Potencias de Números Enteros

Hasta ahora, hemos trabajado con potencias de números naturales, donde la base y el exponente son números positivos. Ahora, ampliaremos nuestro estudio a las potencias de **números enteros**, incluyendo bases negativas y exponentes enteros (positivos o cero).

Analizando el caso de la base unitaria negativa (-1)

\( \begin{array}{lcr}

(-1)^1 & = (-1)  & =-1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^2 & = (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^3 & = (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo) \\
(-1)^4 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Par, Resultado Positivo) \\
(-1)^5 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)\\
(-1)^6 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)\\
(-1)^7 & = (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) & =-1 & (Exponente Impar, Resultado Negativo)

 \end{array} \)

Potencias de Base Negativa

Cuando la base de una potencia es un número entero negativo, el signo del resultado depende de si el exponente es par o impar.

• Exponente par: Si el exponente es par, el resultado será **positivo**. Esto se debe a que un número negativo multiplicado por sí mismo un número par de veces se convierte en positivo.
• Exponente impar: Si el exponente es impar, el resultado será **negativo**. Esto se debe a que un número negativo multiplicado por sí mismo un número impar de veces permanece negativo.

Ejemplos:

Potencias con Exponente Par e Impar

Resumiendo lo anterior:

• Base Negativa y Exponente Par:
  • Ejemplo: \((-3)^4\)
  • Explicación: \((-3)^4 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = 81\)
  • Resultado: Positivo
• Base Negativa y Exponente Impar:
  • Ejemplo: \((-3)^5\)
  • Explicación: \((-3)^5 = (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) \times (-3) = -243\)
  • Resultado: Negativo
• Base Positiva: No importa si el exponente es par o impar, el resultado siempre será positivo.

Descomposición de Potencias de Base Negativa

Cuando tenemos una potencia con base negativa, como \((-a)^n\), podemos descomponerla en un producto de \((-1)^n\) y \(a^n\). Esto nos permite simplificar los cálculos y entender mejor el efecto del signo negativo.

Ejemplo:

\((-a)^5\) puede descomponerse como \((-1)^5 \times a^5\).

Explicación:

• Caso con exponente impar (Ejemplo: 5):
  \((-a)^5 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a)\)
  Esto es equivalente a \((-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a\)
  Reordenando, obtenemos \((-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times a \times a \times a \times a \times a\)
  Que es igual a \((-1)^5 \times a^5\)
  Como \((-1)\) elevado a un exponente impar es -1, el resultado es \(-1 \times a^5 = -a^5\)
• Caso con exponente par (Ejemplo: 4):
  \((-a)^4 = (-a) \times (-a) \times (-a) \times (-a)\)
  Esto es equivalente a \((-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a \times (-1) \times a\)
  Reordenando, obtenemos \((-1) \times (-1) \times (-1) \times (-1) \times a \times a \times a \times a\)
  Que es igual a \((-1)^4 \times a^4\)
  Como \((-1)\) elevado a un exponente par es 1, el resultado es \(1 \times a^4 = a^4\)

Ejercicios:

1. \((-4)^2\)
2. \((-2)^5\)
3. \((-1)^7\)
4. \((-5)^3\)
5. \((-3)^4\)
6. \((-10)^2\)
7. \((-1)^6\)
8. \((-2)^7\)
9. Si \((-2)^x = -8\), ¿cuánto vale \(x\)?
10. Si \((-3)^x = 81\), ¿cuánto vale \(x\)?
11. \((-a)^8\) (Simplificar)
12. \((-a)^9\) (Simplificar)
13. \((-2 \times a)^3\) (Simplificar)
14. \((-b \div 2)^2\) (Simplificar)
15. \((-1)^x\), donde \(x\) es un número par. (Simplificar)

Problemas:

1. La temperatura en una ciudad en la noche es de \(-3^1\) grados Celsius, y al amanecer la temperatura se multiplica por si misma 3 veces. ¿A qué temperatura amaneció la ciudad?
2. En un juego, cada vez que pierdes, tu puntaje se multiplica por \((-2)^1\). Si inicias con 5 puntos y pierdes 3 veces seguidas, ¿cuál es tu puntaje final?
3. Si \((-2)^x = 16\), ¿cuál es el valor de \(x\)? Y si \((-2)^y = -32\), ¿cuál es el valor de \(y\)? ¿Qué puedes concluir sobre la relación entre el signo del resultado y la paridad del exponente?