Libro de la esfera y sus elementos
8. Área o volumen: problemas integrados de la esfera
Área, volumen y semiesferas: problemas integrados
Objetivos de la página
- Decidir cuándo corresponde usar área superficial y cuándo corresponde usar volumen.
- Resolver problemas con esferas completas y semiesferas.
- Distinguir entre área curva de una semiesfera y área total de una semiesfera con base circular.
- Interpretar correctamente datos entregados como radio, diámetro o altura de un cilindro que contiene una esfera.
Fórmulas para la esfera completa
Para una esfera de radio \(r\):
\[ A_{\text{esfera}}=4\pi r^2 \]
\[ V_{\text{esfera}}=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
El área se mide en unidades cuadradas y el volumen en unidades cúbicas.
Fórmulas para la semiesfera
Una semiesfera corresponde a la mitad de una esfera.
Su volumen es la mitad del volumen de la esfera completa:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
El área curva de una semiesfera corresponde solo a la parte redondeada:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Si además se incluye la base circular, se suma el área del círculo de radio \(r\):
\[ A_{\text{base}}=\pi r^2 \]
Entonces, el área total de una semiesfera cerrada es:
\[ A_{\text{total}}=2\pi r^2+\pi r^2=3\pi r^2 \]
¿Qué fórmula usar?
| Situación | Se usa | Fórmula |
|---|---|---|
| Pintar una esfera completa | Área superficial de esfera | \(A=4\pi r^2\) |
| Calcular cuánto aire contiene una esfera | Volumen de esfera | \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Pintar una cúpula semiesférica solo por fuera | Área curva de semiesfera | \(A=2\pi r^2\) |
| Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular | Área total de semiesfera | \(A=3\pi r^2\) |
| Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico | Volumen de semiesfera | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\) |
Error común
En una semiesfera, no siempre se usa la misma área.
Si se pinta solo la parte redondeada, se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Si se recubre también la base circular, se usa:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Ejemplo 1: área curva de una cúpula semiesférica
Una cúpula semiesférica de radio \(6\ \text{m}\) será pintada solo por fuera. Calcula el área que debe pintarse.
Como se pinta solo la parte curva de una semiesfera, usamos:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=6\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 36 \]
\[ A_{\text{curva}}=72\pi \]
El área que debe pintarse es \(72\pi\ \text{m}^2\).
Ejemplo 2: área total de una semiesfera
Una pieza sólida con forma de semiesfera de radio \(5\ \text{cm}\) será recubierta completamente, incluyendo su base circular. Calcula el área total a recubrir.
Como se incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Reemplazamos \(r=5\):
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 5^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 25 \]
\[ A_{\text{total}}=75\pi \]
El área total a recubrir es \(75\pi\ \text{cm}^2\).
Ejemplo 3: volumen de una semiesfera
Un recipiente semiesférico tiene radio \(9\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
Como se trata de media esfera, usamos:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Reemplazamos \(r=9\):
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=486\pi \]
El volumen del recipiente es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
Ejemplo 4: esfera inscrita en un cilindro
Una esfera está inscrita en un cilindro de altura \(16\ \text{cm}\). Calcula el área superficial y el volumen de la esfera.
Cuando una esfera está inscrita en un cilindro, la altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera.
\[ d=16\ \text{cm} \]
Por lo tanto:
\[ r=\frac{16}{2}=8 \]
Área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 8^2=4\pi\cdot 64=256\pi \]
El área superficial es \(256\pi\ \text{cm}^2\).
Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 8^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 512=\frac{2048}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{2048}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Estrategia para problemas integrados
- Decide si la figura es una esfera completa o una semiesfera.
- Decide si se pide área o volumen.
- Si es área de una semiesfera, revisa si se incluye la base circular.
- Identifica si el dato entregado es radio o diámetro.
- Aplica la fórmula adecuada y escribe la unidad correcta.
