División de Fracciones

Inverso Multiplicativo (Recíproco)

El inverso multiplicativo o recíproco de una fracción \( \frac{a}{b} \) es otra fracción que, al multiplicarse por la primera, da como resultado 1. El inverso multiplicativo de \( \frac{a}{b} \) es \( \frac{b}{a} \) (simplemente se intercambian numerador y denominador).

Ejemplo:

• El inverso multiplicativo de \( \frac{3}{4} \) es \( \frac{4}{3} \).
• El inverso multiplicativo de \( -\frac{2}{5} \) es \( -\frac{5}{2} \).
• El inverso multiplicativo de 7 (que es \( \frac{7}{1} \)) es \( \frac{1}{7} \).

Importante: El 0 no tiene inverso multiplicativo, ya que no existe ningún número que multiplicado por 0 dé como resultado 1.

Ejercicios de Inverso Multiplicativo

1. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{2}{7} \).
2. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -\frac{5}{9} \).
3. Encuentra el inverso multiplicativo de 4.
4. Encuentra el inverso multiplicativo de \( -1\frac{2}{3} \).
5. Encuentra el inverso multiplicativo de \( \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\)).

Métodos para Dividir Fracciones

Existen dos métodos principales para dividir fracciones:

Método 1: Multiplicar por el Inverso

Para dividir una fracción \( \frac{a}{b} \) entre otra fracción \( \frac{c}{d} \), se multiplica la primera fracción (\( \frac{a}{b} \)) por el inverso multiplicativo de la segunda fracción (\( \frac{d}{c} \)). Es decir:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

Método 2: Multiplicación en Cruz

Para dividir una fracción \( \frac{a}{b} \) entre otra fracción \( \frac{c}{d} \), se multiplica el numerador de la primera fracción (\(a\)) por el denominador de la segunda (\(d\)), y el denominador de la primera (\(b\)) por el numerador de la segunda (\(c\)). Es decir:

\[ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

Ambos métodos son equivalentes y conducen al mismo resultado.

División de Fracciones como Fracción de Fracciones

Una división de fracciones también se puede expresar como una fracción de fracciones, es decir, una fracción donde el numerador y el denominador son a su vez fracciones. Para resolver una fracción de fracciones, se puede aplicar la regla "extremos por extremos y medios por medios".

\[ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} \]

Ejemplo: \( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{5}} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \) (simplificado)

En la regla "extremos por extremos y medios por medios", el producto de los extremos (\(a\) y \(d\)) va al numerador, y el producto de los medios (\(b\) y \(c\)) va al denominador.

Ejemplos Adicionales

1. Dividir una fracción entre un número entero:

\( \frac{3}{4} \div 5 = \frac{3}{4} \div \frac{5}{1} = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} = \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 5} = \frac{3}{20} \)

2. Dividir un número entero entre una fracción:

\( 6 \div \frac{2}{7} = \frac{6}{1} \div \frac{2}{7} = \frac{6}{1} \cdot \frac{7}{2} = \frac{6 \cdot 7}{1 \cdot 2} = \frac{42}{2} = 21 \)

3. Dividir un número mixto entre una fracción:

Primero, convertimos el número mixto a fracción impropia: \( 2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \)

Luego, dividimos: \( 2\frac{1}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{3} \div \frac{3}{4} = \frac{7}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 3} = \frac{28}{9} = 3\frac{1}{9} \)

4. Dividir con fracciones negativas:

\( \frac{-4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{-4}{5} \cdot \frac{3}{2} = \frac{-4 \cdot 3}{5 \cdot 2} = \frac{-12}{10} = -\frac{6}{5} = -1\frac{1}{5}\)

5. Dividir con parte literal:

\( \frac{3x}{2} \div \frac{y}{4} = \frac{3x}{2} \cdot \frac{4}{y} = \frac{3x \cdot 4}{2 \cdot y} = \frac{12x}{2y} = \frac{6x}{y} \) (con \(y \neq 0\))

Ejercicios

1. \( \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} \)
2. \( \frac{5}{7} \div \frac{2}{3} \)
3. \( \frac{-2}{5} \div \frac{3}{8} \)
4. \( 4 \div \frac{2}{5} \)
5. \( \frac{5}{9} \div 3 \)
6. \( 1\frac{3}{4} \div \frac{2}{3} \)
   
   
7. \( \frac{\frac{1}{4}}{\frac{5}{6}} \)
   
   
8. \( \frac{\frac{3}{2}}{\frac{6}{5}} \)
   
   
9. \( \frac{\frac{-1}{3}}{\frac{1}{4}} \)
   
   
10. \( \frac{2x}{3} \div \frac{4}{y} \) (con \(y \neq 0\))
11. \( \frac{3a}{b} \div \frac{2c}{5} \) (con \(b \neq 0\) y \(c \neq 0\))
12. \( \frac{1}{2} \div \frac{x}{y} \) (con \(x \neq 0\) e \(y \neq 0\))
13. \( \frac{5m}{2n} \div \frac{2}{3} \) (con \(n \neq 0\))
    
    
14. \( \frac{\frac{a}{b}}{\frac{2a}{3b}} \) (con \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\))