Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
6. Teorema de Euclides: altura
Objetivos
- Verificar pictóricamente el teorema de Euclides en un triángulo rectángulo.
- Relacionar la altura a la hipotenusa con las proyecciones que determina.
- Aplicar \(h^2=mn\) en problemas geométricos.
Altura a la hipotenusa
En un triángulo rectángulo, la altura trazada desde el vértice del ángulo recto divide la hipotenusa en dos segmentos. A esos segmentos los llamaremos \(m\) y \(n\).
Si \(CD\) es la altura a la hipotenusa, entonces \(h=CD\), \(m=AD\) y \(n=DB\).
Teorema de la altura
Si \(h\) es la altura a la hipotenusa y \(m,n\) son las dos proyecciones que esa altura determina sobre la hipotenusa, entonces:
\[ h^2=mn \]
Por lo tanto:
\[ h=\sqrt{mn} \]
Esta relación solo se aplica cuando la altura se traza desde el ángulo recto hacia la hipotenusa.
Origen por semejanza
La relación \(h^2=mn\) aparece porque la altura a la hipotenusa forma dos triángulos rectángulos más pequeños, y esos triángulos son semejantes entre sí y con el triángulo original.
Ejemplo 1: calcular la altura
La altura a la hipotenusa divide la hipotenusa en segmentos de \(9\) cm y \(16\) cm. Calcula la altura.
Aplicamos el teorema:
\[ h^2=mn \]
Reemplazamos \(m=9\) y \(n=16\):
\[ h^2=9\cdot 16=144 \]
Como \(h\) es una longitud, tomamos la raíz positiva:
\[ h=\sqrt{144}=12 \]
La altura mide \(12\) cm.
Ejemplo 2: encontrar una proyección
En un triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa mide \(12\) cm. Una de las proyecciones mide \(9\) cm. Calcula la otra proyección.
Usamos:
\[ h^2=mn \]
Reemplazamos \(h=12\) y \(m=9\):
\[ 12^2=9n \]
\[ 144=9n \]
Dividimos por \(9\):
\[ n=\frac{144}{9}=16 \]
La proyección faltante mide \(16\) cm.
Ejercicio 1: reconocer \(m\), \(n\) y \(h\)
Observa el triángulo rectángulo. La altura \(CD\) cae sobre la hipotenusa \(AB\).
- Identifica \(m\).
- Identifica \(n\).
- Calcula \(h\).
- Como \(m=AD\), entonces: \[ m=4 \]
- Como \(n=DB\), entonces: \[ n=9 \]
- Aplicamos el teorema de la altura: \[ h^2=mn=4\cdot 9=36 \] Entonces: \[ h=\sqrt{36}=6 \] Por lo tanto, \(h=6\) cm.
Ejercicio 2: calcular la altura
Calcula \(h\) usando el teorema de la altura. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica en la figura las proyecciones \(m\), \(n\) y la altura \(h\).
- \(m=4\), \(n=9\).
- \(m=2\), \(n=8\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=5\) cm y \(DB=20\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=3\) cm y \(DB=12\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=1\) cm y \(DB=25\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=16\) cm y \(DB=25\) cm, calcula \(CD\).
-
\[ h^2=4\cdot 9=36 \]
\[ h=6 \]
-
\[ h^2=2\cdot 8=16 \]
\[ h=4 \]
-
En la figura, \(m=AD=5\), \(n=DB=20\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=5\cdot 20=100 \]
\[ CD=10 \]
Por lo tanto, \(CD=10\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=3\), \(n=DB=12\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=3\cdot 12=36 \]
\[ CD=6 \]
Por lo tanto, \(CD=6\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=1\), \(n=DB=25\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=1\cdot 25=25 \]
\[ CD=5 \]
Por lo tanto, \(CD=5\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=16\), \(n=DB=25\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=AD\cdot DB=16\cdot 25=400 \]
\[ CD=20 \]
Por lo tanto, \(CD=20\) cm.
