Libro Probabilidad de sucesos
4. Regla multiplicativa y diagramas de arbol
Objetivos de la pagina
- Desarrollar la regla multiplicativa de la probabilidad.
- Elaboran y completan diagramas de arbol.
- Reconocen que una rama completa representa una secuencia de resultados.
- Multiplican probabilidades a lo largo de una rama.
Por que aparecen los arboles
Cuando un experimento tiene etapas, conviene organizar los resultados en un diagrama de arbol. Cada camino desde el inicio hasta una hoja representa una secuencia posible.
Regla multiplicativa
La probabilidad de un camino se obtiene multiplicando las probabilidades de sus ramas:
\[ P(\text{camino})=P(\text{primera rama})\cdot P(\text{segunda rama})\cdot \ldots \]
Si las etapas son independientes, la probabilidad de la segunda etapa no cambia por lo ocurrido antes. Si no son independientes, la probabilidad puede cambiar en cada rama.
Ejemplo
Se lanza una moneda tres veces. Cada rama tiene probabilidad \(\frac{1}{2}\). La probabilidad del camino \(CCS\) es:
\[ P(CCS)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8} \]
Ejercicio 1
Se lanza una moneda dos veces. Calcula la probabilidad del camino \(CS\).
El camino \(CS\) significa cara en el primer lanzamiento y sello en el segundo. Como cada rama tiene probabilidad \(\frac{1}{2}\):
\[ P(CS)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Ejercicio 2
Se lanza un dado y luego una moneda. Calcula la probabilidad de obtener un \(6\) y luego cara.
La probabilidad de obtener \(6\) en el dado es \(\frac{1}{6}\). La probabilidad de obtener cara es \(\frac{1}{2}\). Como son etapas independientes:
\[ P(6 \text{ y cara})=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{12} \]
Ejercicio 3
Una ruleta tiene 3 sectores iguales: rojo, azul y verde. Se gira dos veces. Calcula la probabilidad de obtener rojo en ambos giros.
En cada giro, \(P(\text{rojo})=\frac{1}{3}\). Como los giros son independientes:
\[ P(\text{rojo y rojo})=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9} \]
Ejercicio 4
Explica por que en un arbol no se suman las probabilidades dentro de una misma rama.
Una rama completa describe que ocurre una etapa y luego otra. La palabra clave es "y"; por eso se multiplican las probabilidades. La suma se usa cuando se juntan caminos distintos que favorecen el mismo suceso, es decir, cuando aparece una idea de "o".