Libro Tales y relación con la Homotecia
6. Tales como puente hacia semejanza y escala
Objetivos de la pagina
- Reconocer el Teorema de Tales como una consecuencia de la homotecia.
- Distinguir cuando se puede y cuando no se puede aplicar Tales.
- Preparar el paso hacia semejanza, escala y modelos proporcionales.
De homotecia a Tales
Si desde un punto \(O\) proyectamos una figura hacia otra mas grande o mas pequena, aparece una homotecia. En esa transformacion, los puntos correspondientes quedan alineados con \(O\), y los segmentos correspondientes quedan paralelos.
Por eso, cuando dos rectas secantes son cortadas por rectas paralelas, se forman segmentos proporcionales. Esa es la idea que esta detras del Teorema de Tales.
Lectura proporcional
Si \(AB\parallel CD\), entonces las razones entre segmentos correspondientes se conservan:
\[ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD} \]
Tambien pueden aparecer razones entre tramos:
\[ \frac{OA}{AC}=\frac{OB}{BD} \]
Ejemplo: identificar la homotecia escondida
Dos rectas salen desde \(O\). En una recta se ubican \(A\) y \(C\), y en la otra \(B\) y \(D\). Se sabe que \(AB\parallel CD\), \(OA=4\), \(OC=10\) y \(OB=6\). Calcula \(OD\).
Como los segmentos \(AB\) y \(CD\) son paralelos, podemos ver \(CD\) como imagen de \(AB\) por una homotecia de centro \(O\).
El factor se obtiene con:
\[ \frac{OC}{OA}=\frac{10}{4}=2{,}5 \]
Entonces:
\[ OD=2{,}5\cdot OB=2{,}5\cdot 6=15 \]
La longitud \(OD\) es \(15\).
Cuando no usar Tales
No basta con que la figura parezca ordenada. Para aplicar Tales debe existir una relacion de paralelismo o una razon de homotecia claramente definida.
- Si las rectas que cortan las secantes no son paralelas, las razones no tienen por que ser iguales.
- Si se mezclan segmentos que no corresponden, la proporcion puede quedar mal planteada.
- Si los datos son incompatibles, el problema no representa una configuracion de Tales.
Ejercicio 1: aplicar Tales con sentido
En una figura se sabe que \(AB\parallel CD\), \(OA=5\), \(OC=15\) y \(OB=7\).
- Determina el factor de homotecia que lleva \(AB\) a \(CD\).
- Calcula \(OD\).
- Explica que representa ese factor en la figura.
El factor es:
\[ k=\frac{OC}{OA}=\frac{15}{5}=3 \]
Entonces:
\[ OD=3\cdot OB=3\cdot 7=21 \]
El factor \(3\) indica que las distancias desde \(O\) hasta la segunda paralela son tres veces las distancias correspondientes hasta la primera paralela.
Ejercicio 2: detectar un error
Un estudiante dice: "Como \(OA=3\), \(AC=2\), \(OB=8\) y \(BD=4\), entonces puedo aplicar Tales porque \(\frac{3}{2}=\frac{8}{4}\)".
- Comprueba si la igualdad es verdadera.
- Explica que deberia revisar el estudiante antes de aplicar Tales.
- Corrige la conclusion.
La igualdad propuesta no es verdadera, porque:
\[ \frac{3}{2}=1{,}5 \qquad\text{y}\qquad \frac{8}{4}=2 \]
Antes de aplicar Tales, el estudiante debe revisar si las rectas correspondientes son paralelas y si esta comparando segmentos correspondientes.
La conclusion correcta es que, con esos datos, no se verifica esa proporcion. Puede haber un error en los datos, en el dibujo o en la eleccion de los segmentos.
Ejercicio 3: conectar con semejanza
En un triangulo \(OCD\), se traza un segmento \(AB\) paralelo a \(CD\), con \(A\) sobre \(OC\) y \(B\) sobre \(OD\). Responde:
- Por que los triangulos \(OAB\) y \(OCD\) tienen la misma forma?
- Que razon compara sus lados correspondientes?
- Como se relaciona esto con modelos a escala?
Los triangulos tienen la misma forma porque comparten el angulo en \(O\) y los lados \(AB\) y \(CD\) son paralelos, lo que conserva los angulos correspondientes.
Una razon posible es:
\[ \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD} \]
Esto se relaciona con modelos a escala porque un modelo conserva la forma del original cuando todas sus medidas correspondientes mantienen una misma razon.
Puente al siguiente libro
Tales muestra que el paralelismo produce proporcionalidad. En el siguiente libro usaremos esa proporcionalidad para estudiar figuras semejantes, mapas, planos, escalas, aumentos, reducciones y teoremas en triangulos rectangulos.