Libro Probabilidad de sucesos
3. Regla aditiva: unir sucesos sin contar dos veces
Objetivos de la pagina
- Desarrollar la regla aditiva de la probabilidad.
- Reconocen union, interseccion y complemento de sucesos.
- Aplican la regla aditiva evitando contar dos veces la interseccion.
- Representan sucesos con diagramas de Venn.
Sucesos combinados
Al estudiar sucesos, muchas preguntas usan palabras como "o", "y" y "no". En probabilidad, esas palabras se traducen a operaciones entre sucesos.
| Lenguaje | Operacion | Significado |
|---|---|---|
| \(A\) o \(B\) | \(A\cup B\) | Ocurre \(A\), ocurre \(B\), o ambos. |
| \(A\) y \(B\) | \(A\cap B\) | Ocurren \(A\) y \(B\) al mismo tiempo. |
| No \(A\) | \(A^c\) | No ocurre el suceso \(A\). |
Regla aditiva
Para dos sucesos \(A\) y \(B\):
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]
Si \(A\) y \(B\) no pueden ocurrir al mismo tiempo, entonces \(P(A\cap B)=0\), y queda:
\[ P(A\cup B)=P(A)+P(B) \]
Ejemplo
En un curso de 30 estudiantes, 14 practican futbol, 10 practican basquetbol y 4 practican ambos deportes. Si se elige un estudiante al azar, la probabilidad de que practique futbol o basquetbol es:
\[ P(F\cup B)=\frac{14}{30}+\frac{10}{30}-\frac{4}{30}=\frac{20}{30}=\frac{2}{3} \]
Se resta la interseccion porque esos 4 estudiantes fueron contados dos veces.
Ejercicio 1
En un dado, sea \(A\): "obtener numero par" y \(B\): "obtener numero mayor que 4". Escribe \(A\), \(B\), \(A\cap B\) y \(A\cup B\).
\(A=\{2,4,6\}\) y \(B=\{5,6\}\). La interseccion contiene los resultados comunes: \(A\cap B=\{6\}\). La union contiene todos los resultados que estan en \(A\) o en \(B\): \(A\cup B=\{2,4,5,6\}\).
Ejercicio 2
En una encuesta, \(P(A)=0{,}45\), \(P(B)=0{,}30\) y \(P(A\cap B)=0{,}10\). Calcula \(P(A\cup B)\).
Usamos la regla aditiva:
\[ P(A\cup B)=0{,}45+0{,}30-0{,}10=0{,}65 \]
La probabilidad de que ocurra \(A\) o \(B\) es \(0{,}65\), es decir, \(65\%\).
Ejercicio 3
En una urna hay 4 fichas rojas, 3 azules y 5 verdes. Se extrae una ficha. Calcula la probabilidad de que sea roja o azul.
Los sucesos "roja" y "azul" son incompatibles: una ficha no puede ser roja y azul al mismo tiempo. Hay \(4+3=7\) casos favorables de \(12\) posibles:
\[ P(\text{roja o azul})=\frac{7}{12} \]
Ejercicio 4
Si \(P(A)=0{,}7\), calcula \(P(A^c)\) e interpreta el resultado.
El complemento contiene los casos en que \(A\) no ocurre. Por eso:
\[ P(A^c)=1-P(A)=1-0{,}7=0{,}3 \]
Hay un \(30\%\) de probabilidad de que no ocurra \(A\).