Probabilidad básica
14. Evaluación y síntesis de probabilidad básica
Objetivo de aprendizaje
- Integrar conceptos de probabilidad básica para resolver problemas que involucren espacio muestral, eventos, probabilidad clásica, complemento, unión e intersección.
Síntesis de ideas centrales
En probabilidad básica, el primer paso es reconocer el experimento aleatorio y el conjunto de resultados posibles. Luego se identifican los eventos y se calcula la probabilidad según la información disponible.
Cuando los resultados son equiprobables, se usa la regla de Laplace:
\[ P(A)=\frac{|A|}{|S|} \]
Relaciones importantes
- Complemento: \[ P(A^c)=1-P(A) \]
- Unión de eventos: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
- Intersección en casos equiprobables: \[ P(A\cap B)=\frac{|A\cap B|}{|S|} \]
- Ninguno de dos eventos: \[ P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B) \]
Estrategia general de resolución
- Identifica qué se está observando en el experimento.
- Determina el espacio muestral o el total de casos posibles.
- Traduce la frase del problema a un evento.
- Distingue si se pide complemento, unión, intersección o una probabilidad directa.
- Calcula los casos favorables y divide por los casos posibles.
- Revisa si el resultado tiene sentido: toda probabilidad debe estar entre \(0\) y \(1\).
Errores frecuentes
- Confundir “\(A\) o \(B\)” con “solo uno de los dos”.
- Sumar \(|A|+|B|\) sin restar la intersección.
- Calcular “ninguno” como si fuera una intersección.
- Usar como denominador un total que no corresponde al experimento descrito.
Ejercicios
Ejercicio 1
Una empresa de reciclaje clasifica \(90\) residuos según su material. Hay \(26\) de papel, \(18\) de vidrio, \(21\) de plástico, \(15\) de metal y \(10\) orgánicos. Se selecciona un residuo al azar.
- Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo de vidrio.
- Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo que no sea plástico.
- Calcula la probabilidad de seleccionar un residuo reciclable, considerando reciclables papel, vidrio, plástico y metal.
El total de residuos es \(90\).
La probabilidad de seleccionar vidrio es:
\[ P(\text{vidrio})=\frac{18}{90}=\frac{1}{5} \]
Para que no sea plástico, usamos el complemento. Hay \(21\) residuos plásticos:
\[ P(\text{no plástico})=1-\frac{21}{90} \]
\[ P(\text{no plástico})=\frac{69}{90}=\frac{23}{30} \]
Los residuos reciclables considerados son papel, vidrio, plástico y metal:
\[ 26+18+21+15=80 \]
Entonces:
\[ P(\text{reciclable})=\frac{80}{90}=\frac{8}{9} \]
Ejercicio 2
Se elige al azar un número entero desde \(120\) hasta \(150\), incluyendo ambos extremos.
- ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento?
- Calcula la probabilidad de elegir un múltiplo de \(4\).
- Calcula la probabilidad de elegir un número que termine en \(3\) o en \(8\).
Primero contamos los enteros desde \(120\) hasta \(150\):
\[ 150-120+1=31 \]
Por lo tanto, hay \(31\) resultados posibles.
Los múltiplos de \(4\) entre \(120\) y \(150\) son:
\[ 120,\;124,\;128,\;132,\;136,\;140,\;144,\;148 \]
Hay \(8\) casos favorables, entonces:
\[ P(\text{múltiplo de }4)=\frac{8}{31} \]
Los números que terminan en \(3\) o en \(8\) son:
\[ 123,\;128,\;133,\;138,\;143,\;148 \]
Hay \(6\) casos favorables, por lo tanto:
\[ P(\text{termina en }3\text{ o }8)=\frac{6}{31} \]
Ejercicio 3
En un banco de \(140\) imágenes médicas, \(52\) tienen contraste aumentado, \(47\) fueron tomadas con alta resolución y \(19\) tienen ambas características.
- Calcula la cantidad de imágenes que tienen contraste aumentado o alta resolución.
- Calcula la probabilidad de seleccionar una imagen con contraste aumentado o alta resolución.
- Calcula la cantidad de imágenes que no tienen ninguna de esas dos características.
Sea:
- \(A\): imagen con contraste aumentado.
- \(B\): imagen tomada con alta resolución.
La cantidad de imágenes en la unión es:
\[ |A\cup B|=52+47-19=80 \]
Por lo tanto, \(80\) imágenes tienen contraste aumentado o alta resolución.
La probabilidad correspondiente es:
\[ P(A\cup B)=\frac{80}{140}=\frac{4}{7} \]
Las imágenes que no tienen ninguna de esas dos características son:
\[ 140-80=60 \]
Ejercicio 4
La siguiente tabla clasifica \(160\) piezas de madera según si fueron tratadas contra humedad y si presentaron deformación.
| Presentó deformación | No presentó deformación | Total | |
|---|---|---|---|
| Tratada contra humedad | 18 | 62 | 80 |
| No tratada contra humedad | 46 | 34 | 80 |
| Total | 64 | 96 | 160 |
- Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza tratada contra humedad y que presentó deformación.
- Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza que presentó deformación.
- Calcula la probabilidad de seleccionar una pieza que no presentó deformación.
La probabilidad conjunta de “tratada contra humedad y presentó deformación” usa la celda \(18\):
\[ P=\frac{18}{160}=\frac{9}{80} \]
El total de piezas que presentaron deformación es \(64\), por lo tanto:
\[ P(\text{deformación})=\frac{64}{160}=\frac{2}{5} \]
El total de piezas que no presentaron deformación es \(96\), por lo tanto:
\[ P(\text{no deformación})=\frac{96}{160}=\frac{3}{5} \]
También se podía obtener como complemento:
\[ 1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 5
Una plataforma tiene \(72\) recursos digitales. \(29\) incluyen audio descriptivo, \(34\) incluyen subtítulos y \(16\) incluyen ambos recursos de accesibilidad.
