Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
9. Vectores, escalar
Vectores, multiplicación por escalar y homotecia puntual
Objetivos
- Determinar el producto de un vector por un escalar.
- Interpretar el efecto de un escalar sobre la longitud y el sentido de un vector.
- Aplicar homotecias puntuales en el plano cartesiano usando centro y factor.
Producto de un vector por un escalar
Si \(\vec v=(a,b)\), entonces:
\[ k\vec v=(ka,kb) \]
El valor \(|k|\) indica cuánto cambia la longitud del vector. El signo de \(k\) indica si conserva o cambia su sentido.
Homotecia puntual
Una homotecia puntual transforma un punto \(P\) en otro punto \(P'\), usando un centro y un factor \(k\).
Si el centro es el origen \(O=(0,0)\), entonces:
\[ P(x,y)\longmapsto P'(kx,ky) \]
Si el centro es \(S(a,b)\), entonces:
\[ P'=S+k(P-S) \]
Ejemplo 1: multiplicar un vector por escalares
Sea \(\vec v=(3,-2)\). Calcula \(2\vec v\), \(-\vec v\) y \(\frac12\vec v\).
Multiplicamos cada coordenada por el escalar:
\[ 2\vec v=2(3,-2)=(6,-4) \]
\[ -\vec v=-1(3,-2)=(-3,2) \]
\[ \frac12\vec v=\frac12(3,-2)=\left(\frac32,-1\right) \]
Ejemplo 2: homotecia puntual con centro en el origen
Considera el punto \(P(4,2)\). Aplica una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\).
Como el centro es el origen, multiplicamos las coordenadas por \(k\):
\[ P'=-\frac12(4,2)=(-2,-1) \]
La imagen queda en sentido opuesto respecto del origen y a la mitad de la distancia.
Ejemplo 3: homotecia puntual con centro distinto del origen
Sea \(S(1,1)\) el centro de homotecia, \(P(3,5)\) y \(k=2\). Calcula \(P'\).
Primero calculamos el desplazamiento desde el centro hacia el punto:
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
Multiplicamos ese desplazamiento por \(2\):
\[ 2(P-S)=2(2,4)=(4,8) \]
Sumamos el resultado al centro:
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+(4,8)=(5,9) \]
Idea clave
El producto por escalar permite entender la homotecia puntual: desde un centro, el vector que llega a un punto se multiplica por un factor \(k\).
Ejercicio 1: producto por escalar
Calcula cada vector. En los dos primeros casos trabaja de forma numérica; en los siguientes, apóyate en la representación geométrica.
Ejercicio 1.1
Calcula \(3(2,1)\).
Ejercicio 1.2
Calcula \(-2(4,-1)\).
Ejercicio 1.3
En la figura se representa el vector \(\vec v=(6,8)\). Calcula \(\frac12\vec v\).
Ejercicio 1.4
En la figura se representa el vector \(\vec v=(-4,10)\). Calcula \(0{,}5\vec v\).
Solución 1.1
\[ 3(2,1)=(6,3) \]
Solución 1.2
\[ -2(4,-1)=(-8,2) \]
El signo negativo cambia el sentido del vector.
Solución 1.3
\[ \frac12(6,8)=\left(\frac12\cdot6,\frac12\cdot8\right)=(3,4) \]
El vector resultante conserva el sentido, pero mide la mitad.
Solución 1.4
\[ 0{,}5(-4,10)=(-2,5) \]
El vector resultante conserva el sentido, pero mide la mitad.
Ejercicio 2: interpretar el efecto del escalar
Describe si el vector se alarga, se reduce, conserva su longitud o cambia de sentido.
Ejercicio 2.1
\(k=4\).
Ejercicio 2.2
\(k=\frac13\).
Ejercicio 2.3
En la figura se muestra \(\vec v\) y su transformado \(-2\vec v\). Describe qué ocurrió con la longitud y el sentido.
Ejercicio 2.4
En la figura se muestra \(\vec v\) y su transformado \(-\frac14\vec v\). Describe qué ocurrió con la longitud y el sentido.
Solución 2.1
Se alarga cuatro veces y conserva el sentido, porque \(k=4>0\).
Solución 2.2
Se reduce a un tercio y conserva el sentido, porque \(0<k<1\).
Solución 2.3
El vector se alarga al doble porque \(|-2|=2\), y cambia de sentido porque \(k<0\).
Solución 2.4
El vector se reduce a un cuarto porque \(\left|-\frac14\right|=\frac14\), y cambia de sentido porque \(k<0\).
Ejercicio 3: homotecia puntual con centro en el origen
Aplica la homotecia indicada. Recuerda que, si el centro es \(O=(0,0)\), entonces \(P(x,y)\mapsto P'(kx,ky)\).
Ejercicio 3.1
El punto \(P(3,2)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=2\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.2
El punto \(P(6,-4)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.3
En la figura, \(P(2,1)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=3\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 3.4
En la figura, \(P(4,-2)\) se transforma mediante una homotecia de centro \(O=(0,0)\) y factor \(k=-\frac12\). Encuentra \(P'\).
