Libro Fracciones
3. Conversión entre Enteros, Fracciones y Números Mixtos
Idea clave y fundamental
Todo número entero puede expresarse como una fracción colocándolo sobre el denominador 1. Esta idea permite relacionar enteros, fracciones impropias y números mixtos.
\[ n=\frac{n}{1} \qquad \text{con } n\in\mathbb{Z} \]
Condición importante
En una fracción, el denominador nunca puede ser cero.
\[ \frac{a}{b} \qquad \text{solo existe si } b\neq 0 \]
Números enteros a fracciones
Procedimiento
Para escribir un número entero como fracción, se conserva el entero como numerador y se escribe \(1\) como denominador.
\[ n=\frac{n}{1} \]
Ejemplos: entero a fracción
- El número entero \(5\) se expresa como \( \frac{5}{1} \).
- El número entero \(-3\) se expresa como \( \frac{-3}{1} \) o \( -\frac{3}{1} \).
- El número entero \(0\) se expresa como \( \frac{0}{1} \).
Visualización de enteros como fracciones
El número \(3\) puede representarse como \( \frac{3}{1} \), es decir, tres enteros completos.
Grupo 1: Convertir enteros a fracciones
Expresa cada número entero como una fracción con denominador \(1\).
- \(8\)
- \(-6\)
- \(0\)
- \(15\)
- \(-23\)
- \(1\)
Solución desarrollada
- \[ 8=\frac{8}{1} \]
- \[ -6=\frac{-6}{1}=-\frac{6}{1} \]
- \[ 0=\frac{0}{1} \]
- \[ 15=\frac{15}{1} \]
- \[ -23=\frac{-23}{1}=-\frac{23}{1} \]
- \[ 1=\frac{1}{1} \]
Fracciones a números enteros
Idea principal
Una fracción cuyo denominador es \(1\), o que al simplificarla resulta con denominador \(1\), representa un número entero.
También puede ocurrir que el numerador sea múltiplo del denominador. En ese caso, la fracción equivale al resultado exacto de la división.
Ejemplos: fracción a entero
- \( \frac{7}{1}=7 \)
- \( \frac{-4}{1}=-4 \)
- \( \frac{20}{5}=4 \), porque \(20\div5=4\).
- \( \frac{10}{3} \) no representa un entero, porque \(10\div3\) no es exacto.
Visualización de una fracción que representa un entero
La fracción \( \frac{8}{2} \) representa \(4\) enteros, porque cada entero se divide en \(2\) partes y se toman \(8\) partes en total.
En la recta numérica, \( \frac{8}{2} \) ocupa el mismo punto que \(4\).
Grupo 2: Convertir fracciones a enteros
Determina si cada fracción representa un número entero. Si lo representa, escribe ese entero.
- \( \frac{12}{1} \)
- \( \frac{-9}{1} \)
- \( \frac{0}{1} \)
- \( \frac{8}{2} \)
- \( \frac{20}{4} \)
- \( \frac{-15}{3} \)
- \( \frac{36}{-9} \)
- \( \frac{10}{3} \)
Solución desarrollada
- \[ \frac{12}{1}=12 \]
- \[ \frac{-9}{1}=-9 \]
- \[ \frac{0}{1}=0 \]
- \[ \frac{8}{2}=4 \qquad \text{porque } 8\div2=4 \]
- \[ \frac{20}{4}=5 \qquad \text{porque } 20\div4=5 \]
- \[ \frac{-15}{3}=-5 \qquad \text{porque } -15\div3=-5 \]
- \[ \frac{36}{-9}=-4 \qquad \text{porque } 36\div(-9)=-4 \]
-
\[ \frac{10}{3} \]
No representa un número entero, porque \(10\div3\) no da una división exacta.
Números mixtos y fracciones impropias
Definiciones
Conceptos clave
Una fracción impropia es aquella en que el numerador es mayor o igual que el denominador, considerando valores positivos. Por ejemplo, \( \frac{11}{4} \).
Un número mixto combina una parte entera y una parte fraccionaria. Por ejemplo, \( 2\frac{3}{4} \).
Ambas formas pueden representar el mismo número racional.
Cuidado con la notación
Un número mixto como \( 2\frac{3}{4} \) no significa \(2\cdot\frac{3}{4}\). En realidad, representa una suma:
\[ 2\frac{3}{4}=2+\frac{3}{4} \]
Forma usual de un número mixto
En un número mixto, la parte fraccionaria debe ser una fracción propia, es decir, el numerador debe ser menor que el denominador.
\[ 2\frac{3}{4} \quad \text{está en forma mixta usual, porque } 3<4 \]
No conviene dejar expresiones como \(2\frac{7}{4}\), porque la parte fraccionaria todavía puede convertirse en más enteros.
Signo en números mixtos negativos
Cuando se escribe un número mixto negativo, como \( -2\frac{1}{3} \), se interpreta como el negativo de todo el número mixto:
\[ -2\frac{1}{3}=-\left(2+\frac{1}{3}\right) \]
Conversiones entre números mixtos y fracciones
¿Qué significa convertir una fracción impropia a número mixto?
Significa averiguar cuántas unidades enteras se pueden formar y qué fracción queda como resto.
Por ejemplo, en \( \frac{7}{3} \), se pregunta cuántos grupos completos de \(3\) hay en \(7\):
- El cociente de \(7\div3\) es \(2\), por lo tanto hay \(2\) enteros.
- El residuo es \(1\), por lo tanto sobra \( \frac{1}{3} \).
- El denominador se mantiene en \(3\).
