Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Definición

Una potencia es una expresión matemática que indica la multiplicación de un número (llamado base) por sí mismo tantas veces como lo indica otro número (llamado exponente). En el caso de las potencias de base fraccionaria y exponente natural, la base es una fracción y el exponente es un número natural (entero positivo).

La potencia de una fracción \( \frac{a}{b} \) elevada a un exponente natural \( n \) se escribe como:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n \]

Y se calcula elevando tanto el numerador como el denominador a ese exponente:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]

donde \(b\) debe ser diferente de cero.

Exponentes Positivos

Cuando el exponente es un número natural, la potencia representa la multiplicación de la fracción por sí misma tantas veces como lo indica el exponente.

Ejemplo:

\[ \left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81} \]

Propiedades de las Potencias de Base Fraccionaria y Exponente Natural

Las potencias de base fraccionaria y exponente natural cumplen las siguientes propiedades:

1. Signo de la potencia y paridad del exponente:

Sea la fraccion \(\frac{a}{b}\)

• Si \( \frac{a}{b} > 0\), entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\) para cualquier \(n\) natural.
• Si \( \frac{a}{b} < 0\):
  • Si \(n\) es par, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
  • Si \(n\) es impar, entonces \( \left(\frac{a}{b}\right)^n < 0\).

Demostración:

• Si \(\frac{a}{b} > 0\), entonces \(a\) y \(b\) tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos). Al elevarlos a cualquier potencia \(n\) natural, \(a^n\) y \(b^n\) también tendrán el mismo signo, por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
• Si \(\frac{a}{b} < 0\), entonces \(a\) y \(b\) tienen signos opuestos.
  • Si \(n\) es par, entonces tanto \(a^n\) como \(b^n\) son positivos (un número negativo elevado a una potencia par es positivo), por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n > 0\).
  • Si \(n\) es impar, entonces \(a^n\) y \(b^n\) tienen signos opuestos (un número negativo elevado a una potencia impar es negativo), por lo que \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n < 0\).

Ejemplos: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] \[ \underbrace{\left(-\frac{2}{3}\right)^{\color{blue}2}}_{\color{blue}{\text{exponente par } \Rightarrow > 0}} = \color{blue}+\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9} > 0 \] \[ \underbrace{\left(-\frac{3}{4}\right)^{\color{red}3}}_{\color{red}{\text{exponente impar } \Rightarrow < 0}} = \color{red}-\left(\frac{3}{4}\right)^3 = -\frac{3^3}{4^3} = -\frac{27}{64} < 0 \]

Ejercicios de Signo de la Potencia

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{3}{5} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{1}{4} \right)^6 \)
3. \( \left( \frac{2}{7} \right)^9 \)
4. \( \left( -\frac{2}{3} \right)^4 \)
5. \( \left( -\frac{5}{6} \right)^2 \)
6. \( \left( -\frac{1}{2} \right)^5 \)
7. \( \left( -\frac{3}{4} \right)^7 \)
8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^{2} \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{-2a}{3} \right)^{4} \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \frac{5m}{-n} \right)^{3} \) (con \(m,n \neq 0\))

2. Exponente Cero

Cualquier fracción (distinta de cero) elevada a un exponente cero es igual a 1.

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^{0} = 1 \] donde \(a \neq 0\) y \(b \neq 0\).

Ejemplo:

\[ \left(\frac{4}{7}\right)^0 = 1 \]

Ejercicios de Exponente Cero

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{2}{9} \right)^0 \)
2. \( \left( -\frac{5}{3} \right)^0 \)
3. \( \left( \frac{17}{4} \right)^0 \)
4. \( \left( \frac{x}{y} \right)^0 \) (con \(x,y \neq 0\))
5. \( \left( \frac{-3a}{2b} \right)^0 \) (con \(a,b \neq 0\))

3. Producto de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m \cdot a^n}{b^m \cdot b^n} = \frac{a^{m+n}}{b^{m+n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m+n} \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2+3} = \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243} \]

