Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
10. Homotecia en el plano cartesiano
Objetivos
- Realizar homotecias de triángulos y cuadriláteros en el plano cartesiano.
- Determinar coordenadas de imágenes homotéticas usando centro y factor.
- Comparar preimagen e imagen para reconocer ampliaciones, reducciones y cambios de orientación.
Homotecia con centro en el origen
Si el centro de homotecia es el origen \(O=(0,0)\), cada punto \(P(x,y)\) se transforma multiplicando ambas coordenadas por el mismo factor \(k\):
\[ (x,y)\longmapsto (kx,ky) \]
En una figura, se aplica la misma regla a cada vértice.
Homotecia con centro distinto del origen
Si el centro de homotecia es \(S(a,b)\), primero se observa el desplazamiento desde el centro hacia cada punto.
Para un punto \(P(x,y)\), su imagen \(P'\) se calcula con:
\[ P'=S+k(P-S) \]
En coordenadas:
\[ P'\left(a+k(x-a),\ b+k(y-b)\right) \]
Ejemplo 1: triángulo con centro en el origen
Sea el triángulo \(ABC\), con \(A(1,2)\), \(B(3,1)\) y \(C(2,4)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=2\).
Como el centro es el origen, multiplicamos cada coordenada por \(2\):
\[ A(1,2)\mapsto A'(2,4) \]
\[ B(3,1)\mapsto B'(6,2) \]
\[ C(2,4)\mapsto C'(4,8) \]
La imagen es una ampliación y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejemplo 2: cuadrilátero con factor negativo
Sea el cuadrilátero \(ABCD\), con \(A(-6,2)\), \(B(-2,2)\), \(C(-2,4)\) y \(D(-6,4)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac{1}{2}\).
Multiplicamos cada coordenada por \(-\frac{1}{2}\):
\[ A(-6,2)\mapsto A'(3,-1) \]
\[ B(-2,2)\mapsto B'(1,-1) \]
\[ C(-2,4)\mapsto C'(1,-2) \]
\[ D(-6,4)\mapsto D'(3,-2) \]
La imagen es una reducción y queda en dirección opuesta respecto del origen.
Ejemplo 3: centro distinto del origen
Sea \(S(1,1)\) el centro de homotecia. El triángulo tiene vértices \(A(2,1)\), \(B(4,1)\) y \(C(3,3)\). Aplica una homotecia de factor \(k=2\).
Calculamos cada imagen usando \(P'=S+k(P-S)\).
Para \(A(2,1)\):
\[ A'=S+2(A-S)=(1,1)+2(1,0)=(3,1) \]
Para \(B(4,1)\):
\[ B'=S+2(B-S)=(1,1)+2(3,0)=(7,1) \]
Para \(C(3,3)\):
\[ C'=S+2(C-S)=(1,1)+2(2,2)=(5,5) \]
Idea clave
En una homotecia de figuras, cada vértice se transforma con el mismo centro y el mismo factor. Por eso la imagen conserva la forma, aunque puede cambiar de tamaño y orientación respecto del centro.
Ejercicio 1: triángulos con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada a cada triángulo. Determina las coordenadas de la imagen y clasifica la transformación como ampliación, reducción o conservación de tamaño.
Ejercicio 1.1
Aplica \(k=2\) al triángulo \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(2,3)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 1.2
Aplica \(k=-1\) al triángulo \(D(1,-2)\), \(E(3,-1)\), \(F(2,-4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 1.3
Aplica \(k=\frac{1}{2}\) al triángulo \(G(-4,2)\), \(H(-2,4)\), \(I(-6,4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Solución 1.1
Multiplicamos cada coordenada por \(2\):
\[ A(1,1)\mapsto A'(2,2) \]
\[ B(3,1)\mapsto B'(6,2) \]
\[ C(2,3)\mapsto C'(4,6) \]
Es una ampliación y queda en la misma dirección respecto del origen.
