Libro Números Enteros
3. Números Enteros: Orden y Recta Numérica
La recta numérica
La recta numérica es una línea recta que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Sirve como una representación visual para ubicar, comparar y ordenar los números enteros.
¿Cómo la construimos?
- Dibujamos una línea recta horizontal.
- Marcamos un punto de referencia: el cero.
- A la derecha del cero, a distancias iguales, ubicamos los enteros positivos: \(1,2,3,4,\ldots\)
- A la izquierda del cero, con la misma separación, ubicamos los enteros negativos: \(-1,-2,-3,-4,\ldots\)
La regla de oro del orden
- Un número es mayor que otro si está más a la derecha en la recta numérica.
- Un número es menor que otro si está más a la izquierda en la recta numérica.
Orden en los Números Enteros
Símbolos de comparación
La recta numérica permite comparar dos números enteros. Para eso usamos los siguientes símbolos:
- \(<\): menor que
- \(>\): mayor que
- \(=\): igual a
- \(\leq\): menor o igual que
- \(\geq\): mayor o igual que
Ejemplos de comparación
- \(2<5\), porque \(2\) está a la izquierda de \(5\).
- \(-3>-7\), porque \(-3\) está a la derecha de \(-7\).
- \(0>-2\), porque \(0\) está a la derecha de \(-2\).
- \(-1<4\), porque \(-1\) está a la izquierda de \(4\).
Ejercicio 1
Completa con \( < \), \( > \) o \( = \), según corresponda.
- \(-4\ \_\_\_\ 2\)
- \(0\ \_\_\_\ -6\)
- \(-1\ \_\_\_\ -1\)
- \(-10\ \_\_\_\ -1\)
- \(5\ \_\_\_\ 1\)
- \(7\ \_\_\_\ 7\)
- \(-4<2\), porque \(-4\) está a la izquierda de \(2\) en la recta numérica.
- \(0>-6\), porque \(0\) está a la derecha de \(-6\).
- \(-1=-1\), porque ambos números son iguales.
- \(-10<-1\), porque \(-10\) está más a la izquierda que \(-1\).
- \(5>1\), porque \(5\) está a la derecha de \(1\).
- \(7=7\), porque ambos números son iguales.
Ejercicio 2
Ordena los siguientes números de menor a mayor, visualizándolos en la recta numérica:
\[ \{-3,\ 5,\ 0,\ -2,\ 4,\ -6\} \]
Para ordenar de menor a mayor, ubicamos primero los números que están más a la izquierda en la recta numérica.
El menor es \(-6\), luego vienen \(-3\), \(-2\), \(0\), \(4\) y \(5\).
Por lo tanto:
\[ \{-6,\ -3,\ -2,\ 0,\ 4,\ 5\} \]
Ejercicio 3
Escribe tres números enteros que sean menores que \(-2\).
Los números menores que \(-2\) están a la izquierda de \(-2\) en la recta numérica.
Una respuesta posible es:
\[ -3,\ -4,\ -5 \]
También podrían servir otros números como \(-6\), \(-10\) o \(-100\).
Ejercicio 4
Escribe tres números enteros que sean mayores que \(-5\) y menores que \(3\).
Los números enteros mayores que \(-5\) y menores que \(3\) son:
\[ -4,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 \]
Como se piden tres números, una respuesta posible es:
\[ -4,\ -1,\ 2 \]
Número opuesto
Cada número entero tiene un opuesto, que es el mismo número con signo contrario.
Dos números opuestos están a igual distancia del cero, pero en sentidos contrarios sobre la recta numérica.
Se dice que dos números son opuestos porque al sumarlos el resultado es cero, que es el neutro aditivo.
- El opuesto de \(3\) es \(-3\), porque \(3+(-3)=0\).
- El opuesto de \(-8\) es \(8\), porque \(-8+8=0\).
- El opuesto de \(0\) es \(0\), porque \(0+0=0\).
Comprensión del número opuesto
Determina el opuesto de cada número o expresión.
- ¿Cuál es el opuesto de \(-15\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(12\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(0\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(-1\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(-999\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(x\)?
- ¿Cuál es el opuesto de \(-a\)?
- El opuesto de \(-15\) es \(15\), porque \(-15+15=0\).
- El opuesto de \(12\) es \(-12\), porque \(12+(-12)=0\).
