Potencias de Base Entera y Exponente Entero

En esta página, exploraremos las potencias donde la base es un número entero (positivo, negativo o cero) y el exponente también es un número entero (positivo, negativo o cero). Nos enfocaremos especialmente en el caso de los **exponentes negativos**.

Descubriendo el Patrón: Exponentes Decrecientes

Para entender qué significa un exponente negativo, observemos el patrón que se forma cuando disminuimos el exponente de una potencia en uno, comenzando con un exponente positivo.

Ejemplo con base 2:

La mejor forma de entender los exponentes negativos es observar el patrón que surge al disminuir sucesivamente el exponente. Usaremos una tabla para ilustrar este patrón con una base de 2. Observa cómo cambian los valores a medida que el exponente disminuye:

\begin{array}{|c|c|l|c|} \hline \text{Potencia} & \text{Fracción Calculada} & \text{Desarrollo} & \text{Fracción en Potencia} \\ \hline 2^3 & 8 & 2 \times 2 \times 2 & - \\ \hline 2^2 & 4 & 2 \times 2 & - \\ \hline 2^1 & 2 & 2 & - \\ \hline 2^0 & 1 & \frac{2}{2} & - \\ \hline 2^{-1} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2^1} \\ \hline 2^{-2} & \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^2} \\ \hline 2^{-3} & \frac{1}{8} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^3} \\ \hline 2^{-4} & \frac{1}{16} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^4} \\ \hline 2^{-5} & \frac{1}{32} & \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} & \frac{1}{2^5} \\ \hline 2^{-n} & \frac{1}{2^n} & \underbrace{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \dots \times \frac{1}{2}}_{n \text{ veces}} & \frac{1}{2^n} \\ \hline \end{array}

Análisis de la Tabla

• Exponentes Positivos: En la parte superior de la tabla, vemos las potencias familiares con exponentes positivos (\(2^3\), \(2^2\), \(2^1\)). Cada vez que el exponente disminuye en 1, el resultado se divide entre la base (2).
• Exponente Cero: Llegamos a \(2^0 = 1\). Este es un resultado importante: cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.
• Exponentes Negativos: Aquí es donde la magia ocurre. Continuamos el patrón de dividir entre la base (2) a medida que el exponente se vuelve negativo.
  • \(2^{-1}\) es lo mismo que dividir 1 entre 2, lo que resulta en 1/2.
  • \(2^{-2}\) es lo mismo que dividir 1/2 entre 2, lo que resulta en 1/4.
  • Y así sucesivamente...
• La Columna Clave: "Fracción en Potencia": Esta columna revela la regla fundamental: un exponente negativo indica el recíproco de la base elevada al exponente positivo correspondiente. Es decir: \[a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (\text{donde 'a' es la base y 'n' es un entero positivo})\]

En Resumen

Un exponente negativo no significa un número negativo. Significa que estamos trabajando con el recíproco de la base elevada a una potencia positiva. La tabla muestra claramente cómo los exponentes negativos generan fracciones, y cómo estas fracciones están directamente relacionadas con las potencias positivas correspondientes. La multiplicación repetida por la fracción del denominador, muestra como se comporta un exponente negativo.

Potencias de Base Entera y Exponente Entero: Base Negativa

Ahora, exploremos el comportamiento de las potencias cuando la base es un número negativo, específicamente -3. Usaremos la siguiente tabla para visualizar el patrón de los exponentes, tanto positivos como negativos:

Ejemplo con base (-3):

\( \begin{array}{|c|c|l|c|} \hline \text{Potencia} & \text{Fracción Calculada} & \text{Desarrollo} & \text{Fracción en Potencia} \\ \hline (-3)^3 & -27 & (-3) \times (-3) \times (-3) & - \\ \hline (-3)^2 & 9 & (-3) \times (-3) & - \\ \hline (-3)^1 & -3 & (-3) & - \\ \hline (-3)^0 & 1 & \frac{-3}{-3} & - \\ \hline (-3)^{-1} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^1} \\ \hline (-3)^{-2} & \frac{1}{9} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^2} \\ \hline (-3)^{-3} & -\frac{1}{27} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^3} \\ \hline (-3)^{-4} & \frac{1}{81} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^4} \\ \hline (-3)^{-5} & -\frac{1}{243} & -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} & \frac{1}{(-3)^5} \\ \hline (-3)^{-n} & \frac{(-1)^n}{3^n} & \underbrace{-\frac{1}{3} \times -\frac{1}{3} \times \dots \times -\frac{1}{3}}_{n \text{ veces}} & \frac{1}{(-3)^n} \\ \hline \end{array} \)

