Libro Números Enteros
4. Operaciones con Números Enteros: Suma y Resta
Entendiendo los números enteros con dinero
Imagina que el dinero que tienes son números positivos y el dinero que debes son números negativos. Esta interpretación ayuda a comprender la suma y la resta de números enteros.
- Si tienes \(\$5\) y recibes \(\$3\) más: \(5+3=8\). Ahora tienes \(\$8\).
- Si debes \(\$4\) y pides prestado \(\$2\) más: \((-4)+(-2)=-6\). Ahora tu deuda total es de \(\$6\).
- Si debes \(\$7\) pero solo tienes \(\$5\): \((-7)+5=-2\). Después de pagar, todavía debes \(\$2\).
- Si tienes \(\$8\) y pagas una deuda de \(\$3\): \(8+(-3)=5\). Después de pagar, te quedan \(\$5\).
Suma de Números Enteros
Reglas para sumar enteros
1. Números con el mismo signo: se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo común.
- \(3+5=8\)
- \((-4)+(-2)=-6\)
2. Números con distinto signo: se restan sus valores absolutos y el resultado queda con el signo del número que tiene mayor valor absoluto.
- \(7+(-2)=5\), porque \(7\) tiene mayor valor absoluto que \(2\).
- \((-8)+3=-5\), porque \(8\) tiene mayor valor absoluto que \(3\).
Visualizando la suma en la recta numérica
Usar la recta numérica es una estrategia visual para comprender cómo se comportan los números enteros.
- Sumar un número positivo significa moverse hacia la derecha.
- Sumar un número negativo significa moverse hacia la izquierda.
Caso 1: positivo + positivo
Calculemos:
\[ 3+2 \]
Partimos del \(3\). Como sumamos \(2\), nos movemos 2 unidades hacia la derecha.
Entonces:
\[ 3+2=5 \]
Caso 2: negativo + negativo
Calculemos:
\[ (-4)+(-1) \]
Partimos del \(-4\). Como sumamos \(-1\), nos movemos 1 unidad hacia la izquierda.
Entonces:
\[ (-4)+(-1)=-5 \]
Caso 3: positivo + negativo
Calculemos:
\[ 5+(-3) \]
Partimos del \(5\). Como sumamos \(-3\), nos movemos 3 unidades hacia la izquierda.
Entonces:
\[ 5+(-3)=2 \]
Caso 4: negativo + positivo
Calculemos:
\[ (-2)+6 \]
Partimos del \(-2\). Como sumamos \(6\), nos movemos 6 unidades hacia la derecha.
Entonces:
\[ (-2)+6=4 \]
Resta de Números Enteros
Idea clave: transformar la resta en suma
Restar un número entero es lo mismo que sumar su opuesto.
En general:
\[ a-b=a+(-b) \]
Por ejemplo:
\[ 5-3=5+(-3) \]
Cuidado al restar un número negativo
Restar un número negativo significa sumar su opuesto positivo.
Por ejemplo:
\[ 4-(-1)=4+1=5 \]
Este paso es importante porque dos signos menos seguidos se transforman en una suma.
Restar es sumar el opuesto
Para resolver una resta de enteros, primero se transforma en una suma del opuesto.
- \(5-3=5+(-3)=2\)
- \(-2-6=-2+(-6)=-8\)
- \(4-(-1)=4+1=5\)
- \(-7-(-3)=-7+3=-4\)
Estrategias para operaciones combinadas
Cuando aparece una cadena de sumas y restas, conviene transformar primero todas las restas en sumas del opuesto.
Luego se puede usar una de estas estrategias:
- Método directo: operar de izquierda a derecha, paso a paso.
- Método de agrupar: juntar los términos positivos, juntar los términos negativos y luego sumar ambos resultados.
Ejemplo 1: operaciones combinadas
Resolvamos:
\[ 2+(-5)-(-3)+1-4 \]
Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.
\[ 2+(-5)+3+1+(-4) \]
Método directo:
\[ 2+(-5)=-3 \]
\[ -3+3=0 \]
\[ 0+1=1 \]
\[ 1+(-4)=-3 \]
Método de agrupar:
Positivos:
\[ 2+3+1=6 \]
Negativos:
\[ (-5)+(-4)=-9 \]
Resultado:
\[ 6+(-9)=-3 \]
Por lo tanto:
\[ 2+(-5)-(-3)+1-4=-3 \]
Ejemplo 2: operaciones combinadas
Resolvamos:
\[ -6-2+(-1)-(-7)+4 \]
Paso 1: transformamos las restas en sumas del opuesto.
\[ -6+(-2)+(-1)+7+4 \]
Método directo:
\[ -6+(-2)=-8 \]
\[ -8+(-1)=-9 \]
\[ -9+7=-2 \]
\[ -2+4=2 \]
Método de agrupar:
Positivos:
\[ 7+4=11 \]
Negativos:
\[ (-6)+(-2)+(-1)=-9 \]
Resultado:
\[ 11+(-9)=2 \]
Por lo tanto:
\[ -6-2+(-1)-(-7)+4=2 \]
Práctica Guiada: Suma y Resta de Enteros
Instrucción
Los ejercicios están organizados en niveles. Resuelve cada nivel y luego presiona el botón correspondiente para revisar las soluciones.
