Libro Probabilidad de sucesos
5. Combinar reglas en sucesos compuestos
Objetivos de la pagina
- Aplicar la combinacion de la regla aditiva y multiplicativa.
- Calculan probabilidades de eventos compuestos.
- Suman probabilidades de caminos favorables distintos.
- Resuelven problemas de la vida diaria usando arboles y razonamiento proporcional.
Estrategia
- Representa las etapas del experimento.
- Calcula la probabilidad de cada camino multiplicando ramas.
- Identifica los caminos favorables al suceso pedido.
- Suma las probabilidades de esos caminos favorables.
Ejemplo
Una bolsa tiene 3 fichas rojas y 2 azules. Se extraen 2 fichas sin reposicion. Calcula la probabilidad de obtener una roja y una azul, en cualquier orden.
Hay dos caminos favorables: roja-azul y azul-roja.
\[ P(RA)=\frac{3}{5}\cdot\frac{2}{4}=\frac{3}{10} \]
\[ P(AR)=\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{10} \]
Como los caminos son distintos, se suman:
\[ P(\text{una roja y una azul})=\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=\frac{3}{5} \]
Error frecuente
Si el problema dice "en cualquier orden", normalmente hay mas de un camino favorable. No basta con calcular roja-azul; tambien se debe considerar azul-roja.
Ejercicio 1
Una bolsa tiene 4 fichas negras y 1 blanca. Se extraen 2 fichas sin reposicion. Calcula la probabilidad de obtener dos negras.
Primero debe salir negra: \(\frac{4}{5}\). Luego quedan 3 negras de 4 fichas, por lo que:
\[ P(NN)=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{5} \]
Ejercicio 2
En la misma bolsa del ejercicio anterior, calcula la probabilidad de obtener una negra y una blanca, en cualquier orden.
Los caminos favorables son \(NB\) y \(BN\):
\[ P(NB)=\frac{4}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{5} \]
\[ P(BN)=\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{4}=\frac{1}{5} \]
Sumando:
\[ P(\text{una negra y una blanca})=\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5} \]
Ejercicio 3
Se lanza una moneda tres veces. Calcula la probabilidad de obtener exactamente dos caras.
Los caminos favorables son \(CCS\), \(CSC\) y \(SCC\). Cada camino tiene probabilidad \(\frac{1}{8}\). Entonces:
\[ P(\text{exactamente dos caras})=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8} \]
Ejercicio 4
Un estudiante responde al azar dos preguntas de verdadero o falso. Calcula la probabilidad de acertar al menos una.
Es mas rapido usar el complemento. "Acertar al menos una" es lo contrario de "no acertar ninguna". La probabilidad de fallar ambas es:
\[ \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} \]
Por lo tanto:
\[ P(\text{al menos una})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} \]