Capitulo 0.2 N° enteros (nivelacion)
7. Operaciones con Números Enteros: División
Operaciones con Números Enteros: División
La División como Operación Inversa a la Multiplicación
Antes de ver las reglas de la división, es importante recordar que la división es la operación inversa de la multiplicación. Esto significa que si multiplicamos un número por otro y luego dividimos el resultado por el mismo segundo número, volvemos al número original.
Ejemplo:
- 5 × 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
Usando esta relación, podemos deducir las reglas de los signos para la división a partir de las reglas de la multiplicación.
Deduciendo las Reglas de los Signos en la División
1.-Positivo ÷ Positivo = Positivo
- Sabemos de las multiplicaciones que: (+) × (+) = (+).
- Si tenemos 4 × 3 = 12, entonces podemos escribir la división relacionada: 12 ÷ 4 = 3.
- Como positivo por positivo da positivo en la multiplicación, entonces positivo entre positivo da positivo en la división.
- Esquemáticamente:
\( \boxed{ + \bullet +=+ } \Rightarrow 4 \bullet 3 = 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} 12:4=3 \\ \color{gray}{ 12:3=4 } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ +: +=+ } \)
2.-Positivo ÷ Negativo = Negativo
- Sabemos de las multiplicaciones que: (-) × (-) = (+).
- Si tenemos (-4) × (-3) = 12, entonces podemos escribir la división relacionada: 12 ÷ (-4)= (-3).
- Vemos que un numero positivo siendo dividido por uno negativo, da como resultado un número negativo.
- Esquemáticamente:
\( \boxed{ - \bullet -=+ } \Rightarrow (-4) \bullet (-3) = 12 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} 12:(-4)=(-3) \\ \color{gray}{ 12:(-3)=(-4) } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ +: -=- } \)
3.-Negativo ÷ Positivo = Negativo
- Sabemos de las multiplicaciones que: (+) × (-) = (-).
- Si tenemos 4 × (-3) = (-12), entonces podemos escribir la división relacionada: (-12) ÷ 4 = (-3).
- Como positivo por negativo da negativo en la multiplicación, entonces negativo entre positivo da negativo en la división.
- Esquemáticamente:
\( \boxed{ + \bullet -=- } \Rightarrow 4 \bullet (-3) = (-12) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} (-12):4=(-3) \\ \color{gray}{ (-12):(-3)=4 } \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ -: +=- } \)
4.-Negativo ÷ Negativo = Positivo
- Usaremos el mismo ejemplo del punto anterior pero nos fijaremos en la segunda multipliocación
Sabemos de las multiplicaciones que: (+) × (-) = (-). - Si tenemos 4 × (-3) = (-12), entonces podemos escribir la división relacionada: (-12) ÷ (-3) = 4.
- Como positivo por negativo da negativo en la multiplicación, entonces negativo entre negativo da positivo en la división.
- Esquemáticamente:
\( \boxed{ + \bullet -=- } \Rightarrow 4 \bullet (-3) = (-12) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{lcr} \color{gray}{ (-12):4=(-3) } \\ (-12):(-3)=4 \end{array} \right. \Rightarrow \boxed{ -: -=+ } \)
Tabla de la División con Números Enteros
La siguiente tabla resume las reglas de los signos en la división:
| Dividendo | Divisor | Cociente |
|---|---|---|
| + | + | + |
| - | - | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
| 0 | Cualquiera ≠ 0 | 0 |
| Cualquiera | 0 | No Definido |
Operando con las Reglas de la División de Números Enteros
Las reglas para dividir números enteros son similares a las de la multiplicación. Debemos prestar atención a los signos:
1. Números con el mismo signo:
El resultado es positivo. Se dividen sus valores absolutos y el cociente es positivo.
Ejemplos:
- 12 ÷ 4 = 3 (Positivo entre positivo da positivo)
- (-15) ÷ (-3) = 5 (Negativo entre negativo da positivo)
2. Números con distinto signo:
El resultado es negativo. Se dividen sus valores absolutos y el cociente es negativo.
Ejemplos:
- 14 ÷ (-2) = -7 (Positivo entre negativo da negativo)
- (-18) ÷ 3 = -6 (Negativo entre positivo da negativo)
3. División entre cero:
No se puede dividir entre cero. La división entre cero no está definida.
Ejemplos:
- 5 ÷ 0 = No se puede realizar
- (-8) ÷ 0 = No se puede realizar
4. Cero dividido entre cualquier numero:
Cero dividido entre cualquier número distinto de cero es igual a cero.
Ejemplos:
- 0 ÷ 4 = 0
- 0 ÷ -7 = 0
Ejercicios
- (-20) ÷ 4 = ?
- 18 ÷ (-2) = ?
- (-30) ÷ (-5) = ?
- 24 ÷ 8 = ?
- (-10) ÷ 1 = ?
- 0 ÷ (-9) = ?
- (-16) ÷ (-4) = ?
- 35 ÷ (-7) = ?
Ejercicios: Encuentra el Valor Faltante
- -20 ÷ ___ = 5
- ___ ÷ (-3) = 6
- -14 ÷ ___ = -2
- ___ ÷ 7 = -4
Problemas con División de Números Enteros
Aquí tienes algunos ejemplos de problemas que se resuelven utilizando la división de números enteros:
Ejemplo 1: Repartir una Deuda
Problema: Cuatro amigos tienen una deuda de $28 y quieren repartirla en partes iguales. ¿Cuánto dinero debe pagar cada uno?
Solución:
- Deuda total: -$28
- Número de amigos: 4
- Operación: (-28) ÷ 4 = -7
- Respuesta: Cada amigo debe pagar $7.
Ejemplo 2: Temperatura Promedio
Problema: Durante 5 días se registraron las siguientes temperaturas: -2°C, -4°C, 1°C, -3°C y 0°C. ¿Cuál fue la temperatura promedio durante esos días?
Solución:
- Temperaturas: -2, -4, 1, -3, 0
- Suma de temperaturas: (-2) + (-4) + 1 + (-3) + 0 = -8
- Número de días: 5
- Operación: (-8) ÷ 5 = -1.6
- Respuesta: La temperatura promedio fue de -1.6°C.
Ejercicios de Problemas
- Un submarino se encuentra a -150 metros (150 metros bajo el nivel del mar) y desciende a una velocidad constante hasta llegar a -450 metros en 6 minutos. ¿Cuántos metros desciende por minuto?
- Seis amigos tienen que pagar una deuda total de $90. Si la deuda se reparte en partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
- En un experimento, la temperatura de una sustancia disminuyó 24°C en 3 horas. Si la temperatura disminuyó a un ritmo constante, ¿cuántos grados bajó por hora?
- Un jugador perdió 36 puntos en 4 rondas de un juego. Si perdió la misma cantidad de puntos en cada ronda, ¿cuántos puntos perdió por ronda?
- Se reparten equitativamente 50 canicas entre varios niños. Si cada niño recibe -5 canicas (es decir, da 5 canicas), ¿Cuántos niños eran?
¡Practica con estos ejercicios y dominarás la división de números enteros!