Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
2. Razón de semejanza
Objetivos
- Calcular la razón de semejanza entre dos figuras.
- Identificar lados correspondientes en figuras semejantes.
- Usar la razón de semejanza para encontrar medidas faltantes.
Razón de semejanza
Si dos figuras son semejantes, la razón entre medidas correspondientes es constante.
\[ k=\frac{\text{medida de la imagen}}{\text{medida de la figura original}} \]
Si \(k>1\), hay ampliación. Si \(0<k<1\), hay reducción.
Lados correspondientes
Los lados correspondientes ocupan la misma posición relativa en ambas figuras. Comparar lados incorrectos puede producir una razón falsa.
En los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\), las correspondencias son:
| Figura original | Figura imagen |
|---|---|
| \(AB\) | \(A'B'\) |
| \(BC\) | \(B'C'\) |
| \(CA\) | \(C'A'\) |
Ejemplo: calcular una medida faltante
Los rectángulos \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=5\) cm, \(A'B'=15\) cm y \(BC=4\) cm. ¿Cuánto mide \(B'C'\)?
Primero calculamos la razón de semejanza desde el rectángulo original hacia la imagen:
\[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{15}{5}=3 \]
Como \(BC\) corresponde a \(B'C'\), multiplicamos por la misma razón:
\[ B'C'=BC\cdot k=4\cdot 3=12 \]
Por lo tanto, \(B'C'=12\) cm.
Estrategia
- Identifica cuál figura es la original y cuál es la imagen.
- Reconoce lados correspondientes.
- Calcula \(k\) usando dos medidas correspondientes conocidas.
- Usa la misma razón para encontrar la medida faltante.
Ejercicio 1: calcular \(k\) con apoyo de la cuadrícula
Observa los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\). Guíate por la cuadrícula para comparar lados correspondientes.
- ¿Cuál es el lado correspondiente a \(AB\)?
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(A'B'C'\).
- ¿La imagen es una ampliación o una reducción?
- El lado correspondiente a \(AB\) es \(A'B'\).
- En la cuadrícula se observa que \(AB=3\) y \(A'B'=6\). Entonces: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{3}=2 \]
- Como \(k=2>1\), la imagen es una ampliación.
Ejercicio 2: medida faltante en rectángulos semejantes
Los rectángulos \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=6\) cm, \(A'B'=9\) cm y \(BC=4\) cm.
- Calcula \(k\) desde \(ABCD\) hacia \(A'B'C'D'\).
- Encuentra la medida de \(B'C'\).
- Indica si la imagen es una ampliación o una reducción.
- Como \(AB\) corresponde a \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \]
- Como \(BC\) corresponde a \(B'C'\): \[ B'C'=BC\cdot k=4\cdot \frac{3}{2}=6 \] Por lo tanto, \(B'C'=6\) cm.
- Como \(k=\frac{3}{2}>1\), la imagen es una ampliación.
Ejercicio 3: reducción en triángulos
Los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=12\) cm, \(A'B'=8\) cm y \(AC=9\) cm.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(A'B'C'\).
- Encuentra \(A'C'\).
- Explica por qué corresponde a una reducción.
- Como \(AB\) corresponde a \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
- Como \(AC\) corresponde a \(A'C'\): \[ A'C'=AC\cdot k=9\cdot \frac{2}{3}=6 \] Por lo tanto, \(A'C'=6\) cm.
- Es una reducción porque \(0<k<1\). En este caso, \(k=\frac{2}{3}\).
Ejercicio 4: decidir si son semejantes
Observa cada par de rectángulos. Decide si son semejantes comparando las razones entre lados correspondientes.
- Par superior: \(AB=5\), \(BC=3\), \(A'B'=10\), \(B'C'=6\). ¿Son semejantes?
- Par inferior: \(EF=4\), \(FG=6\), \(E'F'=10\), \(F'G'=12\). ¿Son semejantes?
- Par superior: \[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{10}{5}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{B'C'}{BC}=\frac{6}{3}=2 \] Como las razones coinciden, sí son semejantes.
- Par inferior: \[ \frac{E'F'}{EF}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{F'G'}{FG}=\frac{12}{6}=2 \] Como las razones no coinciden, no son semejantes.
Ejercicio 5: corregir una comparación incorrecta
Los triángulos \(ABC\) y \(A'B'C'\) son semejantes. Se sabe que \(AB=5\) cm, \(BC=4\) cm, \(CA=3\) cm, \(A'B'=10\) cm, \(B'C'=8\) cm y \(C'A'=6\) cm.
Un estudiante calculó:
\[ k=\frac{A'B'}{CA}=\frac{10}{3} \]
- ¿Cuál fue su error?
- Calcula correctamente la razón de semejanza.
- El error fue comparar lados que no son correspondientes. El lado \(A'B'\) corresponde a \(AB\), no a \(CA\).
- Calculamos con lados correspondientes: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{10}{5}=2 \] También se confirma con: \[ \frac{B'C'}{BC}=\frac{8}{4}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{C'A'}{CA}=\frac{6}{3}=2 \] Por lo tanto, la razón correcta es \(k=2\).
Ejercicio 6: construir una imagen semejante
El triángulo \(ABC\) es la figura original. Se quiere construir una imagen \(A'B'C'\) con razón de semejanza \(k=\frac{3}{2}\). Guíate por la cuadrícula.
- Verifica que \(A'B'\) corresponde a \(AB\).
- Verifica que \(A'C'\) corresponde a \(AC\).
- Comprueba que la razón de semejanza es \(k=\frac{3}{2}\).
- El lado \(AB\) es horizontal en la base del triángulo original, y \(A'B'\) ocupa la misma posición en la imagen.
- El lado \(AC\) es vertical en el triángulo original, y \(A'C'\) ocupa la misma posición en la imagen.
- En la cuadrícula se observa que \(AB=4\) y \(A'B'=6\), entonces: \[ \frac{A'B'}{AB}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \] Además, \(AC=2\) y \(A'C'=3\), entonces: \[ \frac{A'C'}{AC}=\frac{3}{2} \] Como ambas razones coinciden, la imagen fue construida con razón \(k=\frac{3}{2}\).
Error frecuente
No compares cualquier lado con cualquier lado. Primero identifica qué medidas se corresponden y luego calcula la razón.