Probabilidad básica
9. Probabilidad condicional en problemas contextualizados
Objetivo de aprendizaje
- Resolver problemas contextualizados de probabilidad condicional, identificando correctamente la condición, el nuevo universo de referencia y los casos favorables dentro de ese universo.
Recordatorio: cambiar el universo de referencia
Cuando se calcula una probabilidad condicional, no se trabaja con todo el espacio muestral original, sino con el grupo que cumple la condición dada.
Por ejemplo, si se pregunta “¿cuál es la probabilidad de que un pedido haya llegado atrasado, sabiendo que fue enviado por despacho express?”, entonces solo se consideran los pedidos enviados por despacho express.
Fórmula de probabilidad condicional
Si \(P(B)>0\), entonces:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Si se trabaja con cantidades de casos:
\[ P(A\mid B)=\frac{|A\cap B|}{|B|} \]
El denominador corresponde siempre al evento que aparece después de la barra vertical.
Atención
No es lo mismo \(P(A\mid B)\) que \(P(B\mid A)\). En ambos casos aparece la misma intersección \(A\cap B\), pero cambia el denominador.
Por eso, antes de calcular, identifica cuidadosamente qué información se sabe de antemano.
Ejemplo 1: pedidos express y atraso
Una empresa registró \(150\) pedidos según el tipo de despacho y si llegaron dentro del plazo.
| Llegó dentro del plazo | Llegó atrasado | Total | |
|---|---|---|---|
| Despacho express | 48 | 12 | 60 |
| Despacho estándar | 63 | 27 | 90 |
| Total | 111 | 39 | 150 |
Calculemos la probabilidad de que un pedido haya llegado atrasado, sabiendo que fue enviado por despacho express.
La condición es “despacho express”, por lo que el universo de referencia tiene \(60\) pedidos.
Dentro de esos \(60\), llegaron atrasados \(12\).
\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express})=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]
La probabilidad es \(\frac{1}{5}\), equivalente a \(20\%\).
Ejemplo 2: comparar dos condicionales
Con la misma tabla anterior, comparemos:
\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express}) \]
y
\[ P(\text{express}\mid \text{atrasado}) \]
Ya calculamos:
\[ P(\text{atrasado}\mid \text{express})=\frac{12}{60}=\frac{1}{5} \]
Ahora la condición es “atrasado”. Hay \(39\) pedidos atrasados en total, y de ellos \(12\) fueron express.
\[ P(\text{express}\mid \text{atrasado})=\frac{12}{39}=\frac{4}{13} \]
Los resultados son distintos porque el universo de referencia cambia.
Ejemplo 3: calcular desde datos de unión e intersección
En una revisión de \(200\) bicicletas públicas, \(82\) tenían luces operativas, \(74\) tenían frenos ajustados y \(51\) tenían ambas condiciones.
Si se sabe que una bicicleta tiene frenos ajustados, ¿cuál es la probabilidad de que también tenga luces operativas?
Sea:
- \(L\): tener luces operativas.
- \(F\): tener frenos ajustados.
Se pide:
\[ P(L\mid F) \]
La condición es \(F\), por lo tanto el denominador es \(|F|=74\).
La intersección es \(|L\cap F|=51\).
\[ P(L\mid F)=\frac{51}{74} \]
La probabilidad de que tenga luces operativas, sabiendo que tiene frenos ajustados, es \(\frac{51}{74}\).
Ejemplo 4: probabilidad condicional con porcentajes
En una comunidad de usuarios de una aplicación, el \(40\%\) usa autenticación de dos pasos. Además, el \(28\%\) usa autenticación de dos pasos y también tiene activadas las notificaciones de seguridad.
Si se sabe que un usuario usa autenticación de dos pasos, ¿cuál es la probabilidad de que tenga activadas las notificaciones de seguridad?
Sea:
- \(A\): usar autenticación de dos pasos.
- \(N\): tener activadas las notificaciones de seguridad.
Se pide \(P(N\mid A)\).
Usamos:
\[ P(N\mid A)=\frac{P(N\cap A)}{P(A)} \]
Reemplazamos:
\[ P(N\mid A)=\frac{0{,}28}{0{,}40}=0{,}70 \]
La probabilidad es \(0{,}70\), es decir, \(70\%\).
Ejemplo 5: extracción sin reposición
Una caja contiene \(5\) piezas rojas y \(4\) piezas negras. Se extraen dos piezas sin reposición.
Si se sabe que la primera pieza extraída fue roja, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda también sea roja?
Al inicio hay \(5\) piezas rojas y \(4\) negras, es decir, \(9\) piezas en total.
Pero ya se sabe que la primera fue roja. Entonces, para la segunda extracción quedan:
- \(4\) piezas rojas;
- \(4\) piezas negras;
- \(8\) piezas en total.