Ejercicio 3: encontrar una proyección
Encuentra la proyección faltante usando \(h^2=mn\). En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero \(m\), \(n\) y \(h\) en la figura.
- \(h=6\), \(m=4\). Encuentra \(n\).
- \(h=10\), \(m=5\). Encuentra \(n\).
- \(h=12\), \(n=16\). Encuentra \(m\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=12\) cm y \(AD=9\) cm, encuentra \(DB\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=8\) cm y \(DB=4\) cm, encuentra \(AD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(CD=15\) cm y \(AD=25\) cm, encuentra \(DB\).
-
Usamos \(h^2=mn\):
\[ 6^2=4n \]
\[ 36=4n \]
\[ n=9 \]
-
\[ 10^2=5n \]
\[ 100=5n \]
\[ n=20 \]
-
\[ 12^2=16m \]
\[ 144=16m \]
\[ m=9 \]
-
En la figura, \(h=CD=12\), \(m=AD=9\) y se pide \(n=DB\).
\[ h^2=mn \]
\[ 12^2=9n \]
\[ 144=9n \]
\[ n=16 \]
Por lo tanto, \(DB=16\) cm.
-
En la figura, \(h=CD=8\), \(n=DB=4\) y se pide \(m=AD\).
\[ 8^2=4m \]
\[ 64=4m \]
\[ m=16 \]
Por lo tanto, \(AD=16\) cm.
-
En la figura, \(h=CD=15\), \(m=AD=25\) y se pide \(n=DB\).
\[ 15^2=25n \]
\[ 225=25n \]
\[ n=9 \]
Por lo tanto, \(DB=9\) cm.
Ejercicio 4: usar la hipotenusa completa
En cada caso, la altura divide la hipotenusa en dos proyecciones. Recuerda que si la hipotenusa mide \(AB\), entonces \(AB=m+n\).
- \(AB=25\) cm y \(m=9\) cm. Calcula \(n\) y luego \(h\).
- \(AB=20\) cm y \(m=5\) cm. Calcula \(n\) y luego \(h\).
- \(AB=18\) cm y \(n=8\) cm. Calcula \(m\) y luego \(h\).
-
En la figura, \(AB=50\) cm y \(AD=18\) cm. Calcula \(DB\) y luego \(CD\).
-
En la figura, \(AB=34\) cm y \(DB=9\) cm. Calcula \(AD\) y luego \(CD\).
-
En la figura, la hipotenusa \(AB\) está dibujada en otra posición. Si \(AB=45\) cm y \(AD=20\) cm, calcula \(DB\) y luego \(CD\).
-
Como \(AB=m+n\), entonces:
\[ n=25-9=16 \]
Luego:
\[ h^2=9\cdot 16=144 \]
\[ h=12 \]
-
Primero:
\[ n=20-5=15 \]
Luego:
\[ h^2=5\cdot 15=75 \]
\[ h=\sqrt{75}=5\sqrt{3} \]
Por lo tanto, \(h=5\sqrt{3}\) cm.
-
Primero:
\[ m=18-8=10 \]
Luego:
\[ h^2=10\cdot 8=80 \]
\[ h=\sqrt{80}=4\sqrt{5} \]
Por lo tanto, \(h=4\sqrt{5}\) cm.
-
En la figura, \(AB=50\) y \(AD=18\). Entonces:
\[ DB=50-18=32 \]
Ahora aplicamos el teorema de la altura:
\[ CD^2=AD\cdot DB \]
\[ CD^2=18\cdot 32=576 \]
\[ CD=24 \]
Por lo tanto, \(DB=32\) cm y \(CD=24\) cm.
-
En la figura, \(AB=34\) y \(DB=9\). Entonces:
\[ AD=34-9=25 \]
Luego:
\[ CD^2=AD\cdot DB=25\cdot 9=225 \]
\[ CD=15 \]
Por lo tanto, \(AD=25\) cm y \(CD=15\) cm.
