Libro Números Enteros

6. Multiplicación, Operaciones con Números Enteros

Entendiendo la regla de los signos

Para multiplicar números enteros, no basta con multiplicar los valores numéricos: también debemos determinar el signo del resultado.

Las reglas pueden memorizarse, pero comprender su sentido ayuda a aplicarlas con mayor seguridad.

Multiplicación como saltos repetidos

Cuando multiplicamos un número positivo por otro número, podemos interpretarlo como una suma repetida.

Por ejemplo:

\[ 3\cdot 4=4+4+4=12 \]

Positivo por negativo

Si repetimos varias veces un número negativo, avanzamos hacia la izquierda en la recta numérica.

Por ejemplo:

\[ 5\cdot(-3)=(-3)+(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=-15 \]

Negativo por negativo

Para entender un producto como $(-5)\cdot(-3)$, primero observamos el producto $5\cdot(-3)$:

\[ 5\cdot(-3)=-15 \]

Luego, multiplicar por $-5$ en lugar de $5$ se puede interpretar como tomar el opuesto del resultado anterior:

\[ (-5)\cdot(-3)=-(5\cdot(-3))=-(-15)=15 \]

Por eso, el resultado final queda al lado contrario de $-15$, es decir, en $15$.

Patrón numérico para entender menos por menos

Otra forma de comprender por qué negativo por negativo da positivo es observar un patrón.

\[ 2\cdot(-2)=-4 \]

\[ 1\cdot(-2)=-2 \]

\[ 0\cdot(-2)=0 \]

Para mantener el patrón, los resultados aumentan de 2 en 2:

\[ (-1)\cdot(-2)=2 \]

\[ (-2)\cdot(-2)=4 \]

Por eso, el producto de dos números negativos es positivo.

Reglas formales de la multiplicación

Si los signos son iguales, el resultado es positivo.
Si los signos son distintos, el resultado es negativo.
Cualquier número multiplicado por cero da como resultado cero.

En resumen

Signo factor 1	Signo factor 2	Signo resultado
+	+	+
-	-	+
+	-	-
-	+	-

Ejemplos: números con el mismo signo

Cuando los dos factores tienen el mismo signo, el resultado es positivo.

Positivo por positivo: \[ 4\cdot 6=24 \]
Negativo por negativo: \[ (-5)\cdot(-3)=15 \]

Ejemplos: números con distinto signo

Cuando los dos factores tienen signos distintos, el resultado es negativo.

Positivo por negativo: \[ 7\cdot(-2)=-14 \]
Negativo por positivo: \[ (-8)\cdot 3=-24 \]

Ejemplos: multiplicación por cero

Cualquier número entero multiplicado por cero da como resultado cero.

$9\cdot 0=0$
$(-5)\cdot 0=0$
$0\cdot 0=0$

Atajo para multiplicar varios números

Cuando multiplicas varios números enteros, puedes determinar el signo final contando cuántos factores negativos hay.

Si la cantidad de factores negativos es par, el resultado final será positivo.
Si la cantidad de factores negativos es impar, el resultado final será negativo.

Ejemplos: multiplicación de varios factores

\[ 2\cdot(-3)\cdot 4=-24 \]

Hay 1 factor negativo. Como 1 es impar, el resultado es negativo.
\[ (-1)\cdot(-5)\cdot 2=10 \]

Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.
\[ (-2)\cdot(-3)\cdot(-4)=-24 \]

Hay 3 factores negativos. Como 3 es impar, el resultado es negativo.
\[ (-1)\cdot 2\cdot(-3)\cdot 4=24 \]

Hay 2 factores negativos. Como 2 es par, el resultado es positivo.

Problemas Resueltos

Ejemplo 1: descenso de temperatura

Problema: Si la temperatura baja $2^\circ\text{C}$ cada hora, ¿cuál será el cambio total de temperatura después de 4 horas?

Una baja de $2^\circ\text{C}$ se representa como $-2$.

Cambio por hora: $-2^\circ\text{C}$
Tiempo: $4$ horas

Calculamos:

\[ (-2)\cdot 4=-8 \]

La temperatura habrá bajado $8^\circ\text{C}$ en total.

Ejemplo 2: deuda acumulada

Problema: Juan le debe $\$5$ a cada uno de sus 3 amigos. ¿Cuánto dinero debe en total?

Una deuda de $\$5$ se representa como $-5$.

Deuda por amigo: $-\$5$
Cantidad de amigos: $3$

Calculamos:

\[ (-5)\cdot 3=-15 \]

Juan debe $\$15$ en total.

Ejercicios de Práctica

Cálculos básicos: multiplicación con dos factores

$8\cdot 5=$
$7\cdot 9=$
$12\cdot 4=$
$6\cdot(-7)=$
$10\cdot(-3)=$
$5\cdot(-11)=$
$(-9)\cdot 4=$
$(-6)\cdot 8=$
$(-12)\cdot 2=$
$(-7)\cdot(-5)=$
$(-10)\cdot(-10)=$
$(-4)\cdot(-9)=$

Cálculos básicos: multiplicación con varios factores

$2\cdot(-3)\cdot 5=$
$(-4)\cdot 6\cdot 2=$
$(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=$
$7\cdot(-2)\cdot(-1)\cdot(-2)=$
$(-5)\cdot(-4)\cdot 2=$
$3\cdot(-3)\cdot(-6)=$
$(-2)\cdot 5\cdot(-3)\cdot 2=$
$(-1)\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-5)=$

Encuentra el factor faltante

$4\cdot\_\_\_=-12$
$\_\_\_\cdot(-5)=20$
$-7\cdot\_\_\_=-14$
$\_\_\_\cdot 8=-32$
$-2\cdot\_\_\_\cdot 3=18$
$-5\cdot(-2)\cdot\_\_\_=-40$

Resolución de problemas

Un submarino desciende 30 metros por minuto. Si comienza en la superficie, es decir, en $0$ metros, ¿a qué profundidad estará después de 5 minutos?
Una empresa pierde $\$100$ por cada hora que no produce. Si la producción estuvo detenida durante 8 horas, ¿cuál fue la pérdida total?
En un juego, un jugador pierde 4 puntos por cada error que comete. Si comete 6 errores, ¿cuál será su puntaje final si partió en $0$?
Si la temperatura baja $3^\circ\text{C}$ cada hora y la temperatura actual es de $5^\circ\text{C}$, ¿cuál será la temperatura después de 6 horas?
Un buzo se encuentra a $-12$ metros y desciende a una velocidad de 2 metros por segundo durante 7 segundos. ¿A qué profundidad final estará?