Nivel 1: Suma de números positivos
- \((+7)+(+3)=\)
- \((+9)+(+8)=\)
- \((+2)+(+6)+(+4)=\)
- \((+5)+(+1)+(+9)=\)
- \(11+4=\)
- \(15+8=\)
- \(20+12=\)
- \(3+6+9=\)
- \(10+20+5=\)
- \(7+2+11=\)
- \((+7)+(+3)=10\)
- \((+9)+(+8)=17\)
- \((+2)+(+6)+(+4)=12\)
- \((+5)+(+1)+(+9)=15\)
- \(11+4=15\)
- \(15+8=23\)
- \(20+12=32\)
- \(3+6+9=18\)
- \(10+20+5=35\)
- \(7+2+11=20\)
En todos los casos se suman cantidades positivas, por lo que el resultado es positivo.
Nivel 2: Suma de números negativos
- \((-5)+(-4)=\)
- \((-8)+(-6)=\)
- \((-10)+(-2)=\)
- \((-15)+(-5)=\)
- \((-1)+(-9)=\)
- \((-2)+(-3)+(-4)=\)
- \((-7)+(-1)+(-2)=\)
- \((-5)+(-5)+(-5)=\)
- \((-10)+(-20)+(-30)=\)
- \((-8)+(-2)+(-10)=\)
- \((-5)+(-4)=-9\)
- \((-8)+(-6)=-14\)
- \((-10)+(-2)=-12\)
- \((-15)+(-5)=-20\)
- \((-1)+(-9)=-10\)
- \((-2)+(-3)+(-4)=-9\)
- \((-7)+(-1)+(-2)=-10\)
- \((-5)+(-5)+(-5)=-15\)
- \((-10)+(-20)+(-30)=-60\)
- \((-8)+(-2)+(-10)=-20\)
Como todos los términos son negativos, se suman sus valores absolutos y se conserva el signo negativo.
Nivel 3: Suma con signos mixtos
- \(12+(-5)=\)
- \(8+(-10)=\)
- \(20+(-25)=\)
- \((-7)+3=\)
- \((-15)+20=\)
- \((-9)+9=\)
- \(6+(-10)+2=\)
- \((-8)+12+(-3)=\)
- \(20+(-5)+(-15)=\)
- \(-3+13+(-10)=\)
- \(12+(-5)=7\), porque \(12-5=7\).
- \(8+(-10)=-2\), porque \(10-8=2\) y domina el negativo.
- \(20+(-25)=-5\), porque \(25-20=5\) y domina el negativo.
- \((-7)+3=-4\), porque \(7-3=4\) y domina el negativo.
- \((-15)+20=5\), porque \(20-15=5\) y domina el positivo.
- \((-9)+9=0\), porque son números opuestos.
- \(6+(-10)+2=8+(-10)=-2\).
- \((-8)+12+(-3)=4+(-3)=1\).
- \(20+(-5)+(-15)=20+(-20)=0\).
- \(-3+13+(-10)=10+(-10)=0\).
Nivel 4: Resta de números enteros
Recuerda: restar un número es lo mismo que sumar su opuesto.
- \(20-8=\)
- \(10-17=\)
- \(30-(+10)=\)
- \(-15-5=\)
- \(-9-11=\)
- \((-7)-(+8)=\)
- \(14-(-6)=\)
- \(10-(-10)=\)
- \(5-(-15)=\)
- \((-8)-(-5)=\)
- \((-12)-(-20)=\)
- \((-9)-(-9)=\)
- \(20-8=20+(-8)=12\)
- \(10-17=10+(-17)=-7\)
- \(30-(+10)=30+(-10)=20\)
- \(-15-5=-15+(-5)=-20\)
- \(-9-11=-9+(-11)=-20\)
- \((-7)-(+8)=-7+(-8)=-15\)
- \(14-(-6)=14+6=20\)
- \(10-(-10)=10+10=20\)
- \(5-(-15)=5+15=20\)
- \((-8)-(-5)=-8+5=-3\)
- \((-12)-(-20)=-12+20=8\)
- \((-9)-(-9)=-9+9=0\)
Nivel 5: Operaciones combinadas
Usa la estrategia que prefieras: operar de izquierda a derecha o agrupar positivos y negativos.