Por lo tanto:
\[ P(\text{segunda roja}\mid \text{primera roja})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} \]
Estrategia para problemas contextualizados
- Subraya la frase “sabiendo que”, “dado que” o “si se sabe que”.
- Identifica el evento que queda como condición.
- Usa ese evento como denominador.
- Cuenta, dentro de ese grupo, cuántos casos cumplen lo pedido.
- Escribe la fracción y simplifica si corresponde.
Error común
En problemas con tablas, no siempre se divide por el total general. Si la pregunta dice “sabiendo que pertenece a cierto grupo”, el denominador debe ser el total de ese grupo.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una cafetería registró \(180\) ventas según el tipo de bebida y si se pidió con endulzante.
| Con endulzante | Sin endulzante | Total | |
|---|---|---|---|
| Café | 46 | 54 | 100 |
| Té | 32 | 48 | 80 |
| Total | 78 | 102 | 180 |
Si se elige una venta al azar, calcula la probabilidad de que haya sido café, sabiendo que fue una bebida con endulzante.
La condición es “con endulzante”. Por lo tanto, se consideran solo las \(78\) ventas con endulzante.
Dentro de esas \(78\), \(46\) fueron café.
Entonces:
\[ P(\text{café}\mid \text{con endulzante})=\frac{46}{78}=\frac{23}{39} \]
La probabilidad es \(\frac{23}{39}\).
Ejercicio 2
En un registro de \(140\) bicicletas arrendadas, \(62\) fueron eléctricas, \(58\) se usaron por más de una hora y \(35\) fueron eléctricas y se usaron por más de una hora.
Calcula la probabilidad de que una bicicleta haya sido usada por más de una hora, sabiendo que era eléctrica.
Sea:
- \(E\): la bicicleta era eléctrica.
- \(H\): la bicicleta se usó por más de una hora.
Se pide:
\[ P(H\mid E) \]
La condición es \(E\), por lo que el denominador es \(|E|=62\).
La cantidad de bicicletas eléctricas usadas por más de una hora es:
\[ |H\cap E|=35 \]
Entonces:
\[ P(H\mid E)=\frac{35}{62} \]
Ejercicio 3
Una biblioteca móvil clasificó \(125\) préstamos según si fueron libros impresos o audiolibros, y según si fueron renovados.
| Renovado | No renovado | Total | |
|---|---|---|---|
| Libro impreso | 28 | 52 | 80 |
| Audiolibro | 21 | 24 | 45 |
| Total | 49 | 76 | 125 |
Calcula:
- \(P(\text{renovado}\mid \text{audiolibro})\);
- \(P(\text{audiolibro}\mid \text{renovado})\).
Para \(P(\text{renovado}\mid \text{audiolibro})\), la condición es “audiolibro”. Hay \(45\) audiolibros, de los cuales \(21\) fueron renovados.
\[ P(\text{renovado}\mid \text{audiolibro})=\frac{21}{45}=\frac{7}{15} \]
Para \(P(\text{audiolibro}\mid \text{renovado})\), la condición es “renovado”. Hay \(49\) préstamos renovados, de los cuales \(21\) fueron audiolibros.
\[ P(\text{audiolibro}\mid \text{renovado})=\frac{21}{49}=\frac{3}{7} \]
Los resultados son distintos porque cambia el grupo de referencia.
Ejercicio 4
En una fábrica de baldosas, el \(35\%\) de las piezas pasa por pulido adicional. Además, el \(21\%\) de todas las piezas pasa por pulido adicional y luego es etiquetada como premium.
Si se sabe que una pieza pasó por pulido adicional, ¿cuál es la probabilidad de que sea etiquetada como premium?
Sea:
- \(P\): pasar por pulido adicional.
- \(M\): ser etiquetada como premium.
Se pide:
\[ P(M\mid P) \]
Usamos:
\[ P(M\mid P)=\frac{P(M\cap P)}{P(P)} \]
Reemplazamos:
\[ P(M\mid P)=\frac{0{,}21}{0{,}35}=0{,}6 \]
La probabilidad es \(0{,}6\), es decir, \(60\%\).
Ejercicio 5
Una caja contiene \(7\) tarjetas verdes y \(5\) tarjetas naranjas. Se extraen dos tarjetas sin reposición.
Calcula la probabilidad de que la segunda tarjeta sea naranja, sabiendo que la primera fue verde.
Inicialmente hay \(7+5=12\) tarjetas.
Como se sabe que la primera fue verde, para la segunda extracción quedan:
- \(6\) tarjetas verdes;
- \(5\) tarjetas naranjas;
- \(11\) tarjetas en total.
