Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
5. Criterios de semejanza en triángulos
Objetivos
- Reconocer criterios de semejanza en triángulos.
- Aplicar semejanza de triángulos para calcular medidas.
- Justificar relaciones proporcionales usando AA, LAL o LLL.
Criterios principales
| Criterio | Información necesaria | Idea |
|---|---|---|
| AA | Dos ángulos correspondientes iguales | El tercer ángulo también coincide |
| LAL | Dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual | La forma queda determinada |
| LLL | Tres pares de lados proporcionales | Todas las longitudes cambian con el mismo factor |
Antes de usar un criterio
Para justificar que dos triángulos son semejantes, primero se debe identificar qué vértices, lados o ángulos son correspondientes.
Si \(\triangle ABC \sim \triangle DEF\), entonces las correspondencias son \(A\leftrightarrow D\), \(B\leftrightarrow E\) y \(C\leftrightarrow F\). Por lo tanto:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k \]
Ejemplo 1: criterio AA
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ \angle A=\angle D=45^\circ \qquad\text{y}\qquad \angle B=\angle E=65^\circ \]
Como hay dos pares de ángulos correspondientes iguales, los triángulos son semejantes por criterio AA:
\[ \triangle ABC \sim \triangle DEF \]
Ejemplo 2: criterio LAL
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ AB=6,\quad AC=8,\quad DE=9,\quad DF=12 \]
Además, \(\angle A=\angle D\). Decide si son semejantes.
Comparamos los lados que forman el ángulo igual:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]
Como los lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes por criterio LAL.
Ejemplo 3: criterio LLL
Un triángulo tiene lados \(5\), \(7\) y \(9\). Otro tiene lados \(10\), \(14\) y \(18\). ¿Son semejantes?
Comparamos las razones correspondientes:
\[ \frac{10}{5}=2,\qquad \frac{14}{7}=2,\qquad \frac{18}{9}=2 \]
Como las tres razones son iguales, los triángulos son semejantes por criterio LLL.
Idea clave
Primero justifica la semejanza; después usa proporciones. Saltarse la justificación puede llevar a usar razones donde no corresponden.
Ejercicio 1: identificar el criterio
Indica qué criterio permite justificar semejanza, si corresponde.
- Dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales.
- Un triángulo tiene lados \(3\), \(4\), \(5\), y otro tiene lados \(6\), \(8\), \(10\).
- Dos lados correspondientes cumplen \(5/10=7/14\), y el ángulo comprendido entre esos lados es igual.
- Un triángulo tiene lados \(4\), \(6\), \(9\), y otro tiene lados \(8\), \(12\), \(20\).
- Dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo correspondiente igual.
- Dos lados correspondientes son proporcionales, pero el ángulo igual no está comprendido entre ellos.
- AA, porque dos ángulos correspondientes iguales son suficientes.
- LLL, porque: \[ \frac{6}{3}=\frac{8}{4}=\frac{10}{5}=2 \]
- LAL, porque los dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual.
- No se justifica por LLL, porque: \[ \frac{8}{4}=2,\qquad \frac{12}{6}=2,\qquad \frac{20}{9}\neq 2 \]
- AA, porque ambos triángulos tienen \(90^\circ\) y un ángulo agudo correspondiente igual.
- No basta para LAL, porque el ángulo igual debe estar comprendido entre los lados proporcionales.
Ejercicio 2: aplicar AA y calcular una medida
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ \angle A=\angle D=42^\circ \qquad\text{y}\qquad \angle B=\angle E=68^\circ \]
Además, \(AB=8\), \(DE=12\) y \(BC=10\).
- Justifica la semejanza.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Encuentra \(EF\).
- Son semejantes por criterio AA, porque tienen dos pares de ángulos correspondientes iguales.
- Como \(AB\) corresponde a \(DE\): \[ k=\frac{DE}{AB}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2} \]
- Como \(BC\) corresponde a \(EF\): \[ EF=BC\cdot k=10\cdot \frac{3}{2}=15 \] Por lo tanto, \(EF=15\).
Ejercicio 3: aplicar LAL y calcular una medida
En los triángulos \(ABC\) y \(DEF\), se sabe que:
\[ AB=5,\quad AC=7,\quad DE=15,\quad DF=21 \]
Además, \(\angle A=\angle D\). Si \(BC=8\), encuentra \(EF\).
Primero verificamos los lados que forman el ángulo igual:
\[ \frac{DE}{AB}=\frac{15}{5}=3 \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{21}{7}=3 \]
Como los lados son proporcionales y el ángulo comprendido es igual, los triángulos son semejantes por LAL.
