional?
A) \(\frac{74}{200}\)
B) \(\frac{138}{200}\)
C) \(\frac{172}{200}\)
D) \(\frac{212}{200}\)
Sea:
- \(P\): tener presupuesto detallado.
- \(C\): tener carta institucional.
De la tabla:
\[ |P|=110,\qquad |C|=102,\qquad |P\cap C|=74 \]
Entonces:
\[ |P\cup C|=110+102-74=138 \]
La probabilidad es:
\[ P(P\cup C)=\frac{138}{200} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
En un registro de \(240\) vehículos eléctricos, \(96\) tienen carga rápida, \(118\) tienen autonomía mayor a \(400\) km y \(72\) tienen ambas características. ¿Cuántos vehículos no tienen carga rápida ni autonomía mayor a \(400\) km?
A) \(26\)
B) \(72\)
C) \(98\)
D) \(194\)
Primero calculamos cuántos vehículos tienen al menos una de las dos características:
\[ 96+118-72=142 \]
Los que no tienen ninguna de las dos características son:
\[ 240-142=98 \]
La alternativa correcta es C.
Problema 5
En una muestra de \(160\) parcelas, \(67\) tienen riego tecnificado, \(54\) tienen sensores de humedad y \(18\) tienen ambas tecnologías. Si se selecciona una parcela al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga solo riego tecnificado?
A) \(\frac{18}{160}\)
B) \(\frac{49}{160}\)
C) \(\frac{67}{160}\)
D) \(\frac{103}{160}\)
“Solo riego tecnificado” significa tener riego tecnificado, pero no sensores de humedad.
Por lo tanto, se resta la intersección:
\[ 67-18=49 \]
La probabilidad pedida es:
\[ \frac{49}{160} \]
La alternativa correcta es B.