-
En la figura, \(AB=45\) y \(AD=20\). Entonces:
\[ DB=45-20=25 \]
Luego:
\[ CD^2=AD\cdot DB=20\cdot 25=500 \]
\[ CD=\sqrt{500}=10\sqrt{5} \]
Por lo tanto, \(DB=25\) cm y \(CD=10\sqrt{5}\) cm.
Ejercicio 5: interpretar la media geométrica
Responde usando el teorema de la altura. En los tres primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, identifica primero las proyecciones en la figura.
- Si \(m=n=9\), ¿cuánto mide \(h\)?
- Si \(m=4\) y \(n=16\), ¿cuánto mide \(h\)?
- Si \(m=1\) y \(n=49\), ¿cuánto mide \(h\)?
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=16\) cm y \(DB=36\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=9\) cm y \(DB=49\) cm, calcula \(CD\).
-
En la figura, \(CD\) es la altura a la hipotenusa \(AB\). Si \(AD=12\) cm y \(DB=27\) cm, calcula \(CD\) y escribe el resultado exacto.
-
\[ h^2=9\cdot 9=81 \]
\[ h=9 \]
Si las proyecciones son iguales, la altura coincide con ellas.
-
\[ h^2=4\cdot 16=64 \]
\[ h=8 \]
La altura \(h=8\) es la media geométrica entre \(4\) y \(16\).
-
\[ h^2=1\cdot 49=49 \]
\[ h=7 \]
La altura \(h=7\) es la media geométrica entre \(1\) y \(49\).
-
En la figura, \(m=AD=16\), \(n=DB=36\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=16\cdot 36=576 \]
\[ CD=\sqrt{576}=24 \]
Por lo tanto, \(CD=24\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=9\), \(n=DB=49\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=9\cdot 49=441 \]
\[ CD=\sqrt{441}=21 \]
Por lo tanto, \(CD=21\) cm.
-
En la figura, \(m=AD=12\), \(n=DB=27\) y \(h=CD\).
\[ CD^2=12\cdot 27=324 \]
\[ CD=\sqrt{324}=18 \]
Por lo tanto, \(CD=18\) cm.
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
- Si \(m=4\) y \(n=9\), entonces \(h=13\), porque \(4+9=13\).
- Si \(h=10\) y \(m=4\), entonces \(n=25\).
- Si \(m=0\), entonces \(h=0\), pero el triángulo queda degenerado.
- Si \(m\) aumenta y \(n\) disminuye, entonces \(h\) siempre aumenta.
- Incorrecta. No se suman las proyecciones para obtener la altura. Se usa: \[ h^2=mn=4\cdot 9=36 \] \[ h=6 \]
- Correcta. Aplicamos: \[ h^2=mn \] \[ 10^2=4n \] \[ 100=4n \] \[ n=25 \]
- Correcta. Si \(m=0\), entonces: \[ h^2=0\cdot n=0 \] \[ h=0 \] Pero una altura de longitud \(0\) no corresponde a un triángulo rectángulo usual, sino a una figura degenerada.
- Incorrecta. La altura depende del producto \(mn\), no de cada proyección por separado. Si una aumenta y la otra disminuye, el producto puede aumentar, disminuir o mantenerse.
Ejercicio 7: problema geométrico
En un triángulo rectángulo, la altura a la hipotenusa mide \(24\) cm. Una de las proyecciones mide \(18\) cm.
- Calcula la otra proyección.
- Calcula la hipotenusa completa.
- Verifica el resultado usando \(h^2=mn\).
- Usamos: \[ h^2=mn \] Reemplazamos \(h=24\) y \(m=18\): \[ 24^2=18n \] \[ 576=18n \] \[ n=32 \]
- La hipotenusa completa es: \[ m+n=18+32=50 \] Por lo tanto, la hipotenusa mide \(50\) cm.
- Verificamos: \[ mn=18\cdot 32=576 \] y: \[ h^2=24^2=576 \] Se cumple \(h^2=mn\).
Error frecuente
No confundas la altura con la hipotenusa ni con la suma de las proyecciones. La hipotenusa es \(m+n\), pero la altura cumple \(h^2=mn\).