Probabilidad básica
13. Árboles de probabilidad
Objetivo de aprendizaje
- Representar experimentos de varias etapas mediante árboles de probabilidad, calculando probabilidades de caminos y eventos compuestos.
Experimentos por etapas
Un árbol de probabilidad permite organizar experimentos aleatorios que ocurren en etapas sucesivas.
Cada rama representa una posibilidad y cada camino completo representa un resultado compuesto.
Regla del producto en un camino
La probabilidad de un camino completo se obtiene multiplicando las probabilidades de sus ramas.
Si un camino pasa por \(A\) y luego por \(B\), entonces:
\[ P(A\text{ y }B)=P(A)\cdot P(B\mid A) \]
Regla de la suma entre caminos
Si un evento puede ocurrir por varios caminos distintos, se suman las probabilidades de esos caminos.
\[ P(E)=P(\text{camino 1})+P(\text{camino 2})+\cdots \]
Atención
Las probabilidades que salen de un mismo punto del árbol deben sumar \(1\).
Primero se multiplican las ramas de cada camino y luego, si corresponde, se suman caminos distintos.
Ejemplo 1: taller elegido y entrega de actividad
En una actividad escolar, una persona puede elegir taller de animación o taller de sonido.
- La probabilidad de elegir animación es \(0{,}4\).
- La probabilidad de elegir sonido es \(0{,}6\).
- Si elige animación, la probabilidad de entregar la actividad es \(0{,}75\).
- Si elige sonido, la probabilidad de entregar la actividad es \(0{,}5\).
La probabilidad de que la persona entregue la actividad se obtiene sumando los caminos que terminan en “Entrega”:
\[ P(\text{entrega})=0{,}4\cdot 0{,}75+0{,}6\cdot 0{,}5=0{,}30+0{,}30=0{,}60 \]
Ejemplo 2: control de empaques
Una fábrica produce empaques en dos líneas. El \(55\%\) proviene de la línea \(L_1\) y el \(45\%\) de la línea \(L_2\).
En la línea \(L_1\), la probabilidad de que un empaque salga con sello correcto es \(0{,}92\). En la línea \(L_2\), esa probabilidad es \(0{,}88\).
La probabilidad de escoger un empaque con sello correcto es:
\[ 0{,}55\cdot 0{,}92+0{,}45\cdot 0{,}88=0{,}506+0{,}396=0{,}902 \]
Ejemplo 3: extracción sin reposición
Una caja contiene \(5\) tarjetas verdes y \(3\) tarjetas moradas. Se extraen dos tarjetas sin reposición.
La probabilidad de extraer dos tarjetas verdes es:
\[ P(\text{verde y verde})=\frac{5}{8}\cdot\frac{4}{7}=\frac{20}{56}=\frac{5}{14} \]
Ejemplo 4: evento que ocurre por dos caminos
Con la misma caja del ejemplo anterior, calculemos la probabilidad de extraer tarjetas de colores distintos.
Este evento puede ocurrir por dos caminos:
- verde y luego morada;
- morada y luego verde.
\[ P(\text{colores distintos})=\frac{5}{8}\cdot\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\cdot\frac{5}{7} \]
\[ P(\text{colores distintos})=\frac{15}{56}+\frac{15}{56}=\frac{30}{56}=\frac{15}{28} \]
Estrategia para resolver con árboles
- Identifica las etapas del experimento.
- Escribe las probabilidades de cada rama.
- Verifica que las ramas que salen de un mismo punto sumen \(1\).
- Multiplica las probabilidades a lo largo de cada camino.
- Suma los caminos que cumplen el evento pedido.
Error común
En extracciones sin reposición, las probabilidades de la segunda etapa cambian según el resultado de la primera.
Ejercicios
Ejercicio 1
En una plataforma de cursos, el \(30\%\) de los usuarios se inscribe en un curso de diseño y el \(70\%\) en un curso de análisis de datos. En diseño, el \(80\%\) finaliza el curso; en análisis de datos, el \(65\%\) lo finaliza.
Calcula la probabilidad de que un usuario elegido al azar finalice su curso.
El evento “finaliza el curso” puede ocurrir por dos caminos:
- diseño y finaliza;
- análisis de datos y finaliza.
\[ P(\text{finaliza})=0{,}30\cdot 0{,}80+0{,}70\cdot 0{,}65 \]
\[ P(\text{finaliza})=0{,}24+0{,}455=0{,}695 \]
La probabilidad es \(0{,}695\), equivalente a \(69{,}5\%\).
Ejercicio 2
Una imprenta usa dos máquinas. La máquina \(A\) produce el \(40\%\) de las láminas y la máquina \(B\) produce el \(60\%\). La probabilidad de que una lámina salga sin manchas es \(0{,}96\) si viene de \(A\) y \(0{,}91\) si viene de \(B\).
Calcula la probabilidad de escoger una lámina sin manchas.
Hay dos caminos favorables:
- máquina \(A\) y sin manchas;
- máquina \(B\) y sin manchas.
\[ P(\text{sin manchas})=0{,}40\cdot 0{,}96+0{,}60\cdot 0{,}91 \]
\[ P(\text{sin manchas})=0{,}384+0{,}546=0{,}93 \]
La probabilidad es \(0{,}93\), equivalente a \(93\%\).
Ejercicio 3
Una bolsa contiene \(6\) fichas celestes y \(4\) fichas grises. Se extraen dos fichas sin reposición.
Calcula la probabilidad de que ambas fichas sean grises.