La razón de semejanza es \(k=3\). Como \(BC\) corresponde a \(EF\):
\[ EF=BC\cdot k=8\cdot 3=24 \]
Por lo tanto, \(EF=24\).
Ejercicio 4: aplicar LLL y calcular perímetro
Los lados del triángulo \(ABC\) miden \(6\), \(9\) y \(12\). Los lados correspondientes del triángulo \(DEF\) miden \(10\), \(15\) y \(20\).
- Justifica si los triángulos son semejantes por LLL.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Calcula el perímetro de \(DEF\).
- Comparamos los lados correspondientes: \[ \frac{10}{6}=\frac{5}{3},\qquad \frac{15}{9}=\frac{5}{3},\qquad \frac{20}{12}=\frac{5}{3} \] Como las tres razones son iguales, son semejantes por LLL.
- La razón de semejanza es: \[ k=\frac{5}{3} \]
- El perímetro de \(DEF\) es: \[ 10+15+20=45 \]
Ejercicio 5: decidir entre AA, LAL, LLL o no corresponde
Para cada caso, indica si se puede justificar semejanza y escribe el criterio correspondiente.
| Caso | Información |
|---|---|
| A | Ángulos correspondientes \(30^\circ\) y \(80^\circ\) en ambos triángulos. |
| B | Lados \(4,6,10\) y \(8,12,20\). |
| C | Lados \(5\) y \(9\) proporcionales a \(10\) y \(18\), con el ángulo comprendido igual. |
| D | Lados \(3,5,7\) y \(6,10,15\). |
| E | Un solo par de ángulos correspondientes iguales. |
- Caso A: AA, porque hay dos ángulos correspondientes iguales.
- Caso B: LLL, porque: \[ \frac{8}{4}=\frac{12}{6}=\frac{20}{10}=2 \]
- Caso C: LAL, porque: \[ \frac{10}{5}=2 \qquad\text{y}\qquad \frac{18}{9}=2 \] y el ángulo comprendido es igual.
- Caso D: no corresponde LLL, porque: \[ \frac{6}{3}=2,\qquad \frac{10}{5}=2,\qquad \frac{15}{7}\neq 2 \]
- Caso E: no basta; un solo par de ángulos iguales no asegura semejanza.
Ejercicio 6: detectar un error en LAL
Un estudiante afirma que los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) son semejantes por LAL porque:
\[ AB=6,\quad AC=10,\quad DE=9,\quad DF=15 \]
Además, sabe que \(\angle B=\angle E\).
- Verifica si los lados dados son proporcionales.
- Explica por qué no se puede aplicar LAL con la información dada.
- Indica qué dato angular permitiría aplicar LAL correctamente.
- Los lados dados sí son proporcionales: \[ \frac{DE}{AB}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2} \qquad\text{y}\qquad \frac{DF}{AC}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2} \]
- No se puede aplicar LAL porque el ángulo informado es \(\angle B=\angle E\), pero los lados proporcionales dados son \(AB\), \(AC\), \(DE\) y \(DF\). El ángulo comprendido entre esos lados es \(\angle A\) en el primer triángulo y \(\angle D\) en el segundo.
- Para aplicar LAL correctamente, debería saberse que: \[ \angle A=\angle D \]
Ejercicio 7: problema integrador
Los triángulos \(ABC\) y \(DEF\) tienen lados:
\[ AB=7,\quad BC=9,\quad CA=11 \]
\[ DE=14,\quad EF=18,\quad FD=22 \]
- Justifica si los triángulos son semejantes.
- Indica el criterio usado.
- Calcula la razón de semejanza desde \(ABC\) hacia \(DEF\).
- Si el perímetro de \(ABC\) es \(27\), verifica el perímetro de \(DEF\).
- Comparamos los lados correspondientes: \[ \frac{DE}{AB}=\frac{14}{7}=2,\qquad \frac{EF}{BC}=\frac{18}{9}=2,\qquad \frac{FD}{CA}=\frac{22}{11}=2 \] Como las tres razones son iguales, los triángulos son semejantes.
- El criterio usado es LLL.
- La razón de semejanza es: \[ k=2 \]
- El perímetro de \(DEF\) debe ser el doble del perímetro de \(ABC\): \[ 27\cdot 2=54 \] Además: \[ 14+18+22=54 \] Se verifica el resultado.
Error frecuente
No basta con encontrar “algo parecido”. Para justificar semejanza se debe indicar un criterio: AA, LAL o LLL, según la información disponible. En LAL, el ángulo igual debe estar entre los dos lados proporcionales.