- El opuesto de \(0\) es \(0\), porque \(0+0=0\).
- El opuesto de \(-1\) es \(1\), porque \(-1+1=0\).
- El opuesto de \(-999\) es \(999\), porque \(-999+999=0\).
- El opuesto de \(x\) es \(-x\), porque \(x+(-x)=0\).
- El opuesto de \(-a\) es \(a\), porque \(-a+a=0\).
Opuesto del opuesto
El opuesto del opuesto de un número es el mismo número:
\[ -(-a)=a \]
Esto ocurre porque cambiar el signo dos veces devuelve el número original.
Opuesto del opuesto
Calcula cada expresión.
- \(-(-3)\)
- \(-(-10)\)
- \(-(-0)\)
- \(-(-7)\)
- \(-(-(-2))\)
- \(-(-x)\)
- \(-(-(-a))\)
- \(-(-3)=3\), porque el opuesto de \(-3\) es \(3\).
- \(-(-10)=10\), porque el opuesto de \(-10\) es \(10\).
- \(-(-0)=0\), porque \(0\) no es positivo ni negativo y su opuesto es \(0\).
- \(-(-7)=7\), porque el opuesto de \(-7\) es \(7\).
- \(-(-(-2))=-2\). Primero, \(-(-2)=2\); luego, \(-2\).
- \(-(-x)=x\), porque el opuesto del opuesto de \(x\) es \(x\).
- \(-(-(-a))=-a\). Primero, \(-(-a)=a\); luego, \(-a\).
Valor Absoluto
Valor absoluto
El valor absoluto de un número entero es su distancia al cero en la recta numérica.
Como representa una distancia, el valor absoluto siempre es positivo o cero.
Se representa encerrando el número entre dos barras verticales:
\[ |a| \]
- \(|5|=5\), porque la distancia de \(5\) al \(0\) es \(5\) unidades.
- \(|-3|=3\), porque la distancia de \(-3\) al \(0\) es \(3\) unidades.
- \(|0|=0\), porque la distancia de \(0\) a sí mismo es \(0\).
Ejercicio 5
Calcula el valor absoluto de los siguientes números.
- \(|-8|\)
- \(|7|\)
- \(|-1|\)
- \(|0|\)
- \(|15|\)
- \(|-10|\)
- \(|-8|=8\), porque \(-8\) está a \(8\) unidades del cero.
- \(|7|=7\), porque \(7\) está a \(7\) unidades del cero.
- \(|-1|=1\), porque \(-1\) está a \(1\) unidad del cero.
- \(|0|=0\), porque \(0\) está a \(0\) unidades de sí mismo.
- \(|15|=15\), porque \(15\) está a \(15\) unidades del cero.
- \(|-10|=10\), porque \(-10\) está a \(10\) unidades del cero.
No confundas el orden con la distancia al cero
Un error común es pensar que un número negativo como \(-8\) es mayor que \(2\) porque su distancia al cero es mayor.
Sin embargo, en la recta numérica \(-8\) está más a la izquierda que \(2\), por lo tanto:
\[ -8<2 \]
Para comparar números enteros, siempre debemos mirar su ubicación en la recta numérica:
- El número que está más a la derecha es mayor.
- El número que está más a la izquierda es menor.
Aclaración: “más grande” y “más pequeño” pueden ser ambiguos
Las expresiones “más grande” y “más pequeño” pueden causar confusión, porque a veces se usan para hablar del valor del número y otras veces para hablar de su valor absoluto.
Por ejemplo:
\[ |-8|=8 \qquad \text{y} \qquad |2|=2 \]
Entonces, \(-8\) tiene mayor valor absoluto que \(2\), porque está más lejos del cero.
Pero eso no significa que \(-8\) sea mayor que \(2\). En la recta numérica se cumple:
\[ -8<2 \]
Por eso, cuando comparamos enteros, es mejor usar las palabras mayor y menor, y reservar el valor absoluto para hablar de la distancia al cero.
Piensa en deudas
Si representamos una deuda como un número negativo, deber \(\$2\) corresponde a \(-2\), mientras que deber \(\$8\) corresponde a \(-8\).
Aunque \(8\) es mayor que \(2\) como distancia al cero, es mejor deber \(\$2\) que deber \(\$8\).
Por eso, en términos de orden:
\[ -2>-8 \]