Capitulo 0.2 N° enteros (nivelacion)
6. Operaciones con Números Enteros: Multiplicación
Operaciones con Números Enteros: Multiplicación
Introducción: ¿Por qué menos por menos es más?
Seguramente has aprendido las reglas de los signos para la multiplicación de números enteros, pero tal vez te preguntes por qué funcionan así. Aquí te daremos algunas explicaciones intuitivas para entender mejor estas reglas, especialmente la más curiosa: menos por menos es más.
1. Positivo por Positivo:
Esto es lo más sencillo. Si tienes un número positivo de grupos con una cantidad positiva de elementos cada uno, el resultado total es positivo.
Ejemplo: 3 × 4 = 12 (Tienes 3 grupos de 4 manzanas, en total tienes 12 manzanas).
2. Positivo por Negativo (o Negativo por Positivo):
Aquí podemos pensar en "grupos de deuda". Si tienes un número positivo de grupos, pero cada grupo representa una deuda (un número negativo), entonces el resultado total es una deuda mayor (un número negativo).
Ejemplo: 3 × (-4) = -12 (Tienes 3 grupos de una deuda de $4, en total debes $12).
De forma similar, si debes dinero a varias personas.
Ejemplo: (-3) × 4 = -12 (Debes $3 a 4 personas diferentes, en total debes $12).
3. Negativo por Negativo:
Este es el caso que suele causar más confusión. Aquí van dos formas de entenderlo:
a) Eliminando deudas: Piensa en "-1" como una "unidad de deuda". Multiplicar por un número negativo puede interpretarse como "eliminar" o "quitar" deudas. Si eliminas deudas, tu situación financiera mejora, lo que se representa con un resultado positivo.
Ejemplo: (-3) × (-4) = 12 (Imagina que debes $4 a tres personas, es decir, tienes 3 deudas de $4. Si un benefactor decide eliminar esas 3 deudas, tu situación mejora en $12, es decir, tienes +$12 respecto a tu situación inicial).
b) Patrones numéricos: Observa el siguiente patrón:
3 × (-2) = -6
2 × (-2) = -4
1 × (-2) = -2
0 × (-2) = 0
(-1) × (-2) = ?
Si seguimos la secuencia, cada vez que disminuimos el primer factor en 1, el resultado aumenta en 2. Siguiendo esta lógica, (-1) × (-2) debería ser 0 + 2 = 2. Para que el patrón se mantenga, el producto de dos números negativos debe ser positivo.
4. Multiplicación por cero:
Multiplicar por cero significa "no tener ningún grupo" de algo. No importa si ese "algo" es positivo o negativo, si no hay grupos, no hay nada, y el resultado es cero.
Reglas de la Multiplicación de Números Enteros
Para multiplicar números enteros, debemos prestar atención a sus signos. Las reglas son las siguientes:
1. Números con el mismo signo:
El resultado es positivo. Se multiplican sus valores absolutos y el producto es positivo.
Ejemplos:
- 4 × 6 = 24 (Positivo por positivo da positivo)
- (-5) × (-3) = 15 (Negativo por negativo da positivo)
2. Números con distinto signo:
El resultado es negativo. Se multiplican sus valores absolutos y el producto es negativo.
Ejemplos:
- 7 × (-2) = -14 (Positivo por negativo da negativo)
- (-8) × 3 = -24 (Negativo por positivo da negativo)
3. Multiplicación por cero:
Cualquier número entero multiplicado por cero da como resultado cero.
Ejemplos:
- 9 × 0 = 0
- (-5) × 0 = 0
- 0 × 0 = 0
Tabla de Multiplicar con Números Enteros
Es útil tener en cuenta la siguiente tabla que resume las reglas de los signos en la multiplicación:
| Primer Factor | Segundo Factor | Resultado |
|---|---|---|
| + | + | + |
| - | - | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| Cualquiera | 0 | 0 |
Ejemplos con más de dos factores
Cuando hay más de dos factores en una multiplicación, aplicamos las reglas de los signos de izquierda a derecha, o también podemos contar la cantidad de factores negativos:
- Si hay un número par de factores negativos, el resultado es positivo.
- Si hay un número impar de factores negativos, el resultado es negativo.
Ejemplos:
- 2 × (-3) × 4 = -24 (Un solo factor negativo, resultado negativo)
- (-1) × (-5) × 2 = 10 (Dos factores negativos, resultado positivo)
- (-2) × (-3) × (-4) = -24 (Tres factores negativos, resultado negativo)
- (-1) × 2 × (-3) × 4 = 24 (Cuatro factores, dos negativos -> es par, resultado positivo)
Ejercicios
- (-7) × 4 = ?
- 9 × (-2) = ?
- (-5) × (-6) = ?
- 8 × 3 = ?
- (-1) × 10 = ?
- 0 × (-12) = ?
- (-4) × (-4) = ?
- 6 × (-5) = ?
- 2 × (-3) × 5 = ?
- (-4) × (-2) × (-1) = ?
- (-6) × 2 × 3 = ?
- 5 × (-1) × (-4) × 2 = ?
Ejercicios: Encuentra el Factor Faltante
- 4 × ___ = -12
- ___ × (-5) = 20
- -7 × ___ = -14
- ___ × 8 = -32
- -2 × ___ × 3 = 18
- -5 × (-2) × ___ = -40
Problemas con Multiplicación de Números Enteros
Aquí tienes algunos ejemplos de problemas que se resuelven utilizando la multiplicación de números enteros:
Ejemplo 1: Temperatura
Problema: Si la temperatura baja 2 grados cada hora y la temperatura actual es de 0°C, ¿cuál será la temperatura después de 4 horas?
Solución:
- Descenso de temperatura por hora: -2°C
- Número de horas: 4
- Operación: (-2) × 4 = -8
- Temperatura actual: 0°C
- Temperatura final: 0 + (-8) = -8
- Respuesta: La temperatura después de 4 horas será de -8°C.
Ejemplo 2: Deuda
Problema: Juan debe $5 a cada uno de sus 3 amigos. ¿Cuánto dinero debe en total?
Solución:
- Deuda a cada amigo: -$5
- Número de amigos: 3
- Operación: (-5) × 3 = -15
- Respuesta: Juan debe $15 en total.
Ejercicios de Problemas
- Un submarino desciende 30 metros por minuto. Si comienza en la superficie (0 metros), ¿a qué profundidad estará después de 5 minutos?
- Una empresa pierde $100 por cada hora que no produce. Si la producción estuvo detenida durante 8 horas, ¿cuál fue la pérdida total?
- En un juego, un jugador pierde 4 puntos por cada error que comete. Si comete 6 errores, ¿cuál será su puntaje final?
- Si la temperatura baja 3 grados cada hora y la temperatura actual es de 5°C, ¿cuál será la temperatura después de 6 horas?
- Un buzo se encuentra a -12 metros (12 metros bajo el nivel del mar) y desciende a una velocidad de 2 metros por segundo. ¿A qué profundidad estará después de 7 segundos?
¡Practica con estos ejercicios y dominarás la multiplicación de números enteros!