Libro Números Enteros
7. División, Operaciones con Números Enteros
Idea clave: la división es la inversa de la multiplicación
La división de números enteros se puede entender como la operación inversa de la multiplicación.
Por ejemplo, si sabemos que:
\[ 5\cdot 3=15 \]
Entonces también sabemos que:
- \(15\div 3=5\)
- \(15\div 5=3\)
En otras palabras, \(15\div 3=5\) responde a la pregunta: ¿cuántos grupos de \(3\) forman \(15\)?
Usaremos esta idea para comprender la regla de los signos en la división.
Deduciendo la regla de los signos
Como la división es la operación inversa de la multiplicación, podemos preguntarnos:
¿Por qué número debo multiplicar el divisor para obtener el dividendo?
Caso 1: positivo dividido por positivo
| Razonamiento | Conclusión |
|---|---|
| Para resolver \(12\div 4\), preguntamos: \[ 4\cdot ?=12 \] La respuesta es \(3\). | \[ (+)\div(+)=(+) \] |
Caso 2: negativo dividido por positivo
| Razonamiento | Conclusión |
|---|---|
| Para resolver \((-12)\div 4\), preguntamos: \[ 4\cdot ?=-12 \] La respuesta debe ser negativa: \(-3\). | \[ (-)\div(+)=(-) \] |
Caso 3: positivo dividido por negativo
| Razonamiento | Conclusión |
|---|---|
| Para resolver \(12\div(-4)\), preguntamos: \[ (-4)\cdot ?=12 \] La respuesta debe ser negativa: \(-3\). | \[ (+)\div(-)=(-) \] |
Caso 4: negativo dividido por negativo
| Razonamiento | Conclusión |
|---|---|
| Para resolver \((-12)\div(-4)\), preguntamos: \[ (-4)\cdot ?=-12 \] La respuesta debe ser positiva: \(3\). | \[ (-)\div(-)=(+) \] |
La regla de los signos para la división es la misma que para la multiplicación.
Resumen: regla de los signos para la división
- Si los signos son iguales, el resultado es positivo.
- Si los signos son distintos, el resultado es negativo.
| Dividendo | Divisor | Signo del cociente |
|---|---|---|
| + | + | + |
| - | - | + |
| + | - | - |
| - | + | - |
Cuidado con el cero en la división
El cero requiere atención especial cuando trabajamos con divisiones.
- Cero dividido por un número distinto de cero: el resultado es \(0\). \[ 0\div(-5)=0 \]
- Un número dividido por cero: no está definido en matemática. \[ 8\div 0 \text{ no está definido} \]
La división no siempre da un número entero
A diferencia de la suma, la resta y la multiplicación, la división de dos números enteros no siempre da como resultado otro número entero.
Por ejemplo:
\[ 8\div 2=4 \]
El resultado es entero. Pero:
\[ 8\div 5=1{,}6 \]
El resultado no es un número entero.
Cuidado con las divisiones consecutivas
La división no es asociativa. Esto significa que cambiar la forma de agrupar puede cambiar el resultado.
Por ejemplo:
\[ (8\div 4)\div 2=2\div 2=1 \]
Pero:
\[ 8\div(4\div 2)=8\div 2=4 \]
Por eso, cuando aparecen divisiones consecutivas sin paréntesis, se resuelven de izquierda a derecha:
\[ 8\div 4\div 2=(8\div 4)\div 2=1 \]
Una mirada más profunda
Cada división puede interpretarse como una multiplicación por el inverso multiplicativo.
Por ejemplo, al interpretar de izquierda a derecha:
\[ 8\div 4\div 2=(8\div 4)\div 2 \]
Esto equivale a:
\[ 8\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}=1 \]
Pero si se escriben paréntesis de otra manera, como \(8\div(4\div 2)\), la expresión cambia y el resultado también cambia.
Por eso, usar paréntesis es una buena costumbre cuando se quiere evitar confusión.
Problemas Resueltos
Ejemplo 1: repartir una deuda
Problema: Cuatro amigos tienen una deuda de \(\$28\) y quieren repartirla en partes iguales. ¿Cuánto dinero debe pagar cada uno?
Una deuda se representa con un número negativo, por lo tanto la deuda total es \(-28\).
Como se reparte entre 4 personas, calculamos:
\[ (-28)\div 4=-7 \]
Cada amigo debe pagar \(\$7\).