Solución 1.2
Multiplicamos cada coordenada por \(-1\):
\[ D(1,-2)\mapsto D'(-1,2) \]
\[ E(3,-1)\mapsto E'(-3,1) \]
\[ F(2,-4)\mapsto F'(-2,4) \]
Conserva el tamaño, pero queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 1.3
Multiplicamos cada coordenada por \(\frac{1}{2}\):
\[ G(-4,2)\mapsto G'(-2,1) \]
\[ H(-2,4)\mapsto H'(-1,2) \]
\[ I(-6,4)\mapsto I'(-3,2) \]
Es una reducción y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejercicio 2: cuadriláteros con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada a cada cuadrilátero. Determina las coordenadas de la imagen y describe qué ocurre con el tamaño y la orientación.
Ejercicio 2.1
Aplica \(k=2\) al cuadrilátero \(A(1,1)\), \(B(3,1)\), \(C(3,3)\), \(D(1,3)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 2.2
Aplica \(k=-\frac{1}{2}\) al cuadrilátero \(E(-6,2)\), \(F(-2,2)\), \(G(-2,4)\), \(H(-6,4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Ejercicio 2.3
Aplica \(k=-1\) al cuadrilátero \(P(1,-1)\), \(Q(4,-1)\), \(R(5,-3)\), \(S(2,-4)\), con centro \(O=(0,0)\).
Solución 2.1
\[ A'(2,2),\quad B'(6,2),\quad C'(6,6),\quad D'(2,6) \]
Es una ampliación con la misma dirección respecto del origen.
Solución 2.2
\[ E'(3,-1),\quad F'(1,-1),\quad G'(1,-2),\quad H'(3,-2) \]
Es una reducción y queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 2.3
\[ P'(-1,1),\quad Q'(-4,1),\quad R'(-5,3),\quad S'(-2,4) \]
Con \(k=-1\), el cuadrilátero conserva su tamaño, pero queda al lado opuesto del origen.
Ejercicio 3: encontrar el factor a partir de figuras
Compara cada figura con su imagen y determina el factor de homotecia. Observa si la imagen queda en la misma dirección o en dirección opuesta respecto del origen.
Ejercicio 3.1
En la figura, el triángulo \(ABC\) se transforma en \(A'B'C'\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.2
En la figura, el cuadrilátero \(DEFG\) se transforma en \(D'E'F'G'\). Determina \(k\).
Ejercicio 3.3
En la figura, el triángulo \(HIJ\) se transforma en \(H'I'J'\). Determina \(k\).
Solución 3.1
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ A(1,1)\mapsto A'(2,2) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(2\), por lo tanto:
\[ k=2 \]
Solución 3.2
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ D(1,-1)\mapsto D'(-1,1) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(-1\), por lo tanto:
\[ k=-1 \]
La figura conserva su tamaño, pero queda en dirección opuesta respecto del origen.
Solución 3.3
Comparamos un vértice y su imagen:
\[ H(-4,2)\mapsto H'(-2,1) \]
Ambas coordenadas se multiplican por \(\frac{1}{2}\), por lo tanto:
\[ k=\frac{1}{2} \]
La figura es una reducción y queda en la misma dirección respecto del origen.
Ejercicio 4: figuras con centro distinto del origen
Aplica la homotecia indicada usando \(P'=S+k(P-S)\). Trabaja vértice por vértice.
Ejercicio 4.1
Centro \(S(1,1)\), triángulo \(A(2,1)\), \(B(4,1)\), \(C(3,3)\), con \(k=2\).
Ejercicio 4.2
Centro \(S(2,2)\), triángulo \(D(5,2)\), \(E(5,4)\), \(F(3,5)\), con \(k=-1\).
Ejercicio 4.3
Centro \(S(-1,2)\), cuadrilátero \(P(1,2)\), \(Q(1,4)\), \(R(3,4)\), \(T(3,2)\), con \(k=\frac{1}{2}\).
Solución 4.1
Con centro \(S(1,1)\) y \(k=2\):
\[ A'=S+2(A-S)=(1,1)+2(1,0)=(3,1) \]
\[ B'=S+2(B-S)=(1,1)+2(3,0)=(7,1) \]
\[ C'=S+2(C-S)=(1,1)+2(2,2)=(5,5) \]
Solución 4.2
Con centro \(S(2,2)\) y \(k=-1\):
\[ D'=S-1(D-S)=(2,2)-(3,0)=(-1,2) \]
\[ E'=S-1(E-S)=(2,2)-(3,2)=(-1,0) \]
\[ F'=S-1(F-S)=(2,2)-(1,3)=(1,-1) \]
La imagen queda al lado opuesto del centro y conserva el tamaño.
