Ley Distributiva y Factor Común

Ley Distributiva

La ley distributiva establece que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos. En términos generales:

Forma 1: \( a(b + c) = ab + ac \)

Forma 2: \( (a + b)c = ac + bc \)

Esto tambien se aplica a las restas:

\( a(b - c) = ab - ac \)

\( (a - b)c = ac - bc \)

Ejemplos Numéricos:

Ejemplo 1:

\( 3(4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27 \)

Comprobación: \( 3(4 + 5) = 3(9) = 27 \)

Ejemplo 2:

\( -2(6 - 3) = -2 \times 6 + (-2) \times (-3) = -12 + 6 = -6 \)

Comprobación: \( -2(6 - 3) = -2(3) = -6 \)

Ejemplos Literales:

Ejemplo 1:

\( 2(x + y) = 2x + 2y \)

Ejemplo 2:

\( -5(a - 3b) = -5a + 15b \)

Ejemplo 3:

\( x(y - z) = xy - xz \)

Ejercicios de Ley Distributiva (Parte 1):

1. \( 4(2 + 3) = \) ?
2. \( -3(5 - 2) = \) ?
3. \( 6(x + 4) = \) ?
4. \( -2(y - 7) = \) ?
5. \( a(b + c) = \) ?
6. \( -7(3p - 2q) = \) ?
7. \( 5(2x + 3y - 4) = \) ?
8. \( -x(y - z + 4) = \) ?
9. \( (4 - a)b = \) ?
10. \( (x + y - z)3 = \) ?

Factor Común y Factorización

Factorizar es el proceso inverso de la ley distributiva. Consiste en encontrar el factor común (un número o variable que divide a todos los términos) y expresarlo como una multiplicación.

Ejemplos de Factorización:

Ejemplo 1:

Factorizar: \( 12 + 18 \)

El factor común es 6. \( 12 + 18 = 6(2 + 3) \)

Ejemplo 2:

Factorizar: \( 5x - 10y \)

El factor común es 5. \( 5x - 10y = 5(x - 2y) \)

Ejemplo 3:

Factorizar: \( -3a - 6b \)

El factor común es -3. \( -3a - 6b = -3(a + 2b) \)

Ejemplo 4:

Factorizar: \( x^2 + xy \)

El factor común es x. \( x^2 + xy = x(x + y) \)

Ejemplo 5:

Factorizar: \( 4a^2b - 6ab^2 \)

El factor común es 2ab. \( 4a^2b - 6ab^2 = 2ab(2a - 3b) \)

Ejercicios de Factor Común (Parte 2):

1. \( 8 + 12 = \) ?
2. \( 9x - 6y = \) ?
3. \( -4a - 8 = \) ?
4. \( -5m + 10n = \) ?
5. \( ab + ac = \) ?
6. \( 6x^2 + 3xy = \) ?
7. \( -2x^2y + 4xy^2 =\) ?
8. \( 10a - 15b + 20c = \) ?
9. \( 9p^2q - 12pq^2 + 15p^3q^3 = \) ?
10. \( -14x^3y^2 - 7x^2y^3 - 21xy^4 = \) ?

Ejercicios combinados de Ley Distributiva y Factor comun (Parte 3):

1. \( 4(x - 3y) + 2(x + 5y) = \) ?
2. \( 3a(2b + c) - 2(3ab + 4ac) = \) ?
3. \( -5(2m - n) + 4(-m + 3n) = \) ?
4. Factorizar: \( 6xy^2 + 9x^2y - 12xy = \) ?
5. Factorizar: \( -8a^3b^2 - 4a^2b^3 + 12a^2b^2 = \) ?
6. \( 2(3p - q) - (5p + 2q) + 4(p - 3q) =\) ?
7. Factorizar: \( 10x^3y^2z - 15x^2yz^2 + 20xy^3z^3 = \) ?
8. \( -3(a + 2b) + 4b(a - 1) - 2(b - a) = \) ?