Aplicando lo aprendido: problemas con conos
¡A resolver problemas!
Ahora que dominamos las fórmulas de volumen y área, aplicaremos lo aprendido para resolver problemas que combinan geometría y situaciones de la vida cotidiana.
Problemas geométricos
Problema 1
Un cono y un cilindro tienen la misma base circular. La altura del cono es el doble de la altura del cilindro. Si el volumen del cilindro es de \(180\text{ cm}^3\), ¿cuál es el volumen del cono?
Definimos \(h_c\) como la altura del cilindro. Entonces la altura del cono es:
\[ h_{\text{cono}}=2h_c \]
Como tienen la misma base circular, ambos comparten el mismo factor \(\pi r^2\).
El volumen del cilindro es:
\[ V_{\text{cilindro}}=\pi r^2h_c=180 \]
El volumen del cono es:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h_{\text{cono}} \]
Sustituimos \(h_{\text{cono}}=2h_c\):
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2(2h_c)=\frac{2}{3}(\pi r^2h_c) \]
Como \(\pi r^2h_c=180\), se obtiene:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{2}{3}\cdot 180=120 \]
El volumen del cono es \(120\text{ cm}^3\).
Problema 2
Una pirámide de base cuadrada de \(6\text{ cm}\) de lado y \(10\text{ cm}\) de altura se inscribe en un cono. La base de la pirámide cabe justo dentro de la base circular del cono. ¿Qué volumen del cono queda sin ocupar por la pirámide?
Primero calculamos el volumen de la pirámide:
\[ V_{\text{pirámide}}=\frac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 10=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 10=120\text{ cm}^3 \]
La base cuadrada está inscrita en la base circular del cono. Por eso, la diagonal del cuadrado corresponde al diámetro del cono:
\[ d=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm} \]
Entonces el radio del cono es:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm} \]
La altura del cono es \(10\text{ cm}\), igual que la pirámide. Calculamos el volumen del cono:
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
\[ V_{\text{cono}}=\frac{1}{3}\pi(3\sqrt{2})^2(10)=\frac{1}{3}\pi(18)(10)=60\pi\text{ cm}^3 \]
El volumen que queda sin ocupar es:
\[ V_{\text{cono}}-V_{\text{pirámide}}=60\pi-120 \]
El volumen sin ocupar es \((60\pi-120)\text{ cm}^3\), aproximadamente \(68{,}50\text{ cm}^3\).
Problema 3
Un cono de volumen \(V\) se corta por un plano paralelo a su base. El corte se hace a una altura de \(\frac{2}{3}h\), medida desde la base. Expresa el volumen del cono más pequeño que se forma en la punta en función de \(V\).
Si el corte está a \(\frac{2}{3}h\) desde la base, entonces la altura del cono pequeño de la punta es:
\[ h_{\text{pequeño}}=h-\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}h \]
La razón de semejanza entre el cono pequeño y el cono original es:
\[ k=\frac{h_{\text{pequeño}}}{h}=\frac{1}{3} \]
Los volúmenes de cuerpos semejantes se relacionan con el cubo de la razón lineal:
\[ V_{\text{pequeño}}=k^3V \]
Entonces:
\[ V_{\text{pequeño}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3V=\frac{1}{27}V \]
El volumen del cono pequeño es \(\frac{1}{27}V\).
Problema 4
Se inscribe un cono en una esfera de radio \(5\text{ cm}\), de tal forma que la base del cono es un círculo máximo de la esfera, es decir, pasa por el centro. Calcula el área total del cono.
Si la base del cono es un círculo máximo de la esfera, entonces el radio de la base del cono es igual al radio de la esfera:
\[ r=5\text{ cm} \]
La altura del cono también corresponde al radio de la esfera:
\[ h=5\text{ cm} \]
Calculamos la generatriz:
\[ g=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{ cm} \]
Ahora calculamos el área total:
\[ A_T=\pi r(g+r) \]
\[ A_T=\pi\cdot 5(5\sqrt{2}+5)=25\pi(\sqrt{2}+1)\text{ cm}^2 \]
El área total es \(25\pi(1+\sqrt{2})\text{ cm}^2\).
Problemas de la vida diaria
Veamos ahora cómo estas fórmulas se aplican a objetos y situaciones comunes.
Problema 5
Se quiere construir un depósito de agua cónico con capacidad para \(1000\) litros. Si el radio de la base debe ser de \(1\text{ m}\), ¿qué altura debe tener el depósito?
Primero convertimos unidades:
\[ 1000\text{ litros}=1\text{ m}^3 \]
Usamos la fórmula del volumen del cono:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
Despejamos \(h\):
\[ h=\frac{3V}{\pi r^2} \]
Sustituimos \(V=1\text{ m}^3\) y \(r=1\text{ m}\):
\[ h=\frac{3\cdot 1}{\pi\cdot 1^2}=\frac{3}{\pi}\text{ m} \]
La altura debe ser \(\frac{3}{\pi}\text{ m}\), aproximadamente \(0{,}95\text{ m}\).
Problema 6
Un vaso de papel con forma de cono tiene \(6\text{ cm}\) de diámetro y \(10\text{ cm}\) de altura. ¿Qué volumen de agua puede contener?
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{6}{2}=3\text{ cm} \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
\[ V=\frac{1}{3}\pi(3)^2(10)=30\pi\text{ cm}^3 \]
El vaso puede contener \(30\pi\text{ cm}^3\), aproximadamente \(94{,}25\text{ cm}^3\).
Problema 7
Para una fiesta, se necesita hacer gorros cónicos de cartulina. Si cada gorro debe tener un radio de \(10\text{ cm}\) y una generatriz de \(20\text{ cm}\), ¿cuántos \(\text{cm}^2\) de cartulina se usarán por gorro?
Un gorro cónico no necesita base, por lo tanto se calcula solo el área lateral:
\[ A_L=\pi rg \]
Sustituimos los datos:
\[ A_L=\pi\cdot 10\cdot 20=200\pi\text{ cm}^2 \]
Se necesitan \(200\pi\text{ cm}^2\) de cartulina por gorro, aproximadamente \(628{,}32\text{ cm}^2\).
Problema 8
Un embudo cónico tiene un diámetro de \(12\text{ cm}\) y una altura de \(15\text{ cm}\). Si se vierte líquido a razón de \(50\text{ cm}^3\) por segundo, ¿cuánto tardará en llenarse?
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{12}{2}=6\text{ cm} \]
Calculamos el volumen del embudo:
\[ V=\frac{1}{3}\pi r^2h \]
\[ V=\frac{1}{3}\pi(6)^2(15)=180\pi\text{ cm}^3 \]
Como se llena a razón de \(50\text{ cm}^3\) por segundo, el tiempo es:
\[ t=\frac{180\pi}{50}=3{,}6\pi\text{ s} \]
Tardará \(3{,}6\pi\) segundos, aproximadamente \(11{,}31\) segundos.