- \(8-10+3=\)
- \(-5-4+12=\)
- \(10+(-5)-6=\)
- \(15-20+5-1=\)
- \(-7-3+10-2=\)
- \(20-(-10)-5=\)
- \(-8-(-4)+(-5)=\)
- \(14-9-(-2)+1=\)
- \(-3+(-7)-(-10)+1=\)
- \(30-40+(-5)-(-15)=\)
- \(8-10+3=-2+3=1\)
- \(-5-4+12=-9+12=3\)
- \(10+(-5)-6=5-6=-1\)
- \(15-20+5-1=-5+5-1=-1\)
- \(-7-3+10-2=-10+10-2=-2\)
- \(20-(-10)-5=20+10-5=25\)
- \(-8-(-4)+(-5)=-8+4+(-5)=-4+(-5)=-9\)
- \(14-9-(-2)+1=14-9+2+1=8\)
- \(-3+(-7)-(-10)+1=-10+10+1=1\)
- \(30-40+(-5)-(-15)=-10+(-5)+15=0\)
Encuentra el sumando faltante
- \(4+\_\_\_=1\)
- \(\_\_\_+(-3)=-8\)
- \(-2+\_\_\_=5\)
- \(\_\_\_+7=0\)
- \(-9+\_\_\_=-4\)
- \(\_\_\_+(-1)=-1\)
- \(4+(-3)=1\), por lo tanto el sumando faltante es \(-3\).
- \((-5)+(-3)=-8\), por lo tanto el sumando faltante es \(-5\).
- \(-2+7=5\), por lo tanto el sumando faltante es \(7\).
- \(-7+7=0\), por lo tanto el sumando faltante es \(-7\).
- \(-9+5=-4\), por lo tanto el sumando faltante es \(5\).
- \(0+(-1)=-1\), por lo tanto el sumando faltante es \(0\).
Problemas con Números Enteros
Problema 1: temperatura
La temperatura en la mañana era de \(-3^\circ\text{C}\). Al mediodía, la temperatura subió \(8^\circ\text{C}\). Por la noche, bajó \(5^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la temperatura al final del día?
La temperatura inicial es \(-3^\circ\text{C}\).
Luego sube \(8^\circ\text{C}\), por eso sumamos \(8\). Después baja \(5^\circ\text{C}\), por eso restamos \(5\).
\[ -3+8-5=5-5=0 \]
La temperatura final fue de \(0^\circ\text{C}\).
Problema 2: submarino
Un submarino se encuentra a \(-120\) metros, es decir, 120 metros bajo el nivel del mar. Primero asciende 40 metros. Luego desciende 65 metros. ¿A qué profundidad se encuentra finalmente?
La posición inicial es \(-120\) metros.
Ascender significa sumar \(40\), y descender significa restar \(65\).
\[ -120+40-65=-80-65=-145 \]
El submarino se encuentra finalmente a \(-145\) metros, es decir, 145 metros bajo el nivel del mar.
Problema 3: cuenta bancaria
Ana tenía \(\$50\) en su cuenta bancaria. Hizo un retiro de \(\$80\), luego depositó \(\$35\) y finalmente hizo otro retiro de \(\$20\). ¿Cuál es el saldo de su cuenta?
El saldo inicial es \(50\).
Los retiros se representan con restas y el depósito con una suma.
\[ 50-80+35-20 \]
Calculamos:
\[ 50-80=-30 \]
\[ -30+35=5 \]
\[ 5-20=-15 \]
El saldo final es \(-15\), es decir, Ana tiene una deuda de \(\$15\).
Problema 4: pasos en un juego
En un juego, Juan avanzó 5 pasos, retrocedió 9 pasos, luego avanzó 3 pasos y finalmente retrocedió 2 pasos. ¿Cuál es su posición final respecto al punto de inicio?
Avanzar se representa con números positivos y retroceder con números negativos.
\[ 5-9+3-2 \]
Calculamos:
\[ 5-9=-4 \]
\[ -4+3=-1 \]
\[ -1-2=-3 \]
Juan queda en la posición \(-3\), es decir, 3 pasos detrás del punto de inicio.
Problema 5: ascensor
Un ascensor se encuentra en el piso 3. Sube 5 pisos, luego baja 9 pisos, sube 2 pisos y finalmente baja 6 pisos. ¿En qué piso se encuentra al final?
La posición inicial es el piso \(3\).
Subir se representa con suma y bajar con resta.
\[ 3+5-9+2-6 \]
Calculamos:
\[ 3+5=8 \]
\[ 8-9=-1 \]
\[ -1+2=1 \]
\[ 1-6=-5 \]
El ascensor se encuentra en el piso \(-5\), es decir, en el quinto subterráneo.