La probabilidad de que la segunda sea naranja es:
\[ \frac{5}{11} \]
Ejercicio 6
Una persona afirma: “Si el \(24\%\) de los documentos son urgentes y el \(15\%\) son urgentes y confidenciales, entonces la probabilidad de que un documento sea confidencial sabiendo que es urgente es \(15\%\)”.
¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.
La afirmación no es correcta.
Sea:
- \(U\): el documento es urgente.
- \(C\): el documento es confidencial.
Se pide \(P(C\mid U)\), no \(P(C\cap U)\).
Usamos:
\[ P(C\mid U)=\frac{P(C\cap U)}{P(U)} \]
Reemplazamos:
\[ P(C\mid U)=\frac{0{,}15}{0{,}24}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8} \]
La probabilidad correcta es \(\frac{5}{8}\), equivalente a \(62{,}5\%\).
El error fue interpretar la probabilidad conjunta como si fuera condicional.
Problemas tipo PAES
Problema 1
Un centro deportivo registró \(210\) inscripciones según si correspondían a clases grupales o entrenamiento personalizado, y según si fueron pagadas en línea.
| Pago en línea | Pago presencial | Total | |
|---|---|---|---|
| Clase grupal | 72 | 48 | 120 |
| Entrenamiento personalizado | 63 | 27 | 90 |
| Total | 135 | 75 | 210 |
Si se sabe que una inscripción fue pagada en línea, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a entrenamiento personalizado?
A) \(\frac{63}{210}\)
B) \(\frac{63}{135}\)
C) \(\frac{90}{210}\)
D) \(\frac{135}{210}\)
La condición es “pagada en línea”, por lo que el denominador debe ser \(135\).
Dentro de esas \(135\) inscripciones, \(63\) corresponden a entrenamiento personalizado.
Entonces:
\[ P(\text{personalizado}\mid \text{pago en línea})=\frac{63}{135}=\frac{7}{15} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 2
En una colección de \(160\) mapas, \(68\) son topográficos, \(74\) están digitalizados y \(42\) son topográficos y están digitalizados. Si se elige un mapa digitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que sea topográfico?
A) \(\frac{42}{160}\)
B) \(\frac{42}{74}\)
C) \(\frac{68}{160}\)
D) \(\frac{68}{74}\)
Sea:
- \(T\): el mapa es topográfico.
- \(D\): el mapa está digitalizado.
Se pide \(P(T\mid D)\).
La condición es \(D\), por lo tanto el denominador es \(74\).
La intersección \(T\cap D\) tiene \(42\) mapas.
\[ P(T\mid D)=\frac{42}{74}=\frac{21}{37} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 3
En una muestra de productos agrícolas, el \(55\%\) cumple norma de empaque y el \(33\%\) cumple norma de empaque y además tiene certificación orgánica.
Si se sabe que un producto cumple norma de empaque, ¿cuál es la probabilidad de que tenga certificación orgánica?
A) \(0{,}22\)
B) \(0{,}33\)
C) \(0{,}60\)
D) \(0{,}88\)
Sea:
- \(E\): cumple norma de empaque.
- \(O\): tiene certificación orgánica.
Se pide:
\[ P(O\mid E)=\frac{P(O\cap E)}{P(E)} \]
Reemplazamos:
\[ P(O\mid E)=\frac{0{,}33}{0{,}55}=0{,}60 \]
La alternativa correcta es C.
Problema 4
En una urna hay \(9\) fichas azules y \(6\) fichas blancas. Se extraen dos fichas sin reposición. Si se sabe que la primera ficha extraída fue azul, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea blanca?
A) \(\frac{6}{15}\)
B) \(\frac{6}{14}\)
C) \(\frac{9}{14}\)
D) \(\frac{5}{14}\)
Inicialmente hay \(9+6=15\) fichas.
Como se sabe que la primera fue azul, queda una ficha azul menos. Para la segunda extracción quedan:
- \(8\) fichas azules;
- \(6\) fichas blancas;
- \(14\) fichas en total.
La probabilidad de que la segunda sea blanca es:
\[ \frac{6}{14}=\frac{3}{7} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 5
Para dos eventos \(A\) y \(B\), se sabe que \(P(A\mid B)=\frac{5}{9}\) y \(P(B)=\frac{3}{10}\). ¿Cuál es \(P(A\cap B)\)?
A) \(\frac{1}{6}\)
B) \(\frac{5}{19}\)
C) \(\frac{8}{19}\)
D) \(\frac{5}{27}\)
Usamos la fórmula:
\[ P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} \]
Despejamos:
\[ P(A\cap B)=P(A\mid B)\cdot P(B) \]
Reemplazamos:
\[ P(A\cap B)=\frac{5}{9}\cdot\frac{3}{10}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6} \]
La alternativa correcta es A.