• Curso: 4° medio diferenciado.
• Unidad: Vectores para Geometría 3D.
• Tiempo: 80 minutos.
• Total de preguntas: 21.
• Puntaje por pregunta: 2 puntos.
• Puntaje total: 42 puntos.
• Porcentaje de aprobación: 60%.
• Puntaje mínimo de aprobación: 26 puntos.

Pregunta 1

Alternativa correcta: C

Justificación: Un vector representa un desplazamiento que posee módulo, dirección y sentido.

Pregunta 2

Alternativa correcta: A

Justificación: El punto \(P=(3,2)\) representa una ubicación, mientras que \(\vec{v}=(3,2)\) representa un desplazamiento.

Pregunta 3

Alternativa correcta: D

Justificación: Los vectores \(\overrightarrow{AB}\) y \(\overrightarrow{BA}\) tienen igual módulo y dirección, pero sentidos opuestos.

Pregunta 4

Alternativa correcta: B

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(4-(-2),1-5)=(6,-4)\).

Pregunta 5

Alternativa correcta: B

Justificación: El punto final es \(Q=P+\vec{v}=(1,-3)+(-4,6)=(-3,3)\).

Pregunta 6

Alternativa correcta: D

Justificación: \(|\vec{u}|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\).

Pregunta 7

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector \((4,-2)\) indica avanzar \(4\) unidades hacia la derecha y \(2\) hacia abajo.

Pregunta 8

Alternativa correcta: C

Justificación: \(2\vec{a}+\vec{b}=2(3,-1)+(-4,5)=(6,-2)+(-4,5)=(2,3)\).

Pregunta 9

Alternativa correcta: D

Justificación: \(|\vec{v}|=\sqrt{8^2+15^2}=17\), por lo tanto el vector unitario es \(\left(\frac{8}{17},\frac{15}{17}\right)\).

Pregunta 10

Alternativa correcta: A

Justificación: El vector cero tiene módulo \(0\) y no determina una dirección específica, por eso no tiene vector unitario asociado.

Pregunta 11

Alternativa correcta: C

Justificación: \((2,-5)\cdot(3,4)=2\cdot3+(-5)\cdot4=6-20=-14\).

Pregunta 12

Alternativa correcta: B

Justificación: Dos vectores son perpendiculares si su producto punto es \(0\). En la alternativa B, \((6,4)\cdot(-2,3)=-12+12=0\).

Pregunta 13

Alternativa correcta: D

Justificación: Para que sean perpendiculares: \((3,k)\cdot(4,-6)=0\). Entonces \(12-6k=0\), de donde \(k=2\).

Pregunta 14

Alternativa correcta: C

Justificación: El vector \((-5,2,7)\) indica avanzar \(5\) en sentido negativo de \(x\), \(2\) en \(y\) y \(7\) en \(z\).

Pregunta 15

Alternativa correcta: A

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(5-1,3-(-2),-1-4)=(4,5,-5)\).

Pregunta 16

Alternativa correcta: D

Justificación: El punto final es \(P+\vec{v}=(-3,2,5)+(6,-4,1)=(3,-2,6)\).

Pregunta 17

Alternativa correcta: B

Justificación: \(|\vec{u}|=\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\sqrt{4+9+36}=\sqrt{49}=7\).

Pregunta 18

Alternativa correcta: A

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=(5-1,5-2,0-0)=(4,3,0)\), por lo tanto \(d(A,B)=\sqrt{4^2+3^2+0^2}=5\).

Pregunta 19

Alternativa correcta: C

Justificación: La distancia no puede ser negativa. Si \(\overrightarrow{AB}=(-3,4,-12)\), entonces \(d(A,B)=\sqrt{(-3)^2+4^2+(-12)^2}=\sqrt{169}=13\).

Pregunta 20

Alternativa correcta: D

Justificación: Si \(\vec{v}=(x,2,6)\) y \(|\vec{v}|=7\), entonces \(x^2+2^2+6^2=7^2\). Así, \(x^2+40=49\), por lo tanto \(x^2=9\) y \(x=3\) o \(x=-3\).

Pregunta 21

Alternativa correcta: B

Justificación: \(\overrightarrow{AB}=B-A=(4,3,6)\) y \(\overrightarrow{BA}=A-B=(-4,-3,-6)\). Son vectores opuestos y ambos tienen el mismo módulo.

Resumen de claves correctas

1) C, 2) A, 3) D, 4) B, 5) B, 6) D, 7) A, 8) C, 9) D, 10) A, 11) C, 12) B, 13) D, 14) C, 15) A, 16) D, 17) B, 18) A, 19) C, 20) D, 21) B.