Ejercicio 1
Indica qué fórmula corresponde usar en cada situación:
- Pintar completamente una esfera de radio \(r\).
- Calcular cuánto aire contiene una esfera de radio \(r\).
- Pintar solo la parte curva de una cúpula semiesférica de radio \(r\).
- Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular.
- Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico.
- Pintar completamente una esfera: \(A=4\pi r^2\).
- Calcular cuánto aire contiene una esfera: \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\).
- Pintar solo la parte curva de una cúpula semiesférica: \(A_{\text{curva}}=2\pi r^2\).
- Recubrir una semiesfera incluyendo su base circular: \(A_{\text{total}}=3\pi r^2\).
- Calcular la capacidad de un recipiente semiesférico: \(V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3\).
Ejercicio 2
Una pelota de radio \(7\ \text{cm}\) será cubierta completamente con tela. ¿Cuánta tela se necesita como mínimo?
Como se cubre una esfera completa, usamos área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
Con \(r=7\):
\[ A=4\pi\cdot 7^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 49=196\pi \]
Se necesitan \(196\pi\ \text{cm}^2\) de tela.
Ejercicio 3
Un balón tiene diámetro \(18\ \text{cm}\). Calcula cuánto aire puede contener, suponiendo que tiene forma esférica.
Como se pregunta cuánto aire contiene, corresponde calcular volumen.
El diámetro es:
\[ d=18\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ r=\frac{18}{2}=9 \]
Usamos:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 729 \]
\[ V=972\pi \]
El balón puede contener \(972\pi\ \text{cm}^3\) de aire.
Ejercicio 4
Una cúpula semiesférica tiene radio \(8\ \text{m}\). Se pintará solo su parte exterior curva. Calcula el área que debe pintarse.
La cúpula es una semiesfera y se pinta solo la parte curva.
Usamos:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=8\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 8^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 64=128\pi \]
El área que debe pintarse es \(128\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 5
Una pieza con forma de semiesfera de radio \(6\ \text{cm}\) será recubierta completamente, incluyendo su base circular. Calcula el área total a recubrir.
Como se recubre la semiesfera completa e incluye la base circular, usamos:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
Con \(r=6\):
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 6^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 36=108\pi \]
El área total a recubrir es \(108\pi\ \text{cm}^2\).
Ejercicio 6
Un recipiente semiesférico tiene diámetro \(20\ \text{cm}\). Calcula su volumen.
El dato entregado es el diámetro:
\[ d=20\ \text{cm} \]
Entonces el radio es:
\[ r=\frac{20}{2}=10 \]
Como el recipiente es semiesférico, usamos:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 10^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 1000 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2000}{3}\pi \]
El volumen del recipiente es \(\frac{2000}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 7
Una esfera tiene radio \(4\ \text{cm}\).
a) Calcula su área superficial.
b) Calcula su volumen.
c) Calcula el volumen de una semiesfera con el mismo radio.
a) Área superficial de la esfera:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 4^2=4\pi\cdot 16=64\pi \]
El área superficial es \(64\pi\ \text{cm}^2\).
b) Volumen de la esfera:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 4^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 64=\frac{256}{3}\pi \]
El volumen de la esfera es \(\frac{256}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
c) Volumen de la semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{256}{3}\pi=\frac{128}{3}\pi \]
El volumen de la semiesfera es \(\frac{128}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 8
Una semiesfera tiene radio \(9\ \text{cm}\).
a) Calcula su área curva.
b) Calcula su área total, incluyendo la base circular.
c) Calcula su volumen.
a) Área curva:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 9^2=2\pi\cdot 81=162\pi \]
El área curva es \(162\pi\ \text{cm}^2\).
b) Área total:
\[ A_{\text{total}}=3\pi r^2 \]
\[ A_{\text{total}}=3\pi\cdot 9^2=3\pi\cdot 81=243\pi \]
El área total es \(243\pi\ \text{cm}^2\).
c) Volumen:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 9^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 729=486\pi \]
El volumen es \(486\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 9
Una esfera está inscrita en un cilindro. La altura del cilindro es \(14\ \text{cm}\).
a) ¿Cuál es el radio de la esfera?
b) Calcula el área superficial de la esfera.
c) Calcula el volumen de la esfera.
