Libro de la esfera y sus elementos
7. Volumen de la esfera: cálculo y aplicaciones
Objetivos de la página
- Aplicar la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) para calcular el volumen de una esfera.
- Identificar si el dato entregado corresponde al radio o al diámetro.
- Interpretar representaciones geométricas de esferas y esferas inscritas en cilindros.
- Resolver problemas cotidianos y geométricos asociados al volumen de una esfera.
Fórmula del volumen de la esfera
Si una esfera tiene radio \(r\), su volumen se calcula mediante:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
El volumen mide el espacio que ocupa la esfera, por eso se expresa en unidades cúbicas:
\[ \text{cm}^3,\quad \text{m}^3,\quad \text{mm}^3 \]
Procedimiento de cálculo
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Si te entregan el diámetro, calcula primero \(r=\frac{d}{2}\).
- Reemplaza el radio en la fórmula \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Calcula \(r^3\).
- Multiplica por \(\frac{4}{3}\pi\).
- Escribe la respuesta en unidades cúbicas.
Errores frecuentes
- Usar el diámetro como si fuera el radio.
- Calcular \(r^2\) en vez de \(r^3\).
- Olvidar el factor \(\frac{4}{3}\).
- Escribir unidades cuadradas en vez de unidades cúbicas.
Ejemplo 1: volumen desde el radio
Calcula el volumen de una esfera de radio \(3\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=3\), reemplazamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 27 \]
\[ V=36\pi \]
Por lo tanto, el volumen de la esfera es:
\[ 36\pi\ \text{cm}^3 \]
Si se usa \(\pi \approx 3{,}14\), entonces:
\[ V\approx 36\cdot 3{,}14=113{,}04\ \text{cm}^3 \]
Ejemplo 2: volumen desde el diámetro
Una esfera tiene diámetro \(10\ \text{m}\). Calcula su volumen.
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2} \]
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora aplicamos la fórmula del volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es:
\[ \frac{500}{3}\pi\ \text{m}^3 \]
Ejemplo 3: interpretar una representación
En la representación, el segmento verde va desde el centro \(O\) hasta la superficie de la esfera. Su longitud es \(4\ \text{cm}\).
Como el segmento va desde el centro hasta la superficie, representa el radio:
\[ r=4\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
¿Cuándo se usa el volumen de una esfera?
Se usa volumen cuando interesa medir el espacio interior o el espacio ocupado por un objeto esférico.
| Situación | Magnitud que se usa |
|---|---|
| Calcular cuánto aire contiene un balón | Volumen |
| Calcular el espacio que ocupa una bolita sólida | Volumen |
| Calcular cuánta agua cabe en un recipiente esférico | Volumen |
| Calcular cuánta tela cubre una pelota | Área superficial, no volumen |
Ejercicio 1
Calcula el volumen de una esfera de radio \(2\ \text{cm}\).
Usamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=2\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 2^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 8 \]
\[ V=\frac{32}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{32}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 2
Calcula el volumen de una esfera de radio \(6\ \text{m}\).
Aplicamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(r=6\):
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 216 \]
\[ V=288\pi \]
El volumen de la esfera es \(288\pi\ \text{m}^3\).
Ejercicio 3
Una esfera tiene diámetro \(8\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=8\ \text{cm} \]
Primero calculamos el radio:
\[ r=\frac{d}{2}=\frac{8}{2}=4 \]
Ahora aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 4
Una esfera tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El diámetro es:
\[ d=18\ \text{cm} \]
El radio es la mitad:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 729 \]
\[ V=972\pi \]
El volumen de la esfera es \(972\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 5
Observa la representación. El segmento verde desde el centro hasta la superficie mide \(5\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento verde?
b) Calcula el volumen de la esfera.
El segmento verde va desde el centro hasta la superficie, por lo tanto representa el radio:
\[ r=5\ \text{cm} \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 6
Observa la representación. El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie, pasa por el centro y mide \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Qué representa el segmento naranjo?
b) Calcula el volumen de la esfera.
El segmento naranjo une dos puntos opuestos de la superficie y pasa por el centro.
Por lo tanto, representa el diámetro:
\[ d=14\ \text{cm} \]
El radio es:
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 7^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 343 \]
\[ V=\frac{1372}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{1372}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(20\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el diámetro de la esfera?
b) ¿Cuál es su radio?
c) Calcula el volumen de la esfera.
Si una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
Entonces:
\[ d=20\ \text{cm} \]
El radio es la mitad del diámetro:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Calculamos el volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 10^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 1000 \]
\[ V=\frac{4000}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{4000}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 8
Un balón tiene diámetro \(24\ \text{cm}\). Calcula aproximadamente cuánto aire puede contener, expresando primero el volumen exacto en términos de \(\pi\).
Como se pregunta cuánto aire puede contener, se debe calcular volumen.
El diámetro es:
\[ d=24\ \text{cm} \]
El radio es:
\[ r=\frac{24}{2}=12 \]
Aplicamos la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 12^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 1728 \]
\[ V=2304\pi \]
Usando \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V\approx 2304\cdot 3{,}14=7234{,}56 \]
El balón puede contener aproximadamente \(7234{,}56\ \text{cm}^3\) de aire.
Ejercicio 9
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\). Calcula su volumen aproximado usando \(\pi \approx 3{,}14\).
Primero calculamos el volumen exacto:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 64 \]
\[ V=\frac{256}{3}\pi \]
Ahora aproximamos con \(\pi \approx 3{,}14\):
\[ V\approx \frac{256}{3}\cdot 3{,}14 \]
\[ V\approx 267{,}95 \]
El volumen aproximado es \(267{,}95\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 10
Una esfera tiene volumen \(288\pi\ \text{cm}^3\). Determina su radio.
Partimos desde la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Como \(V=288\pi\):
\[ 288\pi=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
Dividimos por \(\pi\):
\[ 288=\frac{4}{3}r^3 \]
Multiplicamos por \(3\):
\[ 864=4r^3 \]
Dividimos por \(4\):
\[ 216=r^3 \]
Como \(6^3=216\), entonces:
\[ r=6 \]
El radio de la esfera es \(6\ \text{cm}\).
Ejercicio 11
Dos esferas tienen radios \(3\ \text{cm}\) y \(6\ \text{cm}\).
a) Calcula el volumen de cada esfera.
b) ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la segunda esfera?
Para la primera esfera, \(r=3\):
\[ V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 3^3 \]
\[ V_1=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=36\pi \]
Para la segunda esfera, \(r=6\):
\[ V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 \]
\[ V_2=\frac{4}{3}\pi \cdot 216=288\pi \]
Comparamos los volúmenes:
\[ \frac{V_2}{V_1}=\frac{288\pi}{36\pi}=8 \]
El volumen de la segunda esfera es \(8\) veces mayor que el volumen de la primera.
Ejercicio 12
Una estudiante calcula el volumen de una esfera de diámetro \(10\ \text{cm}\) así:
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 10^3=\frac{4000}{3}\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el procedimiento.
El error consiste en usar el diámetro como si fuera el radio.
El diámetro es:
\[ d=10\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{10}{2}=5 \]
Ahora aplicamos correctamente la fórmula:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 5^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi \cdot 125 \]
\[ V=\frac{500}{3}\pi \]
El volumen correcto es \(\frac{500}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Para continuar
En la próxima página se resolverán problemas integrados, donde será necesario decidir si corresponde usar área superficial o volumen.