En la primera extracción:
\[ P(\text{gris})=\frac{4}{10} \]
Si la primera fue gris, quedan \(3\) fichas grises de \(9\) fichas en total.
\[ P(\text{gris y gris})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15} \]
Ejercicio 4
Una experiencia de laboratorio se realiza en dos fases. En la primera fase, la probabilidad de que una muestra sea clasificada como estable es \(0{,}7\). Si es estable, la probabilidad de que apruebe la segunda fase es \(0{,}85\). Si no es estable, la probabilidad de que apruebe la segunda fase es \(0{,}30\).
Calcula la probabilidad de que una muestra apruebe la segunda fase.
La muestra puede aprobar por dos caminos:
- estable y aprueba;
- no estable y aprueba.
\[ P(\text{aprueba})=0{,}7\cdot 0{,}85+0{,}3\cdot 0{,}30 \]
\[ P(\text{aprueba})=0{,}595+0{,}09=0{,}685 \]
Ejercicio 5
En una caja hay \(3\) credenciales doradas, \(5\) plateadas y \(4\) negras. Se extraen dos credenciales sin reposición.
Calcula la probabilidad de que la primera sea dorada y la segunda no sea dorada.
Hay \(3+5+4=12\) credenciales en total.
La probabilidad de que la primera sea dorada es:
\[ \frac{3}{12} \]
Si la primera fue dorada, quedan \(11\) credenciales, de las cuales \(9\) no son doradas.
\[ P=\frac{3}{12}\cdot\frac{9}{11}=\frac{27}{132}=\frac{9}{44} \]
Ejercicio 6
Una persona calcula la probabilidad de obtener dos etiquetas azules en dos extracciones sin reposición desde una caja con \(7\) etiquetas azules y \(5\) etiquetas rojas así:
\[ \frac{7}{12}\cdot\frac{7}{12} \]
¿Es correcto el cálculo? Justifica y calcula la probabilidad correcta.
No es correcto, porque la extracción es sin reposición.
Si la primera etiqueta fue azul, queda una azul menos y también una etiqueta menos en total.
La probabilidad correcta es:
\[ \frac{7}{12}\cdot\frac{6}{11}=\frac{42}{132}=\frac{7}{22} \]
Problemas tipo PAES
Problema 1
Una editorial distribuye libros en formato físico o digital. El \(45\%\) de los libros vendidos son físicos. De los físicos, el \(20\%\) corresponde a literatura científica. De los digitales, el \(30\%\) corresponde a literatura científica.
¿Cuál es la probabilidad de que un libro vendido sea de literatura científica?
A) \(0{,}235\)
B) \(0{,}255\)
C) \(0{,}275\)
D) \(0{,}500\)
Si el \(45\%\) es físico, entonces el \(55\%\) es digital.
\[ P(\text{científico})=0{,}45\cdot 0{,}20+0{,}55\cdot 0{,}30 \]
\[ P(\text{científico})=0{,}09+0{,}165=0{,}255 \]
La alternativa correcta es B.
Problema 2
Una caja contiene \(8\) tarjetas blancas y \(6\) tarjetas negras. Se extraen dos tarjetas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos tarjetas sean de colores distintos?
A) \(\frac{24}{91}\)
B) \(\frac{48}{91}\)
C) \(\frac{56}{91}\)
D) \(\frac{80}{91}\)
Hay dos caminos favorables:
- blanca y luego negra;
- negra y luego blanca.
\[ \frac{8}{14}\cdot\frac{6}{13}+\frac{6}{14}\cdot\frac{8}{13} \]
\[ \frac{48}{182}+\frac{48}{182}=\frac{96}{182}=\frac{48}{91} \]
La alternativa correcta es B.
Problema 3
Una empresa de alimentos tiene dos plantas de producción. La planta \(A\) produce el \(35\%\) de los envases y la planta \(B\) produce el resto. En la planta \(A\), el \(4\%\) de los envases presenta error de rotulado. En la planta \(B\), el \(2\%\) presenta error de rotulado.
¿Cuál es la probabilidad de escoger un envase con error de rotulado?
A) \(0{,}014\)
B) \(0{,}027\)
C) \(0{,}040\)
D) \(0{,}060\)
La planta \(B\) produce el \(65\%\) de los envases.
\[ P(\text{error})=0{,}35\cdot 0{,}04+0{,}65\cdot 0{,}02 \]
\[ P(\text{error})=0{,}014+0{,}013=0{,}027 \]
La alternativa correcta es B.
Problema 4
En una encuesta, el \(60\%\) de las personas declara usar una aplicación de organización semanal. Entre quienes la usan, el \(75\%\) cumple sus metas de estudio. Entre quienes no la usan, el \(45\%\) cumple sus metas de estudio.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar cumpla sus metas de estudio?
A) \(0{,}45\)
B) \(0{,}60\)
C) \(0{,}63\)
D) \(0{,}75\)
La probabilidad de no usar la aplicación es:
\[ 1-0{,}60=0{,}40 \]
\[ P(\text{cumple})=0{,}60\cdot 0{,}75+0{,}40\cdot 0{,}45 \]
\[ P(\text{cumple})=0{,}45+0{,}18=0{,}63 \]
La alternativa correcta es C.
Problema 5
Una bolsa contiene \(5\) fichas amarillas, \(4\) fichas verdes y \(3\) fichas azules. Se extraen dos fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea amarilla y la segunda sea azul?
A) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{12}\)
B) \(\frac{5}{12}\cdot\frac{3}{11}\)
C) \(\frac{5}{12}+\frac{3}{11}\)
D) \(\frac{8}{12}\cdot\frac{3}{11}\)
En total hay \(12\) fichas.
La probabilidad de que la primera ficha sea amarilla es \(\frac{5}{12}\).
Como no hay reposición, después de extraer una amarilla quedan \(11\) fichas. Las azules siguen siendo \(3\).
Por lo tanto:
\[ \frac{5}{12}\cdot\frac{3}{11} \]
La alternativa correcta es B.