Solución 4.3
Con centro \(S(-1,2)\) y \(k=\frac{1}{2}\):
\[ P'=S+\frac{1}{2}(P-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(2,0)=(0,2) \]
\[ Q'=S+\frac{1}{2}(Q-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(2,2)=(0,3) \]
\[ R'=S+\frac{1}{2}(R-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(4,2)=(1,3) \]
\[ T'=S+\frac{1}{2}(T-S)=(-1,2)+\frac{1}{2}(4,0)=(1,2) \]
Es una reducción con la misma dirección respecto del centro.
Ejercicio 5: verificar si corresponde a una homotecia
Analiza cada situación y decide si puede corresponder a una homotecia con el centro indicado. Justifica.
Ejercicio 5.1
Centro \(O=(0,0)\). Se afirma que \(A(2,1)\) se transforma en \(A'(4,2)\) y \(B(3,2)\) se transforma en \(B'(6,4)\).
Ejercicio 5.2
Centro \(O=(0,0)\). Se afirma que \(A(2,1)\) se transforma en \(A'(4,2)\), pero \(B(3,2)\) se transforma en \(B'(9,4)\).
Ejercicio 5.3
Centro \(S(1,1)\). Se afirma que \(P(3,1)\) se transforma en \(P'(5,1)\) con \(k=2\).
Ejercicio 5.4
Centro \(S(1,1)\). Se afirma que \(P(3,1)\) se transforma en \(P'(6,2)\) con \(k=2\).
Solución 5.1
Sí corresponde. Para ambos puntos se cumple:
\[ (2,1)\mapsto (4,2) \]
\[ (3,2)\mapsto (6,4) \]
En ambos casos las coordenadas se multiplican por \(2\), por lo tanto \(k=2\).
Solución 5.2
No corresponde a una misma homotecia de centro \(O\). Para \(A\):
\[ (2,1)\mapsto(4,2) \]
Eso indica \(k=2\). Pero para \(B\):
\[ (3,2)\mapsto(9,4) \]
La primera coordenada se multiplicó por \(3\), pero la segunda por \(2\). No hay un único factor \(k\).
Solución 5.3
Sí corresponde. Calculamos desde el centro:
\[ P-S=(3,1)-(1,1)=(2,0) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,0)=(5,1) \]
Solución 5.4
No corresponde. Si \(S(1,1)\), \(P(3,1)\) y \(k=2\), entonces:
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,0)=(5,1) \]
El punto \(P'(6,2)\) no queda alineado correctamente con \(S\) y \(P\) para ese factor.
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si el centro es \(O=(0,0)\), el punto \((3,4)\) con \(k=2\) queda en \((6,8)\).
Ejercicio 6.2
Si el centro es \(S(1,1)\), el punto \(P(3,5)\) con \(k=2\) queda en \((6,10)\), porque basta multiplicar las coordenadas por \(2\).
Ejercicio 6.3
Si \(k=-2\), todas las coordenadas de la imagen deben ser negativas.
Ejercicio 6.4
Si un punto y su imagen no están alineados con el centro, entonces no corresponden a una homotecia con ese centro.
Solución 6.1
Correcta. Como el centro es el origen:
\[ (3,4)\mapsto(2\cdot3,\ 2\cdot4)=(6,8) \]
Solución 6.2
Incorrecta. Como el centro no es el origen, no basta con multiplicar directamente las coordenadas.
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(5,9) \]
Solución 6.3
Incorrecta. Que \(k\) sea negativo no significa que todas las coordenadas sean negativas. Por ejemplo:
\[ (-2,-3)\mapsto -2(-2,-3)=(4,6) \]
Solución 6.4
Correcta. En una homotecia, el centro, cada punto y su imagen deben estar alineados.
Cuidado
Cuando el centro no es el origen, no se multiplican directamente las coordenadas del punto. Primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia cada vértice.