Libro semejanza, escalas y homotecia vectorial
11. Propuesta: cierre integrador de la unidad
Objetivos de la pagina
- Integrar homotecia, Tales, semejanza, escala, Euclides y vectores en una misma red de ideas.
- Resolver una situacion usando proporcionalidad geometrica.
- Comunicar el aprendizaje global esperado de la unidad.
La idea que une la unidad
Durante la unidad aparecieron muchos nombres: homotecia, Tales, semejanza, escala, Euclides y vectores. Todos se conectan por una misma idea: comparar medidas que conservan una razon.
| Contenido | Pregunta que responde | Idea proporcional |
|---|---|---|
| Homotecia | Como se amplia o reduce una figura desde un centro? | Todas las distancias al centro se multiplican por \(k\). |
| Teorema de Tales | Que ocurre cuando paralelas cortan secantes? | Los segmentos correspondientes son proporcionales. |
| Semejanza | Cuando dos figuras tienen la misma forma? | Sus lados correspondientes mantienen una misma razon. |
| Escala | Como representar una realidad grande o pequena? | El modelo y la realidad se relacionan por un factor fijo. |
| Euclides | Como usar semejanza en triangulos rectangulos? | Las alturas, proyecciones y catetos cumplen relaciones proporcionales. |
| Vectores | Como escribir una homotecia con coordenadas? | Multiplicar por un escalar cambia tamano y sentido. |
Ejemplo integrador: plano de una plaza
En un plano, una plaza rectangular mide \(12\) cm por \(8\) cm. La escala es \(1:250\). En el plano se dibuja ademas una zona triangular semejante a una zona real, con lados \(3\) cm, \(4\) cm y \(5\) cm.
La escala \(1:250\) significa que \(1\) cm en el plano representa \(250\) cm en la realidad.
Dimensiones reales de la plaza:
\[ 12\cdot 250=3000\text{ cm}=30\text{ m} \]
\[ 8\cdot 250=2000\text{ cm}=20\text{ m} \]
La zona triangular real tiene lados:
\[ 3\cdot 250=750\text{ cm}=7{,}5\text{ m} \]
\[ 4\cdot 250=1000\text{ cm}=10\text{ m} \]
\[ 5\cdot 250=1250\text{ cm}=12{,}5\text{ m} \]
Como todas las medidas se multiplican por el mismo factor, el plano y la realidad son semejantes.
Ejercicio 1: decidir la herramienta
Indica que herramienta conviene usar en cada situacion: homotecia, Tales, escala, semejanza, Euclides o vectores.
- Calcular la altura de un arbol usando su sombra y la sombra de una vara.
- Construir una imagen ampliada de un triangulo desde un centro \(O\).
- Determinar las medidas reales de una casa a partir de un plano.
- Calcular un cateto usando la proyeccion sobre la hipotenusa en un triangulo rectangulo.
- Transformar el vector \((3,-2)\) en \((-6,4)\).
- Tales o semejanza, porque las sombras generan triangulos semejantes.
- Homotecia, porque hay centro y factor de ampliacion.
- Escala, porque se compara modelo y realidad.
- Teorema de Euclides, porque se trabaja dentro de un triangulo rectangulo.
- Vectores y producto por escalar, porque \((3,-2)\cdot(-2)=(-6,4)\).
Ejercicio 2: problema integrador
Un estudiante dibuja una maqueta de una sala usando escala \(1:50\). En la maqueta, el largo mide \(16\) cm y el ancho mide \(10\) cm. Luego quiere representar una pantalla dentro de la sala: en la maqueta mide \(3\) cm de ancho y \(2\) cm de alto.
- Calcula las dimensiones reales de la sala.
- Calcula las dimensiones reales de la pantalla.
- Explica por que la maqueta y la sala real son semejantes.
- Si se duplica el dibujo de la maqueta con una homotecia de factor \(2\), que escala tendra el nuevo dibujo respecto de la realidad?
La escala \(1:50\) indica que \(1\) cm representa \(50\) cm reales.
Sala real:
\[ 16\cdot 50=800\text{ cm}=8\text{ m} \]
\[ 10\cdot 50=500\text{ cm}=5\text{ m} \]
Pantalla real:
\[ 3\cdot 50=150\text{ cm}=1{,}5\text{ m} \]
\[ 2\cdot 50=100\text{ cm}=1\text{ m} \]
La maqueta y la sala real son semejantes porque todas las medidas lineales se multiplican por el mismo factor.
Si el dibujo se duplica, cada medida del nuevo dibujo representa la mitad de lo que representaba antes. La nueva escala sera \(1:25\).
Ejercicio 3: cierre personal
Escribe una respuesta breve, de 5 a 8 lineas, que conecte estas palabras: homotecia, Tales, semejanza, escala y vectores.
Una buena respuesta podria explicar que la homotecia amplia o reduce desde un centro, que Tales permite calcular razones cuando hay paralelas, que la semejanza conserva forma mediante lados proporcionales, que la escala aplica esa proporcionalidad a modelos reales y que los vectores permiten representar algunas homotecias con coordenadas y escalares.
Producto final sugerido
Elige una situacion real: plano de una pieza, maqueta, sombra, fotografia, mapa o cancha. Presenta un esquema con medidas, calcula una razon o escala, justifica que hay semejanza y explica que herramienta de la unidad estas usando.