Ahora que ya comprendemos las potencias de base entera y exponente entero, repasaremos las propiedades fundamentales que nos ayudan a simplificar y resolver operaciones con ellas.
1. Producto de Potencias de Igual Base
Cuando se multiplican potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Fórmula:\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)
Ejemplo:\(2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32\)
Ejercicios:
Base entera y exponente natural:
\(3^2 \times 3^3\)
\((-2)^2 \times (-2)^3\)
\(5^4 \times 5^0\)
\((-4)^2 \times (-4)^2\)
\(10^3 \times 10^1 \times 10^2\)
Base entera y exponente entero:
\(2^4 \times 2^{-2}\)
\((-3)^{-1} \times (-3)^{-3}\)
\(5^{-5} \times 5^{3}\)
Simplificaciones algebraicas:
\(x^5 \cdot x^3\)
\(y^{-2} \cdot y^6\)
\(a^4 \cdot a^{-1} \cdot a\)
\((2x)^2 \cdot (2x)^3\)
Respuestas Detalladas (sin evaluación final):
\(3^2 \times 3^3 = 3^{2+3}\)(Se mantiene la base 3, se suman los exponents 2 y 3) \(= 3^5\)(Forma simplificada)
\((-2)^2 \times (-2)^3 = (-2)^{2+3}\)(Se mantiene la base -2, se suman los exponents 2 y 3) \(= (-2)^5\)(Resultado intermedio) \(= -(2^5)\)(Base negativa, exponente impar 5; esto es lo mismo que escribir \(-2^5\))
\(5^4 \times 5^0 = 5^{4+0}\)(Se mantiene la base 5, se suman los exponents 4 y 0) \(= 5^4\)(Forma simplificada)
\((-4)^2 \times (-4)^2 = (-4)^{2+2}\)(Se mantiene la base -4, se suman los exponents 2 y 2) \(= (-4)^4\)(Resultado intermedio) \(= 4^4\)(Base negativa, exponente par 4; forma simplificada)
\(10^3 \times 10^1 \times 10^2 = 10^{3+1+2}\)(Se mantiene la base 10, se suman los exponents 3, 1 y 2) \(= 10^6\)(Forma simplificada)
\(2^4 \times 2^{-2} = 2^{4+(-2)}\)(Se mantiene la base 2, se suman los exponents 4 y -2) \(= 2^2\)(Forma simplificada)
\((-3)^{-1} \times (-3)^{-3} = (-3)^{-1+(-3)}\)(Se mantiene la base -3, se suman los exponents -1 y -3) \(= (-3)^{-4}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{(-3)^4}\)(Exponente negativo -4, se invierte la base) \(= \frac{1}{3^4}\)(Base negativa en denominador, exponente par 4; forma simplificada)
\(5^{-5} \times 5^{3} = 5^{-5+3}\)(Se mantiene la base 5, se suman los exponents -5 y 3) \(= 5^{-2}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{5^2}\)(Exponente negativo -2, se invierte la base; forma simplificada)
\(x^5 \cdot x^3 = x^{5+3}\)(Se mantiene la base x, se suman los exponents 5 y 3) \(= x^8\)(Forma simplificada)
\(y^{-2} \cdot y^6 = y^{-2+6}\)(Se mantiene la base y, se suman los exponents -2 y 6) \(= y^4\)(Forma simplificada)
\(a^4 \cdot a^{-1} \cdot a = a^4 \cdot a^{-1} \cdot a^1\)(Se considera a como a^1) \(= a^{4+(-1)+1}\)(Se mantiene la base a, se suman los exponents 4, -1 y 1) \(= a^4\)(Forma simplificada)
\((2x)^2 \cdot (2x)^3 = (2x)^{2+3}\)(Se mantiene la base (2x), se suman los exponents 2 y 3) \(= (2x)^5\)(Resultado intermedio) \(= 2^5 x^5\)(Se aplica el exponente a cada factor; forma simplificada)
2. Cociente de Potencias de Igual Base
Cuando se dividen potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
\(2^5 \div 2^2 = 2^{5-2}\)(Se mantiene la base 2, se restan los exponentes 5 y 2) \(= 2^3\)(Forma simplificada)
\((-3)^4 \div (-3)^2 = (-3)^{4-2}\)(Se mantiene la base -3, se restan los exponents 4 y 2) \(= (-3)^2\)(Resultado intermedio) \(= 3^2\)(Base negativa, exponente par 2; forma simplificada)
\(10^6 \div 10^3 = 10^{6-3}\)(Se mantiene la base 10, se restan los exponents 6 y 3) \(= 10^3\)(Forma simplificada)
\(4^3 \div 4^1 = 4^{3-1}\)(Se mantiene la base 4, se restan los exponents 3 y 1) \(= 4^2\)(Forma simplificada)
\((-2)^5 \div (-2)^2 = (-2)^{5-2}\)(Se mantiene la base -2, se restan los exponents 5 y 2) \(= (-2)^3\)(Resultado intermedio) \(= -(2^3)\)(Base negativa, exponente impar 3; esto es lo mismo que escribir \(-2^3\))
\(5^2 \div 5^{-1} = 5^{2 - (-1)} = 5^{2+1}\)(Se mantiene la base 5, se resta el exponente -1 del 2) \(= 5^3\)(Forma simplificada)
