Libro Números Enteros

5. Problemas de Variación con Números Enteros

¿Qué es una variación?

En este tipo de problemas, nos interesa encontrar la variación entre dos valores.

La variación muestra cómo ha cambiado una cantidad, ya sea aumentando, disminuyendo o manteniéndose igual.

Fórmula clave de variación

Para encontrar la variación entre dos números enteros, usamos siempre la siguiente fórmula:

\[ \text{Variación}=\text{Valor final}-\text{Valor inicial} \]

Si el resultado es positivo, indica un aumento o incremento.
Si el resultado es negativo, indica una disminución o decremento.
Si el resultado es cero, indica que no hubo cambio.

Ejemplos Resueltos

1. Variación de temperatura

Problema: La temperatura a las 8:00 AM era de $-3^\circ\text{C}$ y a las 12:00 PM era de $7^\circ\text{C}$. ¿Cuál fue la variación de temperatura?

Identificamos los datos:

Valor inicial: $-3^\circ\text{C}$
Valor final: $7^\circ\text{C}$

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=7-(-3) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ 7-(-3)=7+3=10 \]

La variación de temperatura fue de $10^\circ\text{C}$. Como el resultado es positivo, hubo un aumento de $10^\circ\text{C}$.

2. Cambio de altitud

Problema: Un buzo se encontraba a $-15$ metros y descendió hasta $-25$ metros. ¿Cuál fue la variación en su altitud?

Identificamos los datos:

Valor inicial: $-15$ m
Valor final: $-25$ m

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=-25-(-15) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ -25-(-15)=-25+15=-10 \]

La variación fue de $-10$ metros. Como el resultado es negativo, hubo un descenso de 10 metros.

3. Diferencia de dinero

Problema: Ana tenía $\$12$ en su cuenta y luego de una transacción su saldo quedó en $-\$5$. ¿Cuál fue la variación en su saldo?

Identificamos los datos:

Valor inicial: $12$
Valor final: $-5$

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=-5-12 \]

Calculamos:

\[ -5-12=-17 \]

La variación en el saldo fue de $-\$17$. Como el resultado es negativo, hubo una disminución de $\$17$.

4. Cambio de posición

Problema: Un objeto se mueve desde la posición $-4$ en una recta numérica hasta la posición $3$. ¿Cuál fue la variación en su posición?

Identificamos los datos:

Valor inicial: $-4$
Valor final: $3$

Aplicamos la fórmula:

\[ \text{Variación}=3-(-4) \]

Restar un número negativo equivale a sumar su opuesto:

\[ 3-(-4)=3+4=7 \]

La variación fue de $7$ unidades. Como el resultado es positivo, hubo un desplazamiento de 7 unidades hacia la derecha.

Cuidado: diferencia no siempre significa variación

En el lenguaje común, a veces se usa la palabra “diferencia” para referirse solo a qué tan lejos están dos números, sin importar el orden.

En cambio, en matemática y ciencias, la variación indica tanto la magnitud como la dirección del cambio.

Por eso, en estos problemas usaremos siempre:

\[ \text{Variación}=\text{Valor final}-\text{Valor inicial} \]

Ejemplo de la diferencia entre distancia y variación

Si la temperatura baja de $8^\circ\text{C}$ a $2^\circ\text{C}$, alguien podría decir que la diferencia es de $6^\circ\text{C}$. Esa cantidad indica solo la distancia entre ambos valores.

Pero la variación se calcula como valor final menos valor inicial:

\[ 2-8=-6 \]

El signo negativo es importante, porque indica que la temperatura disminuyó.

Ejercicios de Práctica

Variaciones con números enteros

La temperatura en la mañana era de $2^\circ\text{C}$ y en la tarde era de $-1^\circ\text{C}$. ¿Cuál fue la variación de temperatura?
Un submarino estaba a $-180$ metros y ascendió a $-120$ metros. ¿Cuál fue la variación en su posición?
Juan tenía una deuda de $\$25$, representada como $-\$25$, y luego de hacer un pago su deuda quedó en $-\$10$. ¿Cuál fue la variación en su saldo?
Un ascensor estaba en el piso $8$ y bajó al piso $-1$. ¿Cuál fue la variación en su posición?
En un juego, un jugador tenía $-7$ puntos y luego llegó a $15$ puntos. ¿Cuál fue la variación en su puntaje?
Un auto se mueve de la posición $5$ a la posición $-2$ en una carretera recta. ¿Cuál fue la variación en su posición?
La temperatura al inicio de un experimento era de $-5^\circ\text{C}$ y al final era de $-12^\circ\text{C}$. ¿Cuál fue la variación de temperatura?