Jerarquía de Operaciones y Paréntesis con Números Enteros

Cuando tenemos una expresión matemática con varias operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potencias), es fundamental seguir un orden específico para resolverla correctamente. Este orden se conoce como la jerarquía de operaciones, y los paréntesis juegan un papel crucial para modificar o clarificar este orden.

Jerarquía de Operaciones

El orden en que se deben realizar las operaciones es el siguiente:

1. Paréntesis, corchetes y llaves: Primero se resuelven todas las operaciones que se encuentran dentro de los paréntesis, corchetes y llaves, comenzando por los más internos y avanzando hacia los más externos.
2. Potencias y raíces: Luego, se calculan todas las potencias y raíces. (En este contexto de números enteros, nos enfocaremos en las potencias).
3. Multiplicación y división: Después, se realizan todas las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
4. Suma y resta: Finalmente, se realizan todas las sumas y restas de izquierda a derecha.

Mnemotecnia: Una forma de recordar el orden es con la palabra PEMDAS (Paréntesis, Exponentes, Multiplicación/División, Adición/Sustracción), o también con alguna frase como "Papá Emilio Me Da Almuerzo y Sopa".

Uso de Paréntesis

Los paréntesis se utilizan para:

• Alterar el orden de las operaciones: Indicar que las operaciones dentro del paréntesis deben realizarse primero, sin importar la jerarquía estándar.
• Agrupar términos: Facilitar la lectura y comprensión de expresiones complejas.
• Eliminar ambigüedades: Aclarar el orden de las operaciones cuando podría haber dudas.

Ejemplos

Ejemplo 1: Sin paréntesis

\(5 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3 = ?\)

1. Potencias: \(2^2 = 4\). La expresión queda: \(5 + 3 \times 4 - 6 \div 3\)
2. Multiplicación y división: \(3 \times 4 = 12\) y \(6 \div 3 = 2\). La expresión queda: \(5 + 12 - 2\)
3. Suma y resta: \(5 + 12 - 2 = 15\)

Resultado: \(5 + 3 \times 2^2 - 6 \div 3 = 15\)

Ejemplo 2: Con paréntesis

\((5 + 3) \times (2^2 - 6) \div 2 = ?\)

1. Paréntesis internos: \(5 + 3 = 8\) y \(2^2 - 6 = 4 - 6 = -2\). La expresión queda: \(8 \times (-2) \div 2\)
2. Multiplicación y división: \(8 \times (-2) = -16\) y \(-16 \div 2 = -8\)

Resultado: \((5 + 3) \times (2^2 - 6) \div 2 = -8\)

Ejemplo 3: Con paréntesis anidados

\(10 - [3 + (4 - 2) \times 5] = ?\)

1. Paréntesis más interno: \((4-2)=2\). La expresión queda: \(10 - [3 + 2 \times 5]\)
2. Siguiente paréntesis: \([3 + 2 \times 5] = [3 + 10] = 13\). La expresión queda: \(10 - 13\)
3. Resta: \(10 - 13 = -3\)

Resultado: \(10 - [3 + (4 - 2) \times 5] = -3\)

Ejercicios

Ejercicios de operaciones combinadas con números enteros (sin variables):

1. \(7 + 3 \times 4 - 5 = \) ?
2. \(10 - 2 \times 3 + 4 = \) ?
3. \((-2)^3 + 4 \times 5 - 2 = \) ?
4. \(6 \div 2 + 3 \times 4 - 1 = \) ?
5. \(15 - 3 \times 2^2 + 1 = \) ?
6. \((7 + 3) \times 2 - 5 = \) ?
7. \(10 - (2 \times 3) + 4 = \) ?
8. \((-2)^3 + (4 \times 5 - 2) = \) ?
9. \((6 \div 2 + 3) \times 4 - 1 = \) ?
10. \(15 - (3 \times 2^2) + 1 = \) ?
11. \(5 \times [3 + (2 - 1) \times 4] = \) ?
12. \(12 \div [6 - (2 + 1) \times 2] = \) ?
13. \((-3)^2 + [4 - (5 - 2) \times 3] = \) ?
14. \([8 - (6 \div 3 + 1)] \times 2 = \) ?
15. \(20 - [(3 + 2) \times 4 - 10] = \) ?

Ejercicios de simplificación algebraica (con variables):

16. Simplificar: \((2a^2b)^3 \div (ab^2)^2 = \) ?
17. Simplificar: \(\frac{4x^3y^{-2}}{2xy^{-4}} = \) ?
18. Simplificar: \((-3m^2n)^2 \cdot (2mn^3)^{-1} = \) ?
19. Simplificar: \(\frac{(x^2y)^3 \cdot x^{-2}}{y^2} = \) ?
20. Simplificar: \((a^{-1}b^2)^3 \div (ab^{-2})^2 = \) ?
21. Simplificar: \(\frac{9x^4y^2}{3xy^3} \cdot \frac{1}{x^{-1}} = \) ?
22. Simplificar: \((-2p^3q^{-1})^2 \cdot (p^{-2}q)^3 = \) ?
23. Simplificar: \(\frac{(m^3n^{-2})^2}{m^{-1}n^4} = \) ?

Problemas de Aplicación

Ejemplo:

Maria fue a la tienda a comprar los siguientes articulos, una calculadora a 8 pesos , 2 cuadernos a 3 pesos cada uno , y 3 lapices a 2 pesos cada uno, si llevaba un billete de 50 pesos, y por la compra de la calculadora dan un descuento de 3 pesos. ¿Cuanto dinero gasto Maria en la tienda? ¿Cuanto dinero le quedo a Maria si llevaba un billete de 50 pesos?

Solución:

• Primero, se calcula el gasto de los cuadernos que seria \(2 \times 3 = 6\) pesos.
• Luego, se calcula el gasto de los lapices que seria \(3 \times 2 = 6\) pesos.
• Despues, al costo de la calculadora se le hace el descuento quedando \(8-3=5\) pesos.
• Se suman todos los gastos parciales teniendo \(5 + 6 + 6 = 17\) pesos en total.
• Finalmente, para saber cuanto le quedo, se hace una resta entre lo que tenia y lo que gasto, quedando \(50 - 17 = 33\) pesos.

24. Un camión transporta 25 cajas de manzanas, cada caja pesa 30 kg. Además, lleva 10 sacos de papas de 50 kg cada uno. En el camino, descarga 5 cajas de manzanas y 3 sacos de papas. ¿Cuántos kilogramos de carga lleva ahora el camión?
25. En un torneo de videojuegos, un jugador gana 3 partidas seguidas, obteniendo 150 puntos por partida. Luego, pierde 2 partidas, perdiendo 80 puntos por partida. Si inicialmente tenía 200 puntos, ¿cuántos puntos tiene al final?
26. Una tienda de ropa tiene la siguiente oferta: "Compre 2 camisas a 25 pesos cada una y llévese la tercera a mitad de precio". Si un cliente compra 5 camisas, ¿cuánto debe pagar en total?
27. Un restaurante ofrece un menú del día que incluye una entrada, un plato principal y un postre. Hay 4 opciones de entrada, 5 opciones de plato principal y 3 opciones de postre. ¿Cuántas combinaciones diferentes de menú se pueden formar?
28. Si un automovilista conduce a una velocidad promedio de 80 km/h durante 3 horas, luego se detiene durante 30 minutos y finalmente conduce durante 2 horas más a 70 km/h, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido en total?