Ejercicios de Producto de Potencias de Igual Base

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{3}{4} \right)^4 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) \)
3. \( \left( \frac{2}{5} \right)^1 \cdot \left( \frac{2}{5} \right)^3 \)
4. \( \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 \)
5. \( \left(-\frac{2}{5}\right)^3 \cdot \left(-\frac{2}{5}\right)^2 \)
6. \( \left(-\frac{1}{4}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)^1 \)
7. \( \left(-\frac{3}{2}\right)^1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)^4\)
8. \( \left(\frac{a}{b}\right)^2 \cdot \left(\frac{a}{b}\right)^3 \) (con \(a, b \neq 0\))
9. \( \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x}{3}\right)^2 \) (con \(x \neq 0\))
10. \( \left(\frac{-m}{2n}\right)^3 \cdot \left(\frac{-m}{2n}\right)^1 \) (con \(m,n \neq 0\))

4. Cociente de potencias de igual base:

\[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

Demostración: \[ \left(\frac{a}{b}\right)^m \div \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^m}{b^m} \div \frac{a^n}{b^n} = \frac{a^m}{b^m} \cdot \frac{b^n}{a^n} = \frac{a^m \cdot b^n}{b^m \cdot a^n} = \frac{a^{m-n}}{b^{m-n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m-n} \]

Ejemplo: \[ \left(\frac{3}{4}\right)^5 \div \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^{5-2} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64} \]

Ejercicios de Cociente de Pottencias de igual base

1. \( \left( \frac{4}{5} \right)^5 \div \left( \frac{4}{5} \right)^3 \)
2. \( \left( \frac{2}{3} \right)^6 \div \left( \frac{2}{3} \right)^2 \)
3. \( \left( \frac{1}{2} \right)^4 \div \left( \frac{1}{2} \right)^4 \)
4. \( \left( -\frac{3}{5} \right)^3 \div \left( -\frac{3}{5} \right)^1 \)
5. \( \left( -\frac{2}{7} \right)^5 \div \left( -\frac{2}{7} \right)^4 \)
6. \( \left( -\frac{1}{4} \right)^4 \div \left( -\frac{1}{4} \right)^2 \)
7. \( \left( -\frac{5}{3} \right)^6 \div \left( -\frac{5}{3} \right)^3 \)
8. \( \left( \frac{x}{y} \right)^7 \div \left( \frac{x}{y} \right)^4 \) (con \(x,y \neq 0\))
9. \( \left( \frac{3a}{2} \right)^5 \div \left( \frac{3a}{2} \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \frac{-2m}{n} \right)^8 \div \left( \frac{-2m}{n} \right)^4 \) (con \(m,n \neq 0\))

5. Potencia de una potencia:

\[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

Demostración: \[ \left(\left(\frac{a}{b}\right)^m\right)^n = \left(\frac{a^m}{b^m}\right)^n = \frac{(a^m)^n}{(b^m)^n} = \frac{a^{m \cdot n}}{b^{m \cdot n}} = \left(\frac{a}{b}\right)^{m \cdot n} \]

Ejemplo: \[ \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{3 \cdot 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64} \]

Ejercicios de Potencia de una Potencia

Une las potencias y quita paréntesis:

1. \( \left( \left( \frac{2}{3} \right)^2 \right)^3 \)
2. \( \left( \left( \frac{1}{5} \right)^4 \right)^2 \)
3. \( \left( \left( \frac{4}{3} \right)^3 \right)^3 \)
4. \( \left( \left( -\frac{1}{2} \right)^3 \right)^2 \)
5. \( \left( \left( -\frac{3}{5} \right)^5 \right)^1 \)
6. \( \left( \left( -\frac{2}{3} \right)^3 \right)^3 \)
7. \( \left( \left( -\frac{1}{4} \right)^1 \right)^3 \)
8. \( \left( \left( \frac{x}{2} \right)^2 \right)^3 \) (con \(x \neq 0\))
9. \( \left( \left( \frac{-3}{a} \right)^3 \right)^3 \) (con \(a \neq 0\))
10. \( \left( \left( \frac{m}{-2n} \right)^5 \right)^2 \) (con \(m,n \neq 0\))