Así:
\[ \frac{7}{3}=2\frac{1}{3} \]
Procedimiento: de fracción impropia a número mixto
- Divide el numerador entre el denominador.
- El cociente será la parte entera.
- El residuo será el nuevo numerador.
- El denominador original se mantiene.
- Si la fracción original es negativa, conserva el signo negativo delante del número mixto.
Ejemplo: convertir \( \frac{11}{4} \) a número mixto
- Dividimos: \[ 11\div4=2 \qquad \text{con resto } 3 \]
- El cociente \(2\) será la parte entera.
- El resto \(3\) será el numerador de la fracción.
- El denominador \(4\) se mantiene.
Por lo tanto:
\[ \frac{11}{4}=2\frac{3}{4} \]
Ejemplo: convertir \( -\frac{17}{5} \) a número mixto
Primero trabajamos con el valor positivo:
\[ 17\div5=3 \qquad \text{con resto } 2 \]
Entonces:
\[ \frac{17}{5}=3\frac{2}{5} \]
Como la fracción original era negativa, conservamos el signo negativo:
\[ -\frac{17}{5}=-3\frac{2}{5} \]
Grupo 3: Convertir fracciones impropias a números mixtos
Convierte cada fracción impropia a número mixto.
- \( \frac{7}{3} \)
- \( \frac{15}{4} \)
- \( \frac{22}{5} \)
- \( \frac{19}{6} \)
- \( \frac{31}{8} \)
- \( \frac{47}{9} \)
- \( -\frac{17}{5} \)
Solución desarrollada
-
\[ 7\div3=2 \qquad \text{con resto } 1 \]
\[ \frac{7}{3}=2\frac{1}{3} \]
-
\[ 15\div4=3 \qquad \text{con resto } 3 \]
\[ \frac{15}{4}=3\frac{3}{4} \]
-
\[ 22\div5=4 \qquad \text{con resto } 2 \]
\[ \frac{22}{5}=4\frac{2}{5} \]
-
\[ 19\div6=3 \qquad \text{con resto } 1 \]
\[ \frac{19}{6}=3\frac{1}{6} \]
-
\[ 31\div8=3 \qquad \text{con resto } 7 \]
\[ \frac{31}{8}=3\frac{7}{8} \]
-
\[ 47\div9=5 \qquad \text{con resto } 2 \]
\[ \frac{47}{9}=5\frac{2}{9} \]
-
Primero convertimos \( \frac{17}{5} \):
\[ 17\div5=3 \qquad \text{con resto } 2 \]
\[ \frac{17}{5}=3\frac{2}{5} \]
Como la fracción original era negativa:
\[ -\frac{17}{5}=-3\frac{2}{5} \]
¿Qué significa convertir un número mixto a fracción impropia?
Significa unir la parte entera y la parte fraccionaria en una sola fracción.
Por ejemplo, en \(2\frac{1}{3}\), los \(2\) enteros se convierten en tercios:
\[ 2=\frac{6}{3} \]
Luego se suma el tercio adicional:
\[ 2\frac{1}{3}=\frac{6}{3}+\frac{1}{3}=\frac{7}{3} \]
Procedimiento: de número mixto a fracción impropia
- Multiplica la parte entera por el denominador.
- Suma el numerador de la parte fraccionaria.
- El resultado será el nuevo numerador.
- El denominador se mantiene.
\[ a\frac{b}{c}=\frac{a\cdot c+b}{c} \qquad \text{con } c\neq 0 \]
Ejemplo: convertir \( 3\frac{2}{5} \) a fracción impropia
- Multiplicamos la parte entera por el denominador: \[ 3\cdot5=15 \]
- Sumamos el numerador: \[ 15+2=17 \]
- El denominador se mantiene en \(5\).
Por lo tanto:
\[ 3\frac{2}{5}=\frac{17}{5} \]
Ejemplo: convertir \( -2\frac{1}{3} \) a fracción impropia
Primero convertimos la parte positiva:
\[ 2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3} \]
Luego conservamos el signo negativo delante de toda la fracción:
\[ -2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3} \]
Grupo 4: Convertir números mixtos a fracciones impropias
Convierte cada número mixto a fracción impropia.
- \( 1\frac{2}{3} \)
- \( 4\frac{1}{6} \)
- \( 2\frac{5}{8} \)
- \( 5\frac{3}{7} \)
- \( 3\frac{9}{10} \)
- \( 6\frac{4}{5} \)
- \( -2\frac{1}{3} \)
Solución desarrollada
-
\[ 1\frac{2}{3}=\frac{1\cdot3+2}{3}=\frac{5}{3} \]
-
\[ 4\frac{1}{6}=\frac{4\cdot6+1}{6}=\frac{25}{6} \]
-
\[ 2\frac{5}{8}=\frac{2\cdot8+5}{8}=\frac{21}{8} \]
-
\[ 5\frac{3}{7}=\frac{5\cdot7+3}{7}=\frac{38}{7} \]
-
\[ 3\frac{9}{10}=\frac{3\cdot10+9}{10}=\frac{39}{10} \]
-
\[ 6\frac{4}{5}=\frac{6\cdot5+4}{5}=\frac{34}{5} \]
-
Primero convertimos \(2\frac{1}{3}\):
\[ 2\frac{1}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3} \]
Luego conservamos el signo negativo:
\[ -2\frac{1}{3}=-\frac{7}{3} \]
Resumen final de relaciones
Los enteros, las fracciones impropias y los números mixtos son formas distintas de representar valores racionales.
Entero \( \leftrightarrow \) Fracción con denominador 1 \( \leftrightarrow \) Fracción impropia \( \leftrightarrow \) Número mixto