CAPITULO 8 SECTORES DE CÍRCULO
7. 7. Problemas mixtos y segmento circular (cc)
Problemas mixtos y segmento circular
Objetivos
- Elegir la fórmula adecuada según lo que pide el problema.
- Resolver problemas que combinan arco, área y perímetro de sectores.
- Comprender el segmento circular como extensión del estudio de sectores.
Antes de calcular, decide qué se pide
- Si se pide borde curvo, se pide longitud de arco.
- Si se pide superficie cubierta, se pide área.
- Si se pide cercar o rodear el sector completo, se pide perímetro.
Resumen de fórmulas
\[ L=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r \]
\[ A_{\text{sector}}=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot \pi r^2 \]
\[ P_{\text{sector}}=2r+L \]
Ejemplo mixto: aspersor
Un aspersor riega un sector circular de radio \(12\text{ m}\) y ángulo central \(100^\circ\).
Si se pregunta por la superficie regada, calculamos área:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{100^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 12^2=\frac{5}{18}\cdot 144\pi=40\pi \]
Si se pregunta por el borde curvo de la zona regada, calculamos arco:
\[ L=\frac{100^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 12=\frac{5}{18}\cdot 24\pi=\frac{20\pi}{3} \]
Desafío: segmento circular
Un segmento circular es la región limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Se puede obtener restando el área del triángulo al área del sector.
\[ A_{\text{segmento}}=A_{\text{sector}}-A_{\text{triangulo}} \]
Ejercicio 1
Un limpiaparabrisas mide \(30\text{ cm}\) y gira \(150^\circ\). Determina la longitud del arco que describe su extremo.
La longitud del limpiaparabrisas es el radio.
\[ L=\frac{150^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 30 \]
\[ L=\frac{5}{12}\cdot 60\pi=25\pi \]
El extremo describe un arco de \(25\pi\text{ cm}\).
Ejercicio 2
Un jardín tiene forma de sector circular de radio \(20\text{ m}\) y ángulo central \(72^\circ\). Se quiere cercar todo su borde. Calcula cuántos metros de cerca se necesitan en forma exacta.
Como se quiere cercar todo el borde, se necesita el perímetro del sector.
Primero calculamos el arco:
\[ L=\frac{72^\circ}{360^\circ}\cdot 2\pi\cdot 20=\frac{1}{5}\cdot 40\pi=8\pi \]
Luego sumamos los dos radios:
\[ P_{\text{sector}}=2\cdot 20+8\pi=40+8\pi \]
Se necesitan \(40+8\pi\text{ m}\) de cerca.
Ejercicio 3: segmento circular
Un sector de radio \(10\text{ cm}\) tiene ángulo central \(90^\circ\). La cuerda que une los extremos del arco forma con los radios un triángulo rectángulo isósceles. Calcula el área del segmento circular.
Primero calculamos el área del sector:
\[ A_{\text{sector}}=\frac{90^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 10^2=25\pi \]
El triángulo formado por los dos radios tiene catetos de \(10\text{ cm}\):
\[ A_{\text{triangulo}}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 10=50 \]
Entonces:
\[ A_{\text{segmento}}=25\pi-50 \]
El área del segmento es \(25\pi-50\text{ cm}^2\).