Ley Distributiva y Factor Común

Ley Distributiva

La ley distributiva establece que multiplicar una suma por un número es lo mismo que multiplicar cada sumando por el número y luego sumar los productos.

Forma 1: \( a(b + c) = ab + ac \)

Forma 2: \( (a + b)c = ac + bc \)

También se aplica a las restas:

\( a(b - c) = ab - ac \)

Ejemplos Numéricos:

Ejemplo 1:

\( 3(4 + 5) = 3 \times 4 + 3 \times 5 = 12 + 15 = 27 \)

Ejemplo 2:

\( -2(6 - 3) = -2 \times 6 - (-2) \times 3 = -12 + 6 = -6 \)

Ejemplos Literales:

Ejemplo 1:

\( 2(x + y) = 2x + 2y \)

Ejemplo 2:

\( -5(a - 3b) = -5a + 15b \)

Ejercicios de Ley Distributiva (Parte 1):

1. \( 4(2 + 3) = \) ?
2. \( -3(5 - 2) = \) ?
3. \( 6(x + 4) = \) ?
4. \( -2(y - 7) = \) ?
5. \( a(b + c) = \) ?
6. \( -7(3p - 2q) = \) ?
7. \( 5(2x + 3y - 4) = \) ?
8. \( -x(y - z + 4) = \) ?
9. \( (4 - a)b = \) ?
10. \( (x + y - z)3 = \) ?

Factor Común (Encontrando el Máximo Factor Común - MCD)

Factorizar es escribir una expresión como una multiplicación. Buscamos el Máximo Factor Común (MCD), que es lo más grande (número y/o letra) que divide a todos los términos.

Pasos rápidos:

1. Encuentra el MCD de los números.
2. Encuentra las letras comunes con su menor exponente.
3. Multiplica ambos para obtener el MCD total.
4. Escribe el MCD y abre paréntesis. Dentro, pon lo que queda de cada término al dividirlo por el MCD.

Ejemplos de Factorización (Estilo Pizarrón):

Ejemplo 1: Factorizar \( 4x + 4y \)

MCD: El número 4 es común. No hay letras comunes.
Descomponemos: \( (\mathbf{4})x + (\mathbf{4})y \)
Resultado: \( \mathbf{4}(x + y) \)

Ejemplo 2: Factorizar \( 3a + 9b - 6c \)

MCD de 3, 9 y 6 es 3. No hay letras comunes.
Descomponemos: \( (\mathbf{3})a + (\mathbf{3})3b - (\mathbf{3})2c \)
Resultado: \( \mathbf{3}(a + 3b - 2c) \)

Ejemplo 3: Factorizar \( 2a^2 + 4a \)

MCD de 2 y 4 es 2. Letra común 'a', menor exponente es 1 (a). MCD total: 2a.
Descomponemos: \( (\mathbf{2a})a + (\mathbf{2a})2 \)
Resultado: \( \mathbf{2a}(a + 2) \)

Ejemplo 4: Factorizar \( 10ab - 15a^2b \)

MCD de 10 y 15 es 5. Letra 'a' común (menor exp. 1 -> a). Letra 'b' común (menor exp. 1 -> b). MCD total: 5ab.
Descomponemos: \( (\mathbf{5ab})2 - (\mathbf{5ab})3a \)
Resultado: \( \mathbf{5ab}(2 - 3a) \)

Ejemplo 5: Factorizar \( -14x^2 - 21x \)

MCD de 14 y 21 es 7. Como ambos son negativos, usamos -7. Letra 'x' común (menor exp. 1 -> x). MCD total: -7x.
Descomponemos: \( (\mathbf{-7x})2x + (\mathbf{-7x})3 \)
Resultado: \( \mathbf{-7x}(2x + 3) \)

Ejercicios de Factor Común (Parte 2):

1. \( 8 + 12 = \) ?
2. \( 9x - 6y = \) ?
3. \( -4a - 8 = \) ?
4. \( -5m + 10n = \) ?
5. \( ab + ac = \) ?
6. \( 6x^2 + 3xy = \) ?
7. \( -2x^2y + 4xy^2 =\) ?
8. \( 10a - 15b + 20c = \) ?
9. \( 9p^2q - 12pq^2 + 15p^3q^3 = \) ?
10. \( -14x^3y^2 - 7x^2y^3 - 21xy^4 = \) ?

Ejercicios combinados de Ley Distributiva y Factor comun (Parte 3):

1. \( 4(x - 3y) + 2(x + 5y) = \) ?
2. \( 3a(2b + c) - 2(3ab + 4ac) = \) ?
3. \( -5(2m - n) + 4(-m + 3n) = \) ?
4. Factorizar: \( 6xy^2 + 9x^2y - 12xy = \) ?
5. Factorizar: \( -8a^3b^2 - 4a^2b^3 + 12a^2b^2 = \) ?
6. \( 2(3p - q) - (5p + 2q) + 4(p - 3q) =\) ?
7. Factorizar: \( 10x^3y^2z - 15x^2yz^2 + 20xy^3z^3 = \) ?
8. \( -3(a + 2b) + 4b(a - 1) - 2(b - a) = \) ?