Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
3. Modelos a escala
Objetivos
- Determinar escalas entre un modelo y la realidad.
- Calcular medidas reales a partir de un plano o maqueta.
- Calcular medidas de un modelo a partir de medidas reales.
Escala
Una escala compara una medida del modelo con la medida real correspondiente, usando la misma unidad.
\[ \text{escala}=\frac{\text{medida en el modelo}}{\text{medida real}} \]
Por ejemplo, escala \(1:200\) significa que \(1\) cm en el modelo representa \(200\) cm en la realidad.
Del plano al lugar real
Las escalas se usan para leer planos de casas, mapas, maquetas, piezas tecnológicas y representaciones científicas.
En un plano o maqueta, las medidas se dibujan más pequeñas que en la realidad, pero se mantiene una proporción constante.
Ejemplo: escala de una plaza
En un plano, una plaza rectangular mide \(8\) cm por \(5\) cm. La escala es \(1:500\). ¿Cuáles son sus medidas reales?
Cada centímetro representa \(500\) cm reales.
Como \(500\) cm \(=5\) m, entonces:
\[ 8\cdot 5=40 \qquad\text{y}\qquad 5\cdot 5=25 \]
La plaza mide \(40\) m por \(25\) m.
Estrategia
En escalas siempre usa una misma unidad antes de comparar. Si mezclas metros con centímetros, la razón no tendrá sentido.
- Identifica si buscas una medida real, una medida del modelo o la escala.
- Convierte las unidades cuando sea necesario.
- Usa la relación \(1:n\): cada \(1\) unidad del modelo representa \(n\) unidades reales.
Ejercicio 1: plano de una sala
En el plano de una sala, el largo mide \(7\) cm y el ancho mide \(4\) cm. La escala es \(1:100\).
- Calcula el largo real de la sala.
- Calcula el ancho real de la sala.
- Expresa ambas medidas reales en metros.
La escala \(1:100\) significa que \(1\) cm en el plano representa \(100\) cm reales.
- Largo real: \[ 7\cdot 100=700\text{ cm} \] Como \(700\) cm \(=7\) m, el largo real es \(7\) m.
- Ancho real: \[ 4\cdot 100=400\text{ cm} \] Como \(400\) cm \(=4\) m, el ancho real es \(4\) m.
- La sala mide \(7\) m por \(4\) m.
Ejercicio 2: maqueta de una cancha
Una maqueta de una cancha rectangular está construida a escala \(1:500\). En la maqueta, el largo mide \(18\) cm y el ancho mide \(10\) cm.
- Calcula el largo real de la cancha.
- Calcula el ancho real de la cancha.
- Expresa el resultado en metros.
La escala \(1:500\) significa que \(1\) cm en la maqueta representa \(500\) cm reales.
- Largo real: \[ 18\cdot 500=9000\text{ cm} \] Como \(9000\) cm \(=90\) m, el largo real es \(90\) m.
- Ancho real: \[ 10\cdot 500=5000\text{ cm} \] Como \(5000\) cm \(=50\) m, el ancho real es \(50\) m.
- La cancha mide \(90\) m por \(50\) m.
Ejercicio 3: del lugar real al plano
Una biblioteca rectangular mide \(24\) m de largo y \(15\) m de ancho. Se quiere dibujar un plano a escala \(1:300\).
- Calcula cuánto debe medir el largo en el plano.
- Calcula cuánto debe medir el ancho en el plano.
Primero convertimos las medidas reales a centímetros:
\[ 24\text{ m}=2400\text{ cm} \qquad\text{y}\qquad 15\text{ m}=1500\text{ cm} \]
Como la escala es \(1:300\), dividimos cada medida real en centímetros por \(300\).
- Largo en el plano: \[ 2400\div 300=8\text{ cm} \]
- Ancho en el plano: \[ 1500\div 300=5\text{ cm} \]
El plano debe medir \(8\) cm por \(5\) cm.
Ejercicio 4: determinar la escala de un plano
En un plano, el pasillo de un colegio mide \(6\) cm. En la realidad, ese pasillo mide \(18\) m.
- Convierte \(18\) m a centímetros.
- Determina la escala del plano.
- Convertimos la medida real: \[ 18\text{ m}=1800\text{ cm} \]
- Comparamos modelo con realidad: \[ 6:1800 \] Dividimos ambas cantidades por \(6\): \[ 6:1800=1:300 \] Por lo tanto, la escala es \(1:300\).
Ejercicio 5: comparar dos planos
Dos estudiantes dibujan el mismo patio rectangular, que en la realidad mide \(30\) m de largo. Sus planos tienen las siguientes medidas:
| Plano | Medida en el plano | Medida real correspondiente |
|---|---|---|
| Plano A | \(10\) cm | \(30\) m |
| Plano B | \(6\) cm | \(30\) m |
- Determina la escala del plano A.
- Determina la escala del plano B.
- ¿Cuál plano representa el patio con mayor tamaño en el papel?
Primero convertimos \(30\) m a centímetros:
\[ 30\text{ m}=3000\text{ cm} \]
- Plano A: \[ 10:3000=1:300 \] La escala del plano A es \(1:300\).
- Plano B: \[ 6:3000=1:500 \] La escala del plano B es \(1:500\).
- El plano A representa el patio con mayor tamaño en el papel, porque \(10\) cm es mayor que \(6\) cm para la misma medida real.
Ejercicio 6: elegir una escala adecuada
Una sala mide \(8\) m de largo y se quiere dibujar en una hoja. Se proponen tres escalas posibles.
| Escala | Medida del largo en el plano |
|---|---|
| \(1:50\) | Por calcular |
| \(1:100\) | Por calcular |
| \(1:200\) | Por calcular |
- Calcula cuánto mediría el largo en el plano con cada escala.
- Si la hoja permite un dibujo de máximo \(10\) cm de largo, ¿qué escalas sirven?
Convertimos \(8\) m a centímetros:
\[ 8\text{ m}=800\text{ cm} \]
- Con escala \(1:50\): \[ 800\div 50=16\text{ cm} \] Con escala \(1:100\): \[ 800\div 100=8\text{ cm} \] Con escala \(1:200\): \[ 800\div 200=4\text{ cm} \]
- Si el máximo permitido es \(10\) cm, sirven las escalas \(1:100\) y \(1:200\). La escala \(1:50\) no sirve porque produciría un dibujo de \(16\) cm.
Error frecuente
No calcules la escala comparando \(6\) cm con \(18\) m directamente. Antes debes usar la misma unidad: \(18\) m \(=1800\) cm.