Ejemplo 2: temperatura promedio
Problema: Durante 5 días se registraron las temperaturas: \(-2^\circ\text{C}\), \(-4^\circ\text{C}\), \(1^\circ\text{C}\), \(-3^\circ\text{C}\) y \(0^\circ\text{C}\). ¿Cuál fue la temperatura promedio?
Primero sumamos todas las temperaturas:
\[ (-2)+(-4)+1+(-3)+0=-8 \]
Luego dividimos por la cantidad de días:
\[ (-8)\div 5=-1{,}6 \]
La temperatura promedio fue de \(-1{,}6^\circ\text{C}\).
Ejercicios de Práctica
Cálculos básicos
- \((-20)\div 4=\)
- \(18\div(-2)=\)
- \((-30)\div(-5)=\)
- \(24\div 8=\)
- \((-10)\div 1=\)
- \(0\div(-9)=\)
- \((-16)\div(-4)=\)
- \(35\div(-7)=\)
- \((-20)\div 4=-5\), porque los signos son distintos.
- \(18\div(-2)=-9\), porque los signos son distintos.
- \((-30)\div(-5)=6\), porque los signos son iguales.
- \(24\div 8=3\), porque los signos son iguales.
- \((-10)\div 1=-10\), porque los signos son distintos.
- \(0\div(-9)=0\), porque cero dividido por un número distinto de cero es cero.
- \((-16)\div(-4)=4\), porque los signos son iguales.
- \(35\div(-7)=-5\), porque los signos son distintos.
Encuentra el valor faltante
- \(-20\div\_\_\_=5\)
- \(\_\_\_\div(-3)=6\)
- \(-14\div\_\_\_=-2\)
- \(\_\_\_\div 7=-4\)
-
Buscamos un divisor que cumpla:
\[ -20\div\_\_\_=5 \]
Como el resultado es positivo y el dividendo es negativo, el divisor debe ser negativo.
\[ -20\div(-4)=5 \]
El valor faltante es \(-4\).
-
Buscamos un dividendo que cumpla:
\[ \_\_\_\div(-3)=6 \]
Como el resultado es positivo y el divisor es negativo, el dividendo debe ser negativo.
\[ -18\div(-3)=6 \]
El valor faltante es \(-18\).
-
Buscamos un divisor que cumpla:
\[ -14\div\_\_\_=-2 \]
Como el resultado es negativo y el dividendo es negativo, el divisor debe ser positivo.
\[ -14\div 7=-2 \]
El valor faltante es \(7\).
-
Buscamos un dividendo que cumpla:
\[ \_\_\_\div 7=-4 \]
Como el resultado es negativo y el divisor es positivo, el dividendo debe ser negativo.
\[ -28\div 7=-4 \]
El valor faltante es \(-28\).
Resolución de problemas
- Un submarino se encuentra a \(-150\) metros y desciende a velocidad constante hasta \(-450\) metros en 6 minutos. ¿Cuál fue la variación total y cuántos metros descendió por minuto?
- Seis amigos tienen que pagar una deuda total de \(\$90\). Si la deuda se reparte en partes iguales, ¿cuánto debe pagar cada uno?
- En un experimento, la temperatura de una sustancia disminuyó \(24^\circ\text{C}\) en 3 horas. Si la disminución fue constante, ¿cuál fue la variación por hora?
- Un jugador perdió 36 puntos en 4 rondas de un juego. Si perdió la misma cantidad en cada ronda, ¿cuántos puntos perdió por ronda?
-
La variación total se calcula como valor final menos valor inicial:
\[ -450-(-150)=-450+150=-300 \]
La variación total fue de \(-300\) metros.
Como ocurrió en 6 minutos:
\[ (-300)\div 6=-50 \]
El submarino descendió 50 metros por minuto.
-
La deuda total se representa como \(-90\).
Al repartirla entre 6 amigos:
\[ (-90)\div 6=-15 \]
Cada amigo debe pagar \(\$15\).
-
Una disminución de \(24^\circ\text{C}\) se representa como \(-24\).
Como ocurrió en 3 horas:
\[ (-24)\div 3=-8 \]
La temperatura bajó \(8^\circ\text{C}\) por hora.
-
Perder 36 puntos se representa como \(-36\).
Como ocurrió en 4 rondas:
\[ (-36)\div 4=-9 \]
Perdió 9 puntos por ronda.