- ¿Cuántos recursos incluyen solo audio descriptivo?
- ¿Cuántos recursos incluyen solo subtítulos?
- ¿Cuál es la probabilidad de elegir un recurso que incluya exactamente uno de esos dos recursos de accesibilidad?
Sea:
- \(A\): incluir audio descriptivo.
- \(S\): incluir subtítulos.
Los recursos que incluyen solo audio descriptivo son:
\[ |A|-|A\cap S|=29-16=13 \]
Los recursos que incluyen solo subtítulos son:
\[ |S|-|A\cap S|=34-16=18 \]
Los que incluyen exactamente uno de los dos recursos son:
\[ 13+18=31 \]
Por lo tanto, la probabilidad pedida es:
\[ \frac{31}{72} \]
Ejercicio 6
En una caja hay \(9\) placas transparentes, \(6\) placas opacas y \(5\) placas translúcidas. Se extrae una placa al azar.
Una persona afirma: “La probabilidad de extraer una placa que no sea transparente es \(\frac{9}{20}\), porque hay \(9\) placas transparentes de \(20\)”.
¿Es correcta la afirmación? Justifica y calcula la probabilidad correcta.
La afirmación no es correcta.
El total de placas es:
\[ 9+6+5=20 \]
La probabilidad de extraer una placa transparente es:
\[ \frac{9}{20} \]
Pero se pregunta por una placa que no sea transparente. Ese evento es el complemento.
Entonces:
\[ P(\text{no transparente})=1-\frac{9}{20}=\frac{11}{20} \]
También se puede contar directamente:
\[ 6+5=11 \]
Por lo tanto, la probabilidad correcta es \(\frac{11}{20}\).
Problemas tipo PAES
Problema 1
En una muestra de \(250\) botellas, \(92\) son retornables, \(78\) son de vidrio y \(41\) son retornables y de vidrio. Si se elige una botella al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea retornable o de vidrio?
A) \(\frac{129}{250}\)
B) \(\frac{170}{250}\)
C) \(\frac{211}{250}\)
D) \(\frac{41}{250}\)
Sea:
- \(R\): botella retornable.
- \(V\): botella de vidrio.
Se pide \(P(R\cup V)\).
Calculamos:
\[ |R\cup V|=92+78-41=129 \]
Entonces:
\[ P(R\cup V)=\frac{129}{250} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 2
Se elige al azar un número entero desde \(300\) hasta \(340\), incluyendo ambos extremos. ¿Cuál es la probabilidad de que el número no termine en \(0\)?
A) \(\frac{4}{41}\)
B) \(\frac{5}{41}\)
C) \(\frac{36}{41}\)
D) \(\frac{37}{41}\)
Primero contamos los enteros desde \(300\) hasta \(340\):
\[ 340-300+1=41 \]
Los números que terminan en \(0\) son:
\[ 300,\;310,\;320,\;330,\;340 \]
Hay \(5\) números que terminan en \(0\).
Entonces, los que no terminan en \(0\) son:
\[ 41-5=36 \]
La probabilidad pedida es:
\[ \frac{36}{41} \]
La alternativa correcta es C.
Problema 3
La tabla muestra \(180\) análisis de minerales según tipo y si contienen impurezas detectables.
| Tipo de mineral | Con impurezas | Sin impurezas | Total |
|---|---|---|---|
| Cuarzo | 28 | 42 | 70 |
| Feldespato | 36 | 24 | 60 |
| Mica | 18 | 32 | 50 |
| Total | 82 | 98 | 180 |
Si se elige un análisis al azar, ¿cuál es la probabilidad de que corresponda a feldespato y tenga impurezas?
A) \(\frac{36}{180}\)
B) \(\frac{60}{180}\)
C) \(\frac{82}{180}\)
D) \(\frac{36}{60}\)
La frase “feldespato y con impurezas” corresponde a una frecuencia conjunta.
En la fila “Feldespato” y la columna “Con impurezas” está el valor \(36\).
Como el total general es \(180\), la probabilidad es:
\[ \frac{36}{180} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 4
En una revisión de \(120\) documentos, \(74\) tienen formato correcto. Si se selecciona un documento al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga formato correcto?
A) \(\frac{46}{120}\)
B) \(\frac{74}{120}\)
C) \(\frac{120}{74}\)
D) \(\frac{120}{46}\)
El evento pedido es el complemento de “tener formato correcto”.
Si \(74\) documentos tienen formato correcto, entonces los que no lo tienen son:
\[ 120-74=46 \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{no formato correcto})=\frac{46}{120} \]
La alternativa correcta es A.
Problema 5
En una colección de \(96\) modelos 3D, \(38\) tienen textura realista, \(44\) tienen animación básica y \(27\) no tienen ninguna de esas dos características. ¿Cuántos modelos tienen textura realista y animación básica?
A) \(13\)
B) \(17\)
C) \(55\)
D) \(69\)
Si \(27\) modelos no tienen ninguna de las dos características, entonces los que tienen al menos una son:
\[ 96-27=69 \]
Sea:
- \(T\): tener textura realista.
- \(A\): tener animación básica.
Usamos:
\[ |T\cup A|=|T|+|A|-|T\cap A| \]
Reemplazamos:
\[ 69=38+44-|T\cap A| \]
\[ 69=82-|T\cap A| \]
\[ |T\cap A|=13 \]
La alternativa correcta es A.