Libro Ecuacion Cuadratica
4. Método para ecuaciones cuadráticas con \( b = 0 \) (cc2)
Objetivos
- Resolver ecuaciones cuadráticas de la forma \( ax^2+c=0 \) en los números reales.
- Reconocer cuándo una ecuación tiene dos soluciones reales, una solución real o ninguna solución real.
- Aplicar correctamente la raíz cuadrada al despejar una incógnita al cuadrado.
Idea inicial
Cuando en una ecuación cuadrática el coeficiente de \(x\) es cero, la expresión queda en una forma más simple:
\[ ax^2+c=0 \]
En este caso no aparece término lineal, por lo que el procedimiento consiste en aislar \(x^2\) y luego extraer raíz cuadrada.
Forma general
Una ecuación cuadrática con \( b=0 \) tiene la forma:
\[ ax^2+c=0, \qquad a\ne 0 \]
Procedimiento
- Parte desde la ecuación:
\[ ax^2+c=0 \]
- Aísla el término cuadrático:
\[ ax^2=-c \]
- Divide por \(a\):
\[ x^2=-\frac{c}{a} \]
- Toma raíz cuadrada en ambos lados:
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}} \]
Justificación del paso final
Si llegamos a
\[ x^2=-\frac{c}{a}, \]
entonces buscamos todos los números cuyo cuadrado sea \(-\frac{c}{a}\). Por eso, cuando el valor de la derecha es no negativo, las soluciones son
\[ x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}. \]
El símbolo \(\pm\) aparece porque tanto un número positivo como su opuesto tienen el mismo cuadrado.
Condición importante en \(\mathbb{R}\)
En los números reales, la raíz cuadrada solo existe si el radicando es mayor o igual que cero. Por eso:
\[ -\frac{c}{a}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad \text{hay soluciones reales} \]
\[ -\frac{c}{a}<0 \quad \Rightarrow \quad \text{no hay soluciones reales} \]
Error frecuente
No se debe transformar
\[ x^2+\frac{c}{a} \]
en
\[ \left(x+\frac{c}{a}\right)\left(x-\frac{c}{a}\right), \]
porque ese producto desarrolla
\[ x^2-\left(\frac{c}{a}\right)^2, \]
que no es lo mismo. En este método, la vía correcta es aislar \(x^2\) y luego aplicar raíz cuadrada.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: \( 2x^2-8=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 2x^2-8=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 2x^2=8 \]
Paso 3: Dividimos por 2.
\[ x^2=4 \]
Paso 4: Tomamos raíz cuadrada.
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Soluciones: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejemplo 2: \( 3x^2+12=0 \)
Paso 1: Ecuación original.
\[ 3x^2+12=0 \]
Paso 2: Aislamos el término cuadrático.
\[ 3x^2=-12 \]
Paso 3: Dividimos por 3.
\[ x^2=-4 \]
Paso 4: Analizamos la existencia de solución real.
Como \(-4\) es negativo, \(\sqrt{-4}\) no existe en \(\mathbb{R}\).
Conclusión: la ecuación no tiene soluciones reales.
¿Cuándo conviene usar este método?
Cuándo aplicarlo
- Cuando la ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+c=0\).
- Cuando el coeficiente del término lineal es cero, es decir, \(b=0\).
- Cuando se puede aislar fácilmente \(x^2\) para luego extraer raíz cuadrada.
Ejercicios
Ejercicio 1
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-9=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=9 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 2
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ x^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ x^2=16 \]
Paso 2: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{16} \]
\[ x=\pm 4 \]
Solución: \(x=4\) y \(x=-4\).
Ejercicio 3
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 4x^2-25=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 4x^2=25 \]
Paso 2: Dividimos por 4:
\[ x^2=\frac{25}{4} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{25}{4}} \]
\[ x=\pm\frac{5}{2} \]
Solución: \(x=\frac{5}{2}\) y \(x=-\frac{5}{2}\).
Ejercicio 4
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 3x^2-27=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 3x^2=27 \]
Paso 2: Dividimos por 3:
\[ x^2=9 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{9} \]
\[ x=\pm 3 \]
Solución: \(x=3\) y \(x=-3\).
Ejercicio 5
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 5x^2-20=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 5x^2=20 \]
Paso 2: Dividimos por 5:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 6
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 2x^2+18=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 2x^2=-18 \]
Paso 2: Dividimos por 2:
\[ x^2=-9 \]
Paso 3: Analizamos en \(\mathbb{R}\):
No existe número real cuyo cuadrado sea negativo.
Solución: no tiene solución en \(\mathbb{R}\).
Ejercicio 7
Resuelve la ecuación cuadrática:
\[ 6x^2-24=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ 6x^2=24 \]
Paso 2: Dividimos por 6:
\[ x^2=4 \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{4} \]
\[ x=\pm 2 \]
Solución: \(x=2\) y \(x=-2\).
Ejercicio 8
Resuelve la ecuación cuadrática con factor literal, suponiendo \(a>0\):
\[ ax^2-16=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ ax^2=16 \]
Paso 2: Dividimos por \(a\):
\[ x^2=\frac{16}{a} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}} \]
\[ x=\pm\frac{4}{\sqrt{a}} \]
Solución: \(x=\pm\sqrt{\frac{16}{a}}\).
Ejercicio 9
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(m>0\) y \(n\ge 0\):
\[ mx^2-9n=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ mx^2=9n \]
Paso 2: Dividimos por \(m\):
\[ x^2=\frac{9n}{m} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{9n}{m}} \]
\[ x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}} \]
Solución: \(x=\pm 3\sqrt{\frac{n}{m}}\).
Ejercicio 10
Resuelve la ecuación cuadrática con factores literales, suponiendo \(p\ne 0\):
\[ p^2x^2-q^2=0 \]
Paso 1: Aislamos el término cuadrático:
\[ p^2x^2=q^2 \]
Paso 2: Dividimos por \(p^2\):
\[ x^2=\frac{q^2}{p^2} \]
Paso 3: Tomamos raíz cuadrada:
\[ x=\pm\sqrt{\frac{q^2}{p^2}} \]
\[ x=\pm\frac{q}{p} \]
Solución: \(x=\frac{q}{p}\) y \(x=-\frac{q}{p}\).
Cierre
En este tipo de ecuaciones, la clave es despejar \(x^2\) y luego analizar si el valor obtenido permite extraer raíz cuadrada en los números reales. Si el resultado es positivo, aparecen dos soluciones opuestas; si es cero, hay una sola solución real; y si es negativo, no hay solución real.