\((-2)^{-2} \div (-2)^{-4} = (-2)^{-2 - (-4)} = (-2)^{-2+4}\)(Se mantiene la base -2, se resta el exponente -4 del -2) \(= (-2)^2\)(Resultado intermedio) \(= 2^2\)(Base negativa, exponente par 2; forma simplificada)
\(3^{-3} \div 3^{-1} = 3^{-3 - (-1)} = 3^{-3+1}\)(Se mantiene la base 3, se resta el exponente -1 del -3) \(= 3^{-2}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{3^2}\)(Exponente negativo -2, se invierte la base; forma simplificada)
\(\frac{x^7}{x^4} = x^{7-4}\)(Se mantiene la base x, se restan los exponents 7 y 4) \(= x^3\)(Forma simplificada)
\(\frac{a^{-3}}{a^2} = a^{-3 - 2}\)(Se mantiene la base a, se restan los exponents -3 y 2) \(= a^{-5}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{a^5}\)(Exponente negativo -5, se invierte la base; forma simplificada)
\(y^5 \div y^{-2} = y^{5 - (-2)} = y^{5+2}\)(Se mantiene la base y, se resta el exponente -2 del 5) \(= y^7\)(Forma simplificada)
\(\frac{(3x)^4}{(3x)^2} = (3x)^{4-2}\)(Se mantiene la base (3x), se restan los exponents 4 y 2) \(= (3x)^2\)(Resultado intermedio) \(= 3^2 x^2\)(Se aplica el exponente 2 a cada factor; forma simplificada)
3. Potencia de una Potencia
Cuando se tiene una potencia elevada a otro exponente, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Fórmula:\((a^m)^n = a^{m \times n}\)
Ejemplo:\((3^2)^3 = 3^{2 \times 3} = 3^6 = 729\)
Ejercicios:
Base entera y exponente natural:
\((2^2)^3\)
\((4^3)^2\)
\((-1)^3)^5\)
\((5^2)^0\)
\((10^2)^4\)
Base entera y exponente entero:
\((2^{-2})^3\)
\((-3)^2)^{-1}\)
\((5^{-1})^{-4}\)
Simplificaciones algebraicas:
\((x^3)^4\)
\((a^{-2})^5\)
\((y^2)^{-3}\)
\(((2x)^3)^2\)
Respuestas Detalladas (sin evaluación final):
\((2^2)^3 = 2^{2 \times 3}\)(Se mantiene la base 2, se multiplican los exponents 2 y 3) \(= 2^6\)(Forma simplificada)
\((4^3)^2 = 4^{3 \times 2}\)(Se mantiene la base 4, se multiplican los exponents 3 y 2) \(= 4^6\)(Forma simplificada)
\((-1)^3)^5 = (-1)^{3 \times 5}\)(Se mantiene la base -1, se multiplican los exponents 3 y 5) \(= (-1)^{15}\)(Resultado intermedio) \(= -(1^{15})\)(Base negativa, exponente impar 15; esto es lo mismo que \(-1^{15}\) o \(-1\))
\((5^2)^0 = 5^{2 \times 0}\)(Se mantiene la base 5, se multiplican los exponents 2 y 0) \(= 5^0\)(Forma simplificada. Nota: cualquier base distinta de cero elevada a 0 es 1)
\((10^2)^4 = 10^{2 \times 4}\)(Se mantiene la base 10, se multiplican los exponents 2 y 4) \(= 10^8\)(Forma simplificada)
\((2^{-2})^3 = 2^{(-2) \times 3}\)(Se mantiene la base 2, se multiplican los exponents -2 y 3) \(= 2^{-6}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{2^6}\)(Exponente negativo -6, se invierte la base; forma simplificada)
\((-3)^2)^{-1} = (-3)^{2 \times (-1)}\)(Se mantiene la base -3, se multiplican los exponents 2 y -1) \(= (-3)^{-2}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{(-3)^2}\)(Exponente negativo -2, se invierte la base) \(= \frac{1}{3^2}\)(Base negativa en denominador, exponente par 2; forma simplificada)
\((5^{-1})^{-4} = 5^{(-1) \times (-4)}\)(Se mantiene la base 5, se multiplican los exponents -1 y -4) \(= 5^4\)(Forma simplificada)
\((x^3)^4 = x^{3 \times 4}\)(Se mantiene la base x, se multiplican los exponents 3 y 4) \(= x^{12}\)(Forma simplificada)
\((a^{-2})^5 = a^{(-2) \times 5}\)(Se mantiene la base a, se multiplican los exponents -2 y 5) \(= a^{-10}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{a^{10}}\)(Exponente negativo -10, se invierte la base; forma simplificada)
\((y^2)^{-3} = y^{2 \times (-3)}\)(Se mantiene la base y, se multiplican los exponents 2 y -3) \(= y^{-6}\)(Resultado intermedio) \(= \frac{1}{y^6}\)(Exponente negativo -6, se invierte la base; forma simplificada)
\(((2x)^3)^2 = (2x)^{3 \times 2}\)(Se mantiene la base (2x), se multiplican los exponents 3 y 2) \(= (2x)^6\)(Resultado intermedio) \(= 2^6 x^6\)(Se aplica el exponente 6 a cada factor; forma simplificada)
4. Potencia de Exponente 0
Cualquier número (excepto 0) elevado a la potencia 0 es igual a 1.