La altura del cilindro coincide con el diámetro de la esfera:
\[ d=14\ \text{cm} \]
Entonces:
\[ r=\frac{14}{2}=7 \]
b) Área superficial:
\[ A=4\pi r^2 \]
\[ A=4\pi\cdot 7^2=4\pi\cdot 49=196\pi \]
El área superficial es \(196\pi\ \text{cm}^2\).
c) Volumen:
\[ V=\frac{4}{3}\pi r^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 7^3 \]
\[ V=\frac{4}{3}\pi\cdot 343=\frac{1372}{3}\pi \]
El volumen es \(\frac{1372}{3}\pi\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 10
Una estudiante quiere calcular el área para pintar una cúpula semiesférica de radio \(5\ \text{m}\), pero usa:
\[ A=4\pi\cdot 5^2=100\pi \]
¿Cuál es el error? Corrige el cálculo si se pinta solo la parte curva de la cúpula.
El error es usar la fórmula de una esfera completa.
Una cúpula semiesférica corresponde a media esfera, y si se pinta solo la parte curva se usa:
\[ A_{\text{curva}}=2\pi r^2 \]
Con \(r=5\):
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 5^2 \]
\[ A_{\text{curva}}=2\pi\cdot 25=50\pi \]
El área correcta que debe pintarse es \(50\pi\ \text{m}^2\).
Ejercicio 11
Un recipiente semiesférico tiene radio \(12\ \text{cm}\). Calcula su volumen aproximado usando \(\pi\approx 3{,}14\).
Usamos la fórmula del volumen de una semiesfera:
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi r^3 \]
Con \(r=12\):
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 12^3 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=\frac{2}{3}\pi\cdot 1728 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}=1152\pi \]
Usando \(\pi\approx 3{,}14\):
\[ V_{\text{semiesfera}}\approx 1152\cdot 3{,}14 \]
\[ V_{\text{semiesfera}}\approx 3617{,}28 \]
El volumen aproximado es \(3617{,}28\ \text{cm}^3\).
Ejercicio 12
Dos esferas tienen radios \(4\ \text{cm}\) y \(8\ \text{cm}\).
a) ¿Cuántas veces mayor es el área superficial de la segunda esfera?
b) ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la segunda esfera?
c) ¿Por qué no se multiplican por la misma cantidad?
Comparamos los radios:
\[ \frac{8}{4}=2 \]
El radio de la segunda esfera es el doble del radio de la primera.
a) Área superficial:
Como el área depende de \(r^2\), se multiplica por:
\[ 2^2=4 \]
El área superficial de la segunda esfera es \(4\) veces mayor.
b) Volumen:
Como el volumen depende de \(r^3\), se multiplica por:
\[ 2^3=8 \]
El volumen de la segunda esfera es \(8\) veces mayor.
c) No se multiplican por la misma cantidad porque el área mide superficie y depende del cuadrado del radio, mientras que el volumen mide espacio tridimensional y depende del cubo del radio.
Síntesis final
Para resolver problemas con esferas y semiesferas, no basta con reemplazar datos en una fórmula. Primero hay que interpretar la situación.
| Figura o situación | Fórmula principal |
|---|---|
| Área de esfera completa | \(A=4\pi r^2\) |
| Volumen de esfera completa | \(V=\frac{4}{3}\pi r^3\) |
| Área curva de semiesfera | \(A=2\pi r^2\) |
| Área total de semiesfera con base | \(A=3\pi r^2\) |
| Volumen de semiesfera | \(V=\frac{2}{3}\pi r^3\) |