Análisis de la Tabla (Base -3)

• Exponentes Positivos: En la parte superior, vemos cómo se comportan los exponentes positivos con una base negativa. La clave aquí es recordar las reglas de multiplicación de signos:
  • \((-3)^1 = -3\)
  • \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\) (negativo por negativo = positivo)
  • \((-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3) = -27\) (tres negativos dan negativo)
  • Y así sucesivamente. El signo del resultado alterna con cada incremento del exponente.
• Exponente Cero: Al igual que con cualquier base distinta de cero, \((-3)^0 = 1\).
• Exponentes Negativos: A medida que el exponente se vuelve negativo, continuamos el patrón, pero ahora dividiendo por la base (-3), o, equivalentemente, multiplicando por el inverso \(-\frac{1}{3}\).
• \((-3)^{-1} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}\)

• \((-3)^{-2} = \frac{-\frac{1}{3}}{-3} = \left(-\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{9}\)

• \((-3)^{-3} = \frac{\frac{1}{9}}{-3} = \left(\frac{1}{9}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{27}\)

• ... y así sucesivamente. Observa que el signo sigue alternando con cada exponente negativo, al igual que con los exponentes positivos.

• La Columna Clave: "Fracción en Potencia" y la Fórmula General: La columna "Fracción en Potencia" muestra que la regla fundamental de los exponentes negativos sigue siendo válida incluso con una base negativa: \[ a^{-n} = \frac{1}{a^n} \] Pero, al tener una base negativa, es crucial usar paréntesis: \[ (-3)^{-n} = \frac{1}{(-3)^n} \] o de forma mas general \[ (-3)^{-n} = \frac{(-1)^n}{3^n} \] Esta expresión, \((-1)^n / 3^n\), captura tanto la alternancia de signos (gracias al \((-1)^n\)) como la magnitud del denominador (gracias al \(3^n\)).

En Resumen (Base Negativa)

• Un exponente negativo con una base negativa no convierte el resultado en negativo automáticamente. El signo del resultado final depende de si el exponente es par o impar.
• La regla del recíproco sigue aplicándose: un exponente negativo indica que debemos tomar el recíproco de la base elevada al exponente positivo.
• La tabla y la fórmula general dejan claro que las potencias con base negativa y exponente negativo también generan fracciones, pero con la importante característica de la alternancia de signos. Comprender esta alternancia es crucial para trabajar correctamente con bases negativas.

Exponente Negativo: Definición General

De los ejemplos anteriores, podemos deducir la regla general para potencias con exponente negativo:

Fórmula: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (si \(a \neq 0\))

En palabras, una potencia con exponente negativo es igual al **inverso multiplicativo** de la base elevada al exponente positivo correspondiente.

Ejemplos con Exponentes Negativos

• \(5^{-2} = \frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}\)
• \(10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10}\)
• \((-2)^{-3} = \frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}\)
• \((-3)^{-4} = \frac{1}{(-3)^4} = \frac{1}{81} \)

Ejercicios con Exponentes Negativos

1. \(4^{-2}\)
2. \(2^{-5}\)
3. \(7^{-1}\)
4. \((-5)^{-2}\)
5. \((-2)^{-3}\)
6. \(10^{-3}\)
7. \(6^{-3}\)
8. \((-1)^{-7}\)
9. \((1/3)^{-2}\)
10. \((2/5)^{-3}\)
11. Si \(2^{-x} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
12. Si \(a^{-3} = \frac{1}{27}\), ¿cuánto vale \(a\)?
13. Si \(3^{-x} = \frac{1}{81}\), ¿cuánto vale \(x\)?
14. Si \(a^{-2} = \frac{1}{49}\), ¿cuánto vale \(a\)?
15. Si \(5^{-x} = \frac{1}{125}\), ¿cuánto vale \(x\)?
16. Si \(x^{-4} = \frac{1}{16}\), ¿cuánto vale \(x\)?
17. Si \(2^{-x} = \frac{1}{64}\), ¿cuánto vale \(x\)?

Problemas con Exponentes Negativos

1. Una población de bacterias se reduce a la mitad cada hora. Si inicialmente hay \(2^4\) bacterias, ¿qué fracción de la población inicial quedará después de 3 horas? (Expresa la respuesta como una potencia de 2 con exponente negativo)
2. Si la velocidad de un objeto es \(5^{-1}\) metros por segundo, ¿qué fracción de un metro recorre en un segundo?
3. La intensidad de la luz disminuye con el cuadrado de la distancia. Si a una distancia de 1 metro la intensidad es 1, ¿cómo se expresaría la intensidad a una distancia de 4 metros usando una potencia con exponente negativo?