Fórmula:\(a^0 = 1\) (si \(a \neq 0\))
Ejemplo:\(8^0 = 1\)
Ejercicios:
Base entera y exponente natural:
\(5^0\)
\((-3)^0\)
\(10^0\)
\((2^5)^0\)
\((-1)^0\)
Base entera y exponente entero:
\((4^{-2})^0\)
\((-2)^3 \times (-2)^{-3}\)
\(7^2 \div 7^2\)
Simplificaciones algebraicas:
\((x^2)^0\) (si \(x \neq 0\))
\((ab)^0\) (si \(a, b \neq 0\))
\(\frac{y^5}{y^5}\) (si \(y \neq 0\))
\((3x^2y^{-3})^0\) (si \(x,y \neq 0\))
Respuestas:
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
\(1\)
5. Potencia de Exponente 1
Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual al mismo número.
Fórmula:\(a^1 = a\)
Ejemplo:\(6^1 = 6\)
Ejercicios:
Base entera y exponente natural:
\(9^1\)
\((-4)^1\)
\(15^1\)
\((3^3)^1\)
\((-2)^1\)
Base entera y exponente entero:
\((10^{-2})^1\)
\((-5)^3 \div (-5)^2\)
\(2^{-4} \times 2^5\)
Simplificaciones algebraicas:
\(x^1\)
\((a^2b)^1\)
\(\frac{y^{-3}}{y^{-4}}\)
\((2xy)^1\cdot (3z)^0\)
Respuestas:
\(9\)
\(-4\)
\(15\)
\(27\)
\(-2\)
\(\frac{1}{100}\)
\(-5\)
\(2\)
\(x\)
\(a^2b\)
\(y\)
\(2xy\)
6. Potencia de un Producto de igual Exponente
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de cada factor.
\((4 \times 2)^2 = 4^2 \times 2^2\)(Se aplica el exponente 2 a cada factor de la base)
\((3 \times 5)^3 = 3^3 \times 5^3\)(Se aplica el exponente 3 a cada factor de la base)
\((-2 \times 3)^2 = (-2)^2 \times 3^2\)(Se aplica el exponente 2 a cada factor, incluyendo -2) \(= 2^2 \times 3^2\)(Base -2 con exponente par 2 da resultado positivo; forma simplificada)
\((5 \times 1)^4 = 5^4 \times 1^4\)(Se aplica el exponente 4 a cada factor) \(= 5^4 \times 1\)(Simplificando \(1^4=1\)) \(= 5^4\)(Forma simplificada)
\((2 \times 3 \times 4)^2 = 2^2 \times 3^2 \times 4^2\)(Se aplica el exponente 2 a cada factor de la base)
\((2 \times 3)^{-2} = 2^{-2} \times 3^{-2}\)(Se aplica el exponente -2 a cada factor) \(= \frac{1}{2^2} \times \frac{1}{3^2}\)(Se invierten las bases para exponentes negativos) \(= \frac{1}{2^2 \times 3^2}\)(Forma simplificada)
\((-1 \times 4)^{-3} = (-1)^{-3} \times 4^{-3}\)(Se aplica el exponente -3 a cada factor) \(= \frac{1}{(-1)^3} \times \frac{1}{4^3}\)(Se invierten las bases para exponentes negativos) \(= \frac{1}{-1} \times \frac{1}{4^3}\)(Evaluando \((-1)^3 = -1\)) \(= -\frac{1}{4^3}\)(Forma simplificada)
\((5 \times 2)^{-1} = 5^{-1} \times 2^{-1}\)(Se aplica el exponente -1 a cada factor) \(= \frac{1}{5^1} \times \frac{1}{2^1}\)(Se invierten las bases para exponentes negativos) \(= \frac{1}{5 \times 2}\)(Forma simplificada)
\((xy)^3 = x^3 y^3\)(Se aplica el exponente 3 a cada factor de la base)
\((2a)^4 = 2^4 a^4\)(Se aplica el exponente 4 a cada factor de la base)
\((3x^2y)^2 = 3^2 (x^2)^2 y^2\)(Se aplica el exponente 2 a cada factor: 3, x², y) \(= 3^2 x^{2 \times 2} y^2\)(Se aplica la regla de potencia de potencia a \(x^2\)) \(= 3^2 x^4 y^2\)(Forma simplificada)
\((-ab)^5 = (-1 \times a \times b)^5 = (-1)^5 a^5 b^5\)(Se considera el signo como -1 y se aplica el exponente 5 a cada factor: -1, a, b) \(= (-1) a^5 b^5\)(Evaluando \((-1)^5 = -1\)) \(= -a^5 b^5\)(Forma simplificada)
7. Potencia de un Cociente de Igual Exponente
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y el divisor.
\((8 \div 4)^2 = \frac{8^2}{4^2}\)(Se aplica el exponente 2 al dividendo 8 y al divisor 4)
\((12 \div 3)^3 = \frac{12^3}{3^3}\)(Se aplica el exponente 3 al dividendo 12 y al divisor 3)
\((-6 \div 2)^2 = \frac{(-6)^2}{2^2}\)(Se aplica el exponente 2 al dividendo -6 y al divisor 2) \(= \frac{6^2}{2^2}\)(Base -6 con exponente par 2 da resultado positivo; forma simplificada)
\((10 \div 2)^4 = \frac{10^4}{2^4}\)(Se aplica el exponente 4 al dividendo 10 y al divisor 2)
\((20 \div 5)^3 = \frac{20^3}{5^3}\)(Se aplica el exponente 3 al dividendo 20 y al divisor 5)
\((4 \div 2)^{-3} = (\frac{4}{2})^{-3}\)(Expresando como fracción) \(= (\frac{2}{4})^3\)(Exponente negativo -3 invierte la base 4/2 a 2/4, exponente pasa a 3) \(= \frac{2^3}{4^3}\)(Se aplica el exponente 3 al numerador 2 y al denominador 4; forma simplificada)
\((-9 \div 3)^{-1} = (\frac{-9}{3})^{-1}\)(Expresando como fracción) \(= (\frac{3}{-9})^1\)(Exponente negativo -1 invierte la base -9/3 a 3/-9, exponente pasa a 1) \(= \frac{3^1}{(-9)^1}\)(Forma simplificada, sin evaluar)
\((\frac{1}{2})^{-4} = (\frac{2}{1})^4\)(Exponente negativo -4 invierte la base 1/2 a 2/1, exponente pasa a 4) \(= \frac{2^4}{1^4}\)(Se aplica el exponente 4 al numerador 2 y al denominador 1) \(= 2^4\)(Simplificando \(1^4=1\); forma simplificada)
\((x \div y)^5 = \frac{x^5}{y^5}\)(Se aplica el exponente 5 al dividendo x y al divisor y)
\((2a \div b)^3 = \frac{(2a)^3}{b^3}\)(Se aplica el exponente 3 al dividendo (2a) y al divisor b) \(= \frac{2^3 a^3}{b^3}\)(Se aplica la regla de potencia de un producto a \((2a)^3\); forma simplificada)
\(\left(\frac{x^2}{y}\right)^4 = \frac{(x^2)^4}{y^4}\)(Se aplica el exponente 4 al numerador \(x^2\) y al denominador y) \(= \frac{x^{2 \times 4}}{y^4}\)(Se aplica la regla de potencia de potencia a \(x^2\)) \(= \frac{x^8}{y^4}\)(Forma simplificada)
\(\left(\frac{-2a}{b}\right)^3 = \frac{(-2a)^3}{b^3}\)(Se aplica el exponente 3 al numerador (-2a) y al denominador b) \(= \frac{(-2)^3 a^3}{b^3}\)(Se aplica la regla de potencia de un producto a \((-2a)^3\)) \(= \frac{-(2^3) a^3}{b^3}\)(Base -2 con exponente impar 3 da resultado negativo) \(= -\frac{2^3 a^3}{b^3}\)(Forma simplificada)