Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
4. Aumentos y reducciones
Objetivos
- Determinar factores de aumento o reducción en imágenes.
- Calcular nuevas medidas al ampliar o reducir figuras.
- Distinguir cambio lineal y cambio de área en figuras semejantes.
Factor lineal y área
Si una figura se amplía o reduce con factor \(k\), sus longitudes se multiplican por \(k\).
El área, en cambio, se multiplica por \(k^2\).
\[ \text{longitud nueva}=k\cdot\text{longitud original} \]
\[ \text{área nueva}=k^2\cdot\text{área original} \]
Ejemplo: una foto ampliada
Una foto mide \(10\) cm por \(15\) cm. Se amplía con factor \(2\).
Las nuevas medidas son:
\[ 10\cdot 2=20 \qquad\text{y}\qquad 15\cdot 2=30 \]
El área original era:
\[ 10\cdot 15=150\text{ cm}^2 \]
El área nueva es:
\[ 20\cdot 30=600\text{ cm}^2 \]
Observa que el área se multiplicó por \(4\), porque \(2^2=4\).
Cuidado con el área
Si duplicas los lados de una figura, el área no se duplica: se cuadruplica. Esta diferencia es muy importante al trabajar con imágenes, planos y figuras semejantes.
Ejercicio 1: factor de aumento en una imagen
El rectángulo \(ABCD\) es la figura original y \(A'B'C'D'\) es su imagen. Usa las medidas indicadas para responder.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Indica si corresponde a un aumento o una reducción.
- Calcula por cuánto se multiplica el área.
- Comparamos lados correspondientes: \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}=1{,}5 \]
- Como \(k>1\), corresponde a un aumento.
- El área se multiplica por: \[ k^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25 \] Por lo tanto, el área queda \(2{,}25\) veces la original.
Ejercicio 2: reducción de una figura
El triángulo \(ABC\) se reduce para obtener el triángulo \(A'B'C'\). Se sabe que \(AB=12\) cm, \(AC=9\) cm, \(A'B'=8\) cm.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Encuentra la medida \(A'C'\).
- Calcula por cuánto se multiplica el área.
- Comparamos \(AB\) con \(A'B'\): \[ k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \]
- Como \(AC\) corresponde a \(A'C'\): \[ A'C'=9\cdot \frac{2}{3}=6 \] Por lo tanto, \(A'C'=6\) cm.
- El área se multiplica por: \[ k^2=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9} \] Por lo tanto, el área queda en \(\frac{4}{9}\) del área original.
Ejercicio 3: detectar una deformación
Una imagen rectangular original mide \(8\) cm de largo y \(5\) cm de alto. Se proponen dos cambios:
| Caso | Largo nuevo | Alto nuevo |
|---|---|---|
| Imagen A | \(16\) cm | \(10\) cm |
| Imagen B | \(16\) cm | \(8\) cm |
- Determina si la imagen A conserva la forma.
- Determina si la imagen B conserva la forma.
- Explica cuál imagen está deformada.
- Para la imagen A: \[ \frac{16}{8}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{10}{5}=2 \] Como ambos factores son iguales, la imagen A conserva la forma.
- Para la imagen B: \[ \frac{16}{8}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{8}{5}=1{,}6 \] Como los factores no son iguales, la imagen B no conserva la forma.
- La imagen B está deformada porque el largo y el alto no se multiplicaron por el mismo factor.
Ejercicio 4: dimensiones y área nueva
Completa cada situación. En todos los casos, la figura nueva es semejante a la original.