Solución 3.1
\[ P'=2(3,2)=(6,4) \]
La imagen queda en la misma dirección respecto del origen y al doble de distancia.
Solución 3.2
\[ P'=-\frac12(6,-4)=(-3,2) \]
La imagen queda en sentido opuesto respecto del origen y a la mitad de distancia.
Solución 3.3
\[ P'=3(2,1)=(6,3) \]
Como \(k>0\), \(P'\) queda en la misma dirección respecto de \(O\).
Solución 3.4
\[ P'=-\frac12(4,-2)=(-2,1) \]
Como \(k<0\), \(P'\) queda en sentido opuesto respecto de \(O\).
Ejercicio 4: encontrar el factor de una homotecia puntual
Determina el factor \(k\). Observa si \(P'\) queda en la misma dirección o en sentido opuesto respecto del centro.
Ejercicio 4.1
Con centro \(O=(0,0)\), \(P(2,5)\) se transforma en \(P'(6,15)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.2
Con centro \(O=(0,0)\), \(P(4,8)\) se transforma en \(P'(2,4)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.3
En la figura, \(P(3,-1)\) se transforma en \(P'(-6,2)\). Encuentra \(k\).
Ejercicio 4.4
En la figura, \(P(-2,3)\) se transforma en \(P'(1,-1{,}5)\). Encuentra \(k\).
Solución 4.1
\[ k=\frac{6}{2}=\frac{15}{5}=3 \]
Solución 4.2
\[ k=\frac{2}{4}=\frac{4}{8}=\frac12 \]
Solución 4.3
Comparamos coordenadas correspondientes:
\[ k=\frac{-6}{3}=\frac{2}{-1}=-2 \]
El factor es negativo porque \(P'\) queda en sentido opuesto respecto del origen.
Solución 4.4
Comparamos coordenadas correspondientes:
\[ k=\frac{1}{-2}=\frac{-1{,}5}{3}=-\frac12 \]
Por lo tanto, \(k=-\frac12\). La imagen queda en sentido opuesto y más cerca del centro.
Ejercicio 5: homotecia puntual con centro distinto del origen
Usa \(P'=S+k(P-S)\). Recuerda que primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia el punto.
Ejercicio 5.1
\(S(1,1)\), \(P(3,5)\), \(k=2\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.2
\(S(0,2)\), \(P(4,6)\), \(k=\frac12\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.3
En la figura, \(S(2,0)\), \(P(5,3)\) y \(k=-1\). Encuentra \(P'\).
Ejercicio 5.4
En la figura, \(S(3,3)\), \(P(7,5)\) y \(k=\frac12\). Encuentra \(P'\).
Solución 5.1
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(1,1)+(4,8)=(5,9) \]
Solución 5.2
\[ P-S=(4,6)-(0,2)=(4,4) \]
\[ P'=S+\frac12(P-S)=(0,2)+\frac12(4,4)=(0,2)+(2,2)=(2,4) \]
Solución 5.3
\[ P-S=(5,3)-(2,0)=(3,3) \]
\[ P'=S+(-1)(P-S)=(2,0)+(-3,-3)=(-1,-3) \]
Como \(k=-1\), \(P'\) queda al lado opuesto de \(S\), a la misma distancia que \(P\).
Solución 5.4
\[ P-S=(7,5)-(3,3)=(4,2) \]
\[ P'=S+\frac12(P-S)=(3,3)+(2,1)=(5,4) \]
Como \(0<k<1\), \(P'\) queda entre \(S\) y \(P\).
Ejercicio 6: detectar errores
Analiza cada afirmación y decide si es correcta o incorrecta. Justifica.
Ejercicio 6.1
Si \(\vec v=(3,4)\), entonces \(2\vec v=(6,8)\).
Ejercicio 6.2
Si \(k=-2\), el vector siempre queda con coordenadas negativas.
Ejercicio 6.3
Si el centro es \(O=(0,0)\), el punto \(P(3,4)\) con \(k=2\) queda en \(P'(6,8)\).
Ejercicio 6.4
Si el centro es \(S(1,1)\), el punto \(P(3,5)\) con \(k=2\) queda en \(P'(6,10)\), porque basta multiplicar las coordenadas por \(2\).
Solución 6.1
Correcta. Se multiplica cada coordenada por \(2\):
\[ 2(3,4)=(6,8) \]
Solución 6.2
Incorrecta. Que \(k\) sea negativo indica cambio de sentido, pero no obliga a que todas las coordenadas sean negativas. Por ejemplo:
\[ -2(-1,3)=(2,-6) \]
Solución 6.3
Correcta. Como el centro es el origen:
\[ P'=2(3,4)=(6,8) \]
Solución 6.4
Incorrecta. Como el centro no es el origen, no basta con multiplicar directamente las coordenadas.
\[ P-S=(3,5)-(1,1)=(2,4) \]
\[ P'=S+2(P-S)=(1,1)+2(2,4)=(5,9) \]
Cuidado
Multiplicar coordenadas directamente solo corresponde a homotecias con centro en el origen. Si el centro es otro punto, primero se calcula el desplazamiento desde el centro hacia el punto.