Libro de la esfera y sus elementos
2. Conjeturando el área de la superficie de la esfera
Objetivos de la página
- Relacionar la superficie de una esfera con el área de su círculo máximo.
- Conjeturar la fórmula \(A=4\pi r^2\) para el área de la superficie de una esfera.
- Interpretar el radio o diámetro desde representaciones geométricas.
- Calcular áreas superficiales de esferas en situaciones simples.
La superficie de una esfera
La superficie de una esfera corresponde a su parte exterior, como la “piel” de una pelota.
Cuando calculamos el área de esa superficie, no estamos calculando cuánto espacio ocupa por dentro, sino cuánta superficie exterior tiene.
Representación 3D de una esfera y su radio
En la representación se muestra una esfera con centro \(O\). El segmento verde desde el centro hasta la superficie representa el radio \(r\).
Para estudiar el área de la esfera, compararemos su superficie con círculos que tienen el mismo radio \(r\).
Recordemos el área de un círculo
El área de un círculo de radio \(r\) se calcula mediante:
\[ A_{\text{círculo}}=\pi r^2 \]
Esta fórmula será la base para conjeturar el área de la superficie de la esfera.
El círculo máximo
Si una esfera se corta por un plano que pasa por su centro, se obtiene el círculo más grande posible dentro de ella. Ese círculo se llama círculo máximo.
El círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera.
Representación plana del círculo máximo
En el esquema, el círculo máximo tiene centro \(O\) y radio \(r\). Ese radio coincide con el radio de la esfera.
El segmento \(\overline{OP}\) representa el radio del círculo máximo y también el radio de la esfera.
Conjetura visual
La superficie de una esfera de radio \(r\) puede compararse con el área de cuatro círculos máximos de radio \(r\).
Es decir, de manera aproximada y visual:
\[ \text{superficie de la esfera} \quad \longleftrightarrow \quad 4 \text{ círculos máximos} \]
Cuatro círculos máximos
Como cada círculo máximo tiene radio \(r\), cada uno tiene área \(\pi r^2\). La superficie completa de la esfera equivale al área de cuatro de estos círculos.
Entonces:
\[ A_{\text{esfera}} = 4 \cdot A_{\text{círculo máximo}} \]
Fórmula del área de la superficie de la esfera
Como el área de un círculo máximo es:
\[ A_{\text{círculo máximo}}=\pi r^2 \]
Y la superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot \pi r^2 \]
Por lo tanto:
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
Atención con las unidades
El área de la superficie de una esfera se mide en unidades cuadradas, por ejemplo:
\[ \text{cm}^2,\quad \text{m}^2,\quad \text{mm}^2 \]
No se mide en unidades cúbicas, porque todavía no estamos calculando volumen.
Ejemplo 1: área desde el radio
Una esfera tiene radio \(5\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Usamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ A=4\pi \cdot 5^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 25 \]
\[ A=100\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(100\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 2: área desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula el área de su superficie.
Primero obtenemos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Ahora usamos la fórmula del área:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 9^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 81 \]
\[ A=324\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(324\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 1
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el área de su círculo máximo?
b) Usando la conjetura de los cuatro círculos máximos, calcula el área de la superficie de la esfera.
El área del círculo máximo se calcula con:
\[ A_{\text{círculo}}=\pi r^2 \]
Como \(r=4\):
\[ A_{\text{círculo}}=\pi \cdot 4^2=16\pi \]
La superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot 16\pi=64\pi \]
Por lo tanto, el área de la superficie de la esfera es \(64\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 2
El círculo máximo de una esfera tiene radio \(7\ \text{m}\).
Calcula el área de la superficie de la esfera.
El círculo máximo tiene el mismo radio que la esfera, por lo tanto:
\[ r=7\ \text{m} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 49 \]
\[ A=196\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(196\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 3
Al cortar una esfera por su centro, se obtiene un círculo máximo de diámetro \(16\ \text{cm}\).
Calcula el área de la superficie de la esfera.
El diámetro del círculo máximo es:
\[ d=16\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{16}{2}=8 \]
Ese radio coincide con el radio de la esfera. Entonces:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 8^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 64 \]
\[ A=256\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 4
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(6\ \text{cm}\).
a) ¿Qué dato entrega el segmento verde?
b) Calcula el área de la superficie de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio:
\[ r=6\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula del área de la esfera:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 6^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 36 \]
\[ A=144\pi \]
El área de la superficie de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 5
Una pelota decorativa tiene diámetro \(20\ \text{cm}\). Se quiere cubrir completamente con papel.
¿Qué área mínima de papel se necesita, sin considerar pérdidas ni dobleces?
Como se quiere cubrir la parte exterior de la pelota, se debe calcular el área de la superficie de una esfera.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=20\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 10^2 \]
\[ A=4\pi \cdot 100 \]
\[ A=400\pi \]
Se necesitan como mínimo \(400\pi\ \text{cm}^2\) de papel.
Ejercicio 6
Una estudiante afirma: “Si el área de un círculo máximo es \(36\pi\ \text{cm}^2\), entonces el área de la esfera es \(36\pi\ \text{cm}^2\), porque tienen el mismo radio”.
¿La afirmación es correcta? Justifica.
La afirmación no es correcta.
Es cierto que el círculo máximo y la esfera tienen el mismo radio, pero sus áreas no son iguales.
La superficie de la esfera equivale a cuatro círculos máximos:
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot A_{\text{círculo máximo}} \]
Como el área del círculo máximo es \(36\pi\ \text{cm}^2\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\cdot 36\pi=144\pi \]
Por lo tanto, el área de la esfera es \(144\pi\ \text{cm}^2\), no \(36\pi\ \text{cm}^2\).
Para continuar
En la próxima página se practicará el cálculo del área de la superficie de la esfera en ejercicios directos, visuales y contextualizados.