| Figura original | Factor \(k\) | Medidas nuevas | Factor de área |
|---|---|---|---|
| Rectángulo \(6\) cm por \(4\) cm | \(3\) | Por calcular | Por calcular |
| Cuadrado de lado \(18\) cm | \(\frac{1}{3}\) | Por calcular | Por calcular |
| Triángulo con lados \(5\), \(6\), \(7\) | \(2\) | Por calcular | Por calcular |
- Rectángulo \(6\) cm por \(4\) cm, con \(k=3\): \[ 6\cdot 3=18 \qquad\text{y}\qquad 4\cdot 3=12 \] Medidas nuevas: \(18\) cm por \(12\) cm. El factor de área es: \[ 3^2=9 \]
- Cuadrado de lado \(18\) cm, con \(k=\frac{1}{3}\): \[ 18\cdot \frac{1}{3}=6 \] El nuevo lado mide \(6\) cm. El factor de área es: \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9} \]
- Triángulo con lados \(5\), \(6\), \(7\), con \(k=2\): \[ 5\cdot 2=10,\quad 6\cdot 2=12,\quad 7\cdot 2=14 \] Los nuevos lados son \(10\), \(12\) y \(14\). El factor de área es: \[ 2^2=4 \]
Ejercicio 5: área original y área nueva
Resuelve considerando que el área se multiplica por \(k^2\).
- Un cuadrado de lado \(5\) cm se amplía con \(k=2\). ¿Cuál es su nueva área?
- Un rectángulo de área \(24\text{ cm}^2\) se reduce con \(k=\frac{1}{2}\). ¿Cuál es su nueva área?
- Un triángulo de área \(18\text{ cm}^2\) se amplía con \(k=3\). ¿Cuál es su nueva área?
- Una figura de área \(200\text{ cm}^2\) se reduce con \(k=0{,}4\). ¿Cuál es su nueva área?
- El área original del cuadrado es: \[ 5^2=25\text{ cm}^2 \] Como \(k=2\), el área se multiplica por \(2^2=4\): \[ 25\cdot 4=100\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=\frac{1}{2}\), el área se multiplica por: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4} \] Entonces: \[ 24\cdot \frac{1}{4}=6\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=3\), el área se multiplica por: \[ 3^2=9 \] Entonces: \[ 18\cdot 9=162\text{ cm}^2 \]
- Como \(k=0{,}4\), el área se multiplica por: \[ 0{,}4^2=0{,}16 \] Entonces: \[ 200\cdot 0{,}16=32\text{ cm}^2 \]
Ejercicio 6: encontrar el factor lineal desde el área
En cada caso, encuentra el factor lineal positivo \(k\).
- El área de una figura se multiplicó por \(9\).
- El área de una figura se multiplicó por \(4\).
- El área de una figura quedó en \(\frac{1}{4}\) de la original.
- El área de una figura quedó en \(\frac{1}{16}\) de la original.
Como el área se multiplica por \(k^2\), buscamos el valor positivo de \(k\).
- Si \(k^2=9\), entonces: \[ k=3 \]
- Si \(k^2=4\), entonces: \[ k=2 \]
- Si \(k^2=\frac{1}{4}\), entonces: \[ k=\frac{1}{2} \]
- Si \(k^2=\frac{1}{16}\), entonces: \[ k=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 7: ampliación de una fotografía
Una fotografía mide \(8\) cm por \(10\) cm. Se amplía a \(12\) cm por \(15\) cm.
- Calcula el factor lineal \(k\).
- Verifica que el largo y el ancho fueron multiplicados por el mismo factor.
- Calcula por cuánto se multiplicó el área.
- Calcula el área original y el área nueva para comprobar tu respuesta.
- Calculamos con una dimensión: \[ k=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}=1{,}5 \]
- Verificamos con la otra dimensión: \[ \frac{15}{10}=\frac{3}{2}=1{,}5 \] Como ambos factores son iguales, la fotografía no se deformó.
- El área se multiplicó por: \[ k^2=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
- Área original: \[ 8\cdot 10=80\text{ cm}^2 \] Área nueva: \[ 12\cdot 15=180\text{ cm}^2 \] Comprobamos: \[ \frac{180}{80}=\frac{9}{4}=2{,}25 \]
Lectura visual
Una imagen puede verse más grande o más pequeña, pero solo conserva su forma si el largo y el ancho se multiplican por el mismo factor. Si cada dimensión cambia con un